【數(shù)學(xué)】江蘇省南通市如皋市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考試題（解析版）

江蘇省南通市如皋市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，，所以.故選：C.2.若角終點(diǎn)上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】由題意得：點(diǎn)在角的終邊上，且，所以：，解得：，（舍），故C項(xiàng)正確.故選：C.3.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，而，所以，所?故選：D.4.已知函數(shù)，，則的最大值為（）A.2 B. C.0 D.【答案】B【解析】，令，由，故，即，當(dāng)時(shí)，，故其最大值為.故選：B.5.將圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，則的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到：，令，解得，所以的對(duì)稱中心為，對(duì)于A：令，解得，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，A正確；對(duì)于B：令，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，解得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，解得，D錯(cuò)誤.故選：A.6.已知函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】①當(dāng)時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，解得；②當(dāng)時(shí)解得，此時(shí)函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)為和均不在區(qū)間內(nèi)，矛盾；③當(dāng)時(shí)解得，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)為不在區(qū)間內(nèi)，矛盾，綜上可知.故選：D.7.已知在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，要使得在上單調(diào)遞增，則，解得，又由題意可知，所以.故選：B.8.已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（）A.1 B.10 C.11 D.1024【答案】C【解析】根據(jù)題中的條件，令，則，所以令，則，又，所以，則.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）9.下列代數(shù)式的值為1的是（）A B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：，故不選A；對(duì)于選項(xiàng)B：，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，，故不選C；對(duì)于選項(xiàng)D：，，故D正確.故選：BD.10.下列命題正確的有（）A.存在正實(shí)數(shù)，使得B.對(duì)任意的角，都有C.是與終邊在同一條直線上的充要條件D.函數(shù)為奇函數(shù)是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件【答案】AD【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，所以要使得，則，所以，當(dāng)時(shí)滿足，所以存在正實(shí)數(shù)使得，A正確；對(duì)于B：由誘導(dǎo)公式可知，而不恒成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，此時(shí)與終邊在同一條直線上，所以是充分條件，當(dāng)與終邊在同一條直線上時(shí)，若，此時(shí)與不存在，所以不成立，所以不是必要條件，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若是奇函數(shù)，設(shè)定義域?yàn)閰^(qū)間，則且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，以替代可得，此時(shí)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，所以是充分條件，當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，設(shè)定義域?yàn)?，則且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，以替代可得，此時(shí)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，所以是必要條件，D正確.故選：AD.11.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等關(guān)系一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A：因，所以，又，所以，A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，此時(shí)，所以不能得到，例如當(dāng)時(shí)滿足，此時(shí)不滿足，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，所以，又，所以，C正確；對(duì)于D：，而，所以，又，所以，即，D正確.故選：ACD.12.已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最大值為2C.的增區(qū)間為 D.【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即周期為2，故，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，結(jié)合函數(shù)的周期為2，故在R上恒成立，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，又，故在上為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，任取且，故，因?yàn)?，所以，故在單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的周期可知，的增區(qū)間為，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，其中，，而，故錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.）13.已知扇形的面積為4，半徑為2，則扇形的圓心角為__________弧度.【答案】2【解析】設(shè)扇形的圓心角為，由題意得，，解得，所以扇形的圓心角為2弧度.故答案為：2.14.已知冪函數(shù)（其中，）為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的值為_______.【答案】1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，又，所以或1或2，當(dāng)或2時(shí)，定義域?yàn)?，且，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，且，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；綜上所述，.故答案為：1.15.希羅平均數(shù)（Heroniammean）是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的一種平均，若a，b是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，則它們的希羅平均數(shù)，記，，則A，G，H從小到大的關(guān)系為_________.（用“≤”連接）【答案】【解析】由，，，則，，則，故.故答案為：.16.已知，則________，若，則________.【答案】【解析】由題意：，得：，所以：，所以：，因?yàn)椋?，所以：，又因?yàn)椋海茫?，所以：，得：，又因?yàn)椋?，所以：，，所以?故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.某同學(xué)在研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，采用“五點(diǎn)法”畫簡圖列表如下：（1）根據(jù)上表中數(shù)據(jù)，求出及的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.解：（1）由表格數(shù)據(jù)知：的最小正周期，，，，解得：，又，；令，解得：；令，解得：；令，解得：.（2）由（1）知：，令，解得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為.18.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的解析式；（2）求方程的解集.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，即，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，令，則，即，解得或，則或，即或，當(dāng)時(shí)，，令，則，即，解得或，則或，即或，綜上所述，方程的解集為.19.已知函數(shù)（其中），且.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）解不等式：.解：（1）結(jié)合題意：因?yàn)楹瘮?shù)（其中），且，所以，解得：，故，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，，因?yàn)?，且，所以，，易得：，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，結(jié)合（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，整理可得：，即，解得：.20.已知函數(shù).（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.解：（1）證明：因?yàn)椋?，?（2）由，因?yàn)?，得，所以，?dāng)時(shí)，即，有最大值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.21.如圖，點(diǎn)，，在函數(shù)，（，，）圖象上.（1）若，，求函數(shù)的解析式；（2）若，，且，其中，求的值.解：（1）由已知函數(shù)過點(diǎn)，，可知，又函數(shù)過點(diǎn)，則，即，又，所以，所以，代入點(diǎn)，即，解得，，又，所以，所以.（2）由函數(shù)過點(diǎn)，，則，且，，又函數(shù)過點(diǎn)，則，結(jié)合圖形可得，，又，所以，，所以，，即，，又，即，解得，所以，，所以，又，即，由，得，所以，所以.22.已知函數(shù)，（1）求的最大值；（2