2024屆北京市海淀區(qū)首都師范大學附屬育新學校數學高一上期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆北京市海淀區(qū)首都師范大學附屬育新學校數學高一上期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．集合，，則（）A. B.C. D.2．已知函數，若在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.3．光線由點P（2，3）射到直線上，反射后過點Q（1，1），則反射光線所在的直線方程為A. B.C. D.4．下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則5．對于函數，有以下幾個命題①的圖象關于點對稱，②在區(qū)間遞增③的圖象關于直線對稱，④最小正周期是則上述命題中真命題的個數是（）A.0 B.1C.2 D.36．已知是R上的奇函數，且對，有，當時，，則（）A.40 B.C. D.7．函數的單調遞增區(qū)間是A. B.C. D.8．已知集合，則（）A. B.C. D.9．若是的重心，且（，為實數），則（）A. B.1C. D.10．方程的實數根所在的區(qū)間是（）A. B.C. D.11．已知直線⊥平面，直線平面，給出下列命題：①∥②⊥∥③∥⊥④⊥∥其中正確命題的序號是A.①③ B.②③④C.①②③ D.②④12．已知，現要將兩個數交換，使，下面語句正確的是A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．若函數，則______14．已知，，，則，，的大小關系是______．（用“”連接）15．(2016·桂林高二檢測)如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結論正確的是________.(1)A′C⊥BD.(2)∠BA′C=90°.(3)CA′與平面A′BD所成的角為30°.(4)四面體A′-BCD的體積為.16．函數，的圖象恒過定點P，則P點的坐標是_____.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知集合，.（1）當時，求，；（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍.18．已知函數，（其中，，）的圖象與軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最高點為.（1）求函數的解析式；（2）先把函數的圖象向左平移個單位長度，然后再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，若總存在，使得不等式成立，求實數的最小值.19．已知A（1，1）和圓C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1，一束光線從A發(fā)出，經x軸反射后到達圓C（1）求光線所走過的最短路徑長；（2）若P為圓C上任意一點，求x2+y2﹣2x﹣4y的最大值和最小值20．已知函數，.（1）若關于的不等式的解集為，當時，求的最小值；（2）若對任意的、，不等式恒成立，求實數的取值范圍21．已知集合，，.（1）當時，求；（2）當時，求實數的值.22．已知.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、B【解析】解不等式可求得集合，由交集定義可得結果.【詳解】，，.故選：B.2、C【解析】利用分段函數的單調性列出不等式組，可得實數的取值范圍【詳解】在上單調遞增，則解得故選：C【點睛】本題考查函數單調性的應用，考查分段函數，端點值的取舍是本題的易錯3、A【解析】設點關于直線的對稱點為，則，解得，即對稱點為，則反射光線所在直線方程即：故選4、C【解析】運用作差法可以判斷C，然后運用代特殊值法可以判斷A、B、D，進而得到答案.【詳解】對A，令，則.A錯誤；對B，令，則.B錯誤；對C，因為，而，則，所以，即.C正確；對D，令，則.D不正確.故選：C.5、C【解析】先通過輔助角公式將函數化簡，進而結合三角函數的圖象和性質求得答案.【詳解】由題意，，函數周期，④正確；，①錯誤；，③錯誤；由，②正確.故選：C.6、C【解析】根據已知和對數運算得，，再由指數運算和對數運算法則可得選項.【詳解】因為，，故，.∵，故.故選：C【點睛】關鍵點點睛：解決本題類型的問題的關鍵在于：1、由已知得出抽象函數的周期；2、根據函數的周期和對數運算法則將自變量轉化到已知范圍中，可求得函數值.7、D【解析】，選D.8、B【解析】利用集合間的關系，集合的交并補運算對每個選項分析判斷.