數(shù)學(xué)分析第四章：函數(shù)的連續(xù)性-1連續(xù)性概念

第四章函數(shù)的連續(xù)性§1

連續(xù)性概念

教學(xué)內(nèi)容：1.連續(xù)性概念的引入2.連續(xù)的幾個(gè)等價(jià)定義3.間斷點(diǎn)的定義以及分類教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念

教學(xué)難點(diǎn)：間斷點(diǎn)的分類

問(wèn)題的提出：（1）自然界中有許多現(xiàn)象,如氣溫的變化，河水的流動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等等，都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反應(yīng),就是函數(shù)的連續(xù)性.（2）直觀上來(lái)說(shuō)，連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連綿不斷的曲線。（如圖1）

Oxy圖1函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性1．定義的引入

先回顧一下函數(shù)在

點(diǎn)的極限

定義中要求在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，即

在有沒(méi)有定義、定義為多少

均與極限有沒(méi)有、極限為多少無(wú)關(guān)。這里

可以有三種情況：A無(wú)定義，比如上章講過(guò)的特殊極限

（圖2）比如（圖3）(圖1）xOy圖2xOy圖3A第3種情況與前兩種情況不同，要求

在有定義且極限等于

我們稱這種情況為

在處連續(xù)。

2.在處連續(xù)的定義

定義1：

設(shè)函數(shù)

在的某鄰域

內(nèi)有定義，若

（1）則稱函數(shù)

在點(diǎn)連續(xù)。

3．等價(jià)定義先引入增量的定義：記

自變量

的增量

或改變量；

稱為函數(shù)

的增量或改變量。要說(shuō)明的是增量

可以是正的，也可以是負(fù)的或0。它們關(guān)系的幾何意義如圖4所示xOy圖4利用增量定義得

等價(jià)定義1：設(shè)函數(shù)

函數(shù)

在點(diǎn)連續(xù)。

等價(jià)定義2：設(shè)函數(shù)

函數(shù)

在點(diǎn)連續(xù)。

注意問(wèn)題：例1：

4．左、右連續(xù)的定義當(dāng)遇到分段函數(shù)的分段點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)時(shí)，依定義1不能討論

的連續(xù)性，為此我們?cè)诙x1的基礎(chǔ)上，由

在左、右極限的定義得定義2：設(shè)

則稱函數(shù)

在點(diǎn)右連續(xù)（或左連續(xù)）。

根據(jù)左、右極限與極限的關(guān)系我們?nèi)菀椎米?、右連續(xù)和連續(xù)的關(guān)系

定理4．1：

在點(diǎn)連續(xù)的充要條件為：

在點(diǎn)既右連續(xù)又左連續(xù)。

由定理我們知道，要判別分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性可通過(guò)左、右連續(xù)來(lái)討論。

例2：

2－2xyOx+2x-2圖5二.間斷點(diǎn)及其分類

1．間斷點(diǎn)的定義

定義3：

間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。從定義我們可以得到，

根據(jù)這幾種情形，聯(lián)系左、右極限，我們對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類2．間斷點(diǎn)的分類

1）可去間斷點(diǎn)：

可去間斷點(diǎn)。

例3：

例4：

說(shuō)明:

2）跳躍間斷點(diǎn)：

跳躍間斷點(diǎn)。

例5：例6：。。。。。。xyO1234-1-2123-1-2圖6。。.xyO1-1圖7f(x)=sgnxf(x)=[x]我們把可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)通稱為第一類間斷點(diǎn)。注意：第一類間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是函數(shù)在該點(diǎn)的左、右極限均存在。3）第二類間斷點(diǎn)：函數(shù)至少有一側(cè)極限不存在的那些點(diǎn)成為第二類間斷點(diǎn)。

三.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

1．區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

若函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b)上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(x)為（a,b)上的連續(xù)函數(shù)（或稱f(x)在（a,b)上連續(xù)）；若函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b)上連續(xù)，且在x=a右連續(xù)，在x=b左連續(xù)，則稱f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)（或稱f(x)在[a,b]上連續(xù)）。2．分段連續(xù)函數(shù)

若函數(shù)f(x)