湖南省名校教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題

五市十校教研教改共同體三湘名校教育聯(lián)盟湖湘名校教育聯(lián)合體2022年下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知圓C的圓心坐標(biāo)為，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓C的方程為（）A. B.C. D.3.黨的十八大報(bào)告指出，必須堅(jiān)持在發(fā)展中保障和改善民生，不斷實(shí)現(xiàn)人民對(duì)美好生活的向往，為響應(yīng)中央號(hào)召，某社區(qū)決定在現(xiàn)有的休閑廣場(chǎng)內(nèi)修建一個(gè)半徑為4m的圓形水池來(lái)規(guī)劃噴泉景觀.設(shè)計(jì)如下：在水池中心豎直安裝一根高出水面為2m的噴水管（水管半徑忽略不計(jì)），它噴出的水柱呈拋物線型，要求水柱在與水池中心水平距離為處達(dá)到最高，且水柱剛好落在池內(nèi)，則水柱的最大高度為（）A. B. C. D.4.已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.5.已知冪函數(shù)的圖象是等軸雙曲線C，且它的焦點(diǎn)在直線上，則下列曲線中，與曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)相等的雙曲線是（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是 B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增7.如圖水平放置的邊長(zhǎng)為1的正方形沿x軸正向滾動(dòng)，初始時(shí)頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，（沿x軸正向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再以頂點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)），設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程式，則（）A.0 B.1 C. D.8.已知三棱錐中，，，，若二面角的大小為120°，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.命題“，”的否定為“，”B.在中，若“”，則“”C.若，則的充要條件是D.若直線與平行，則或210.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列單調(diào)遞增，且，則（）A.公差d的取值范圍是 B.C. D.的最小值為111.已知直線l與拋物線（）交于A，B兩點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則B.直線過(guò)定點(diǎn)C.D點(diǎn)的軌跡方程為（原點(diǎn)除外）D.設(shè)與x軸交于點(diǎn)M，則的面積最大時(shí)，直線的斜率為112.在正方體中，，點(diǎn)M在正方體內(nèi)部及表面上運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若M為棱的中點(diǎn)，則直線平面B.若M在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為C.當(dāng)M與重合時(shí)，以M為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線長(zhǎng)為D.若M在線段上運(yùn)動(dòng)，則M到直線的最短距離為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某中學(xué)高一年級(jí)有600人，高二年級(jí)有480人，高三年級(jí)有420人，因新冠疫情防控的需要，現(xiàn)用分層抽樣從中抽取一個(gè)容量為300人的樣本進(jìn)行核酸檢測(cè)，則高三年級(jí)被抽取的人數(shù)為_(kāi)__________.14.設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是漸近線上一點(diǎn)，且滿足，，則雙曲線C的離心率為_(kāi)__________.15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總滿足關(guān)系式，記，，則面積的最大值為_(kāi)__________.16.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…，數(shù)列中的每一項(xiàng)被稱(chēng)為斐波那契數(shù)，用符號(hào)表示（），已知，，（）.（1）若，則___________（2分）；（2）若，則___________（3分）.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知雙曲線C：（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，且，離心率.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的面積.18.（本小題滿分12分）10月9日晚，2022年世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在中國(guó)成都落幕.中國(guó)隊(duì)女團(tuán)與男團(tuán)分別完成了五連冠與十連冠的霸業(yè).乒乓球運(yùn)動(dòng)在我國(guó)一直有著光榮歷史，始終領(lǐng)先世界水平，被國(guó)人稱(chēng)為“國(guó)球”，在某次團(tuán)體選拔賽中，甲乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，采取五局三勝制（即先勝三局的團(tuán)隊(duì)獲得比賽的勝利），假設(shè)在一局比賽中，甲隊(duì)獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相對(duì)獨(dú)立.（1）求這場(chǎng)選拔賽三局結(jié)束的概率；（2）若第一局比賽乙隊(duì)獲勝，求比賽進(jìn)入第五局的概率.19.（本小題滿分12分）已知銳角三角形中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，，且.