【詳解】由題，故A錯；∵，，∴，B正確；，C錯；，D錯；故選:B9、A【解析】若與邊的交點為,再由三角形中線的向量表示即可.【詳解】若與邊交點為，則為邊上的中線，所以，又因為，所以故選:A【點睛】此題為基礎題，考查向量的線性運算.10、B【解析】令，因為，且函數在定義域內單調遞增，故方程的解所在的區(qū)間是，故選B.11、A【解析】利用線面、面面平行的性質和判斷以及線面、面面垂直的性質和判斷可得結果.【詳解】②若，則與不一定平行，還可能為相交和異面；④若，則與不一定平行，還可能是相交.故選A.【點睛】本題是一道關于線線、線面、面面關系的題目，解答本題的關鍵是熟練掌握直線與平面和平面與平面的平行、垂直的性質定理和判斷定理.12、D【解析】通過賦值語句，可得，故選D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、##0.5【解析】首先計算，從而得到，即可得到答案.【詳解】因為，所以.故答案為：14、【解析】結合指數函數、對數函數的知識確定正確答案.【詳解】，，所以故答案為：15、(2)(4)【解析】詳解】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，則BD⊥平面A′CD，則BD⊥A′D，顯然不可能，故(1)錯誤.因為BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正確.因為平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，CA′與平面A′BD所成的角為∠CA′D，因為A′D=CD，所以∠CA′D=，故(3)錯誤.四面體A′-BCD的體積為V=S△BDA′·h=××1=，因為AB=AD=1，DB=，所以A′C⊥BD，綜上(2)(4)成立.點睛:立體幾何中折疊問題,要注重折疊前后垂直關系的變化,不變的垂直關系是解決問題的關鍵條件.16、【解析】令，解得，且恒成立，所以函數的圖象恒過定點；故填.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1），或；（2）【解析】（1）當時，求出集合，，由此能求出，；（2）推導出，的真子集，求出，，列出不等式組，能求出實數的取值范圍【小問1詳解】或，當時，，，或；【小問2詳解】若，且“”是“”的充分不必要條件，，的真子集，，，，解得實數的取值范圍是18、（1）；（2）.【解析】（1）根據相鄰兩個交點之間的距離為可求出，由圖像上一個最高點為可求出，，從而得到函數的解析式；（2）根據三角變換法則可得，再求出在上的最小值，利用對數函數的單調性即可求出實數的最小值【詳解】（1）∵，∴，解得.又函數圖象上一個最高點為，∴，（），∴（），又，∴，∴（2）把函數的圖象向左平移個單位長度，得到；然后再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，即，∵，∴，，依題意知，，∴，即實數的最小值為.19、（1）；（2）最大值為11，最小值為﹣1【解析】(1)點關于x軸的對稱點在反射光線上,當反射光線從點經軸反射到圓周的路程最短,最短為;(2)將式子化簡得到,轉化為點點距,進而轉化為圓心到的距離,加減半徑,即可求得最值.【詳解】（1）關于x軸的對稱點為，由圓C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1得圓心坐標為C（﹣2，2），∴，即光線所走過的最短路徑長為；（2）x2+y2﹣2x﹣4y＝（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣5（x﹣1）2+（y﹣2）2表示圓C上一點P（x，y）到點（1，2）的距離的平方，由題意，得，因此，x2+y2﹣2x﹣4y的最大值為11，最小值為﹣1【點睛】本題考查最短路徑問題,以及圓外一點到圓上一點的距離的最值問題,屬于基礎題;求最短路徑時作對稱點,由兩點之間線段最短的原理確定長度,將圓外一點距離的最值轉化為點到圓心的距離和半徑之間的關系.20、（1）（2）【解析】（1）根據二次不等式的解集得，再根據基本不等式求解即可；（2）根據題意將問題轉化為在恒成立，再令，（），分類討論即可求解.【詳解】（1）由關于的不等式的解集為，所以知∴又∵，∴，取“”時∴即的最小值為，取“”時（2）∵時，，∴根據題意得：在恒成立記，（）①當時，由，∴②當時，由，∴③當時，由，綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題的第二問中關鍵是采用動軸定區(qū)間的方法進行求解，即討論對稱軸在定區(qū)間的左右兩側以及對稱軸在定區(qū)間上的變化情況，從而確定該函數的最值.21、（1）或；（2）.【解析】（1）可以求出，時，可以求出，然后進行補集、交集的運算即可；（2）根據即可得出，是方程的實數根，帶入方程即可求出.【詳解