（1）求角B的大小；（2）若，求面積的取值范圍.20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為的前n項(xiàng)和，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的取值范圍.21.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，E為中點(diǎn).（1）求證：面；（2）求證：面；（3）點(diǎn)Q在棱上，設(shè)（），若二面角的余弦值為，求.22.（本小題滿分12分）已知橢圓C：（）過(guò)點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，且直線的斜率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)在橢圓內(nèi)部，在橢圓外部，過(guò)Ｍ作斜率不為0的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若，求證：為定值，并求出這個(gè)定值.五市十校教研教改共同體三湘名校教育聯(lián)盟湖湘名校教育聯(lián)合體2022年下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.【答案】C【解析】∵，∴.2.【答案】B【解析】圓心，半徑，故圓C方程為.3.【答案】C【解析】取一截面建系如圖，設(shè)拋物線方程為（），記最大高度為h，如圖：，在拋物線上，故，兩式相除有，解得.4.【答案】AB【解析】若公比有，，，此時(shí)，故公比，由題意，化簡(jiǎn)有，故有或，選答案AB.5.【答案】B【解析】由雙曲線幾何性質(zhì)知，雙曲線的焦點(diǎn)在實(shí)軸上，實(shí)軸與雙曲線的交點(diǎn)，是雙曲線的頂點(diǎn)，故雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)，選答案B.6.【答案】D【解析】由知A，B錯(cuò)誤.由，所以C錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，所以D正確.7.【答案】D【解析】A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡最終構(gòu)成圖象如圖：由圖可知.故，在B→D段時(shí)，A點(diǎn)的軌跡方程為（），∴.8.【答案】C【解析】由題意，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，分別是與的外心，且，分別過(guò)，作面，面，記，則O為外接球球心，在中，，∴，故，選C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.【答案】BC【解析】對(duì)A：否定為：，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以D錯(cuò)誤.10.【答案】AB【解析】由題意得，，∴，故A正確；由，故B正確；由，知故C錯(cuò)誤；由有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，但，故不能取“=”，所以D錯(cuò).11.【答案】ABC【解析】，由知方程為，聯(lián)立，消去x有，記，，則，由，∴，故A正確；對(duì)選項(xiàng)BCD，可設(shè)：，代入有，則，由，故直線為，過(guò)定點(diǎn)，即，故B正確；由，得D在以為直徑的圓：上運(yùn)動(dòng)（原點(diǎn)除外），故C正確；當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)，有，故D錯(cuò)誤.12.【答案】ACD【解析】易知A，D正確；對(duì)選項(xiàng)B：展開(kāi)與到同一平面上如圖.知，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：M與重合時(shí)，在側(cè)面上的射影為，故交線是以為圓心的一段圓弧（個(gè)圓），且圓半徑，故圓弧長(zhǎng)，所以C正確.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.【答案】84【解析】由分層抽樣易得.14.【答案】【解析】不妨設(shè)P在第一象限，則，依題意：，∴離線率.15.【答案】18【解析】易得M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且B在橢圓上，A為左頂點(diǎn)，由方程：，設(shè)直線l：與橢圓相切于點(diǎn)M.聯(lián)立，消去x得，由，依題意，時(shí)，面積最大，此時(shí)直線l與距離為，又，∴.16.【答案】（1）11（2分）（2）（3分）【解析】（1），∴；（2）.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意， 1分∴， 2分又， 3分∴， 4分故雙曲線C的方程為； 5分（2），，則由雙曲線定義可得①，由三角形余弦定理得②， 7分有， 9分∴的面積. 10分18.【答案】（1）0.28（2）0.432【解析】設(shè)“第i局甲勝”為事件，“第j局乙勝”為事件（i，，2，3，4，5），（1）記“三局結(jié)束比賽”，則， 2分∴； 6分（2）記“決勝局進(jìn)入第五局比賽”，則， 8分∴. 12分19.【答案】（1）（2）【解析】（1）由， 2分由正弦定理得， 4分又，∴， 6分（2）解法一：在銳角中，由（1）知，，有，令，則，，由正弦定理得，的面積 8分， 10分由得，，則，于是得，所以面積的取值范圍是. 12分解法二：由（1）可知，，故，又因?yàn)椋裕?8分又因?yàn)?，，所以，故，即有，則， 10分又由，即，所以面積的取值范圍是. 12分20【答案】（1）（2）【解析】（1）由， 1分∴（常數(shù)）， 2分故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為， 3分∴， 4分故； 5分（2）設(shè)公比為q（），由題意：，∴，解得或（舍），∴，∴， 7分∴，有，兩式相減得， 9分∴， 10分由，知在上單調(diào)遞增， 11分∴. 12分21.【答案】（1）略（2）略（3）【解析】（1）證明：取中點(diǎn)F，連接，，則，又，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又面，面，∴面； 4分（2）證明：由題意：，，∴，同理，又，∴，∴， 6分又面面，∴面，∴.又且，∴面； 8分（3）以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)