2020-2021學年上海市交通大附屬中學高一上學期期中數(shù)學試題（解析版）

2020-2021學年上海市交通大附屬中學高一上學期期中數(shù)學試題一、單選題1．已知，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分、必要條件定義判定即可.【詳解】解：當時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)可得，因為冪函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，所以，所以充分性成立，當時，因為冪函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，所以，又指數(shù)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，所以，所以必要性成立，綜上：“”是“”的充要條件.故選：C.【點睛】充分條件、必要條件的三種判定方法:（1）定義法：根據(jù)進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；（2）集合法：根據(jù)對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題；（3）等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性進行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.2．若函數(shù)的大致圖象如圖，其中為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖像是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的圖象為減函數(shù)可知，，且，可得函數(shù)的圖象遞減，且，從而可得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)的圖象為減函數(shù)可知，，再由圖象的平移知，的圖象由向左平移可知，故函數(shù)的圖象遞減，且，故選B.【點睛】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.3．由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀.直到1872年,德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割）,并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次大危機.所謂戴德金分割,是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與,且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素,則稱為戴德金分割.試判斷,對于任一戴德金分割,下列選項中,不可能成立的是（

）A．沒有最大元素,有一個最小元素 B．沒有最大元素,也沒有最小元素C．有一個最大元素,有一個最小元素 D．有一個最大元素,沒有最小元素【答案】C【分析】由題意依次舉出具體的集合，從而得到均可成立．【詳解】對，若，；則沒有最大元素，有一個最小元素0，故正確；對，若，；則沒有最大元素，也沒有最小元素，故正確；對，有一個最大元素，有一個最小元素不可能，故錯誤；對，若，；有一個最大元素，沒有最小元素，故正確；故選：．【點睛】本題考查對集合新定義的理解，考查創(chuàng)新能力和創(chuàng)新應(yīng)用意識，對推理能力的要求較高．4．設(shè)函數(shù)的定義域，若對任意的，總存在，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì).下列結(jié)論：①函數(shù)具有性質(zhì)；②函數(shù)具有性質(zhì)；③若函數(shù)，具有性質(zhì)，則.其中正確的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)的定義和指數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合每個選項中具體函數(shù)的定義，即可判斷.【詳解】解：對于①：的定義域是，所以，則.對于任意的，總存在，使得，所以函數(shù)具有性質(zhì)，①正確；對于②：函數(shù)的定義域為，所以若取，則，此時不存在，使得，所以函數(shù)不具有性質(zhì)，②錯誤；對于③：函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，其值域為，要使得其具有性質(zhì)，則，即，解得，，故③正確；故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)新定義問題，對數(shù)和指數(shù)的運算，主要考查運算求解能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題型.二、填空題5．已知全集，集合，則______.【答案】【分析】通過全集，計算出，根據(jù)交集的定義即可．【詳解】因為，，所以所以．故答案為：．6．函數(shù)的圖像恒過定點______.【答案】【分析】根據(jù)，結(jié)合條件，即可求得答案.【詳解】，令，得，，函數(shù)的圖象恒過定點，故答案為：.7．已知冪函數(shù)（）的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù)，則的值為______.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)得，求得或1，再檢驗是否符合題意即可.【詳解】因為是冪函數(shù)，，解得或1，當時，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，在單調(diào)遞增，不符合題意，當時，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，在單調(diào)遞減，符合題意，.故答案為：.8．函數(shù)的圖象中心是______.【答案】【分析】將函數(shù)化成，根據(jù)的對稱中心為，即可得出答案.【詳解】，因為函數(shù)的圖象的對稱中心是，所以函數(shù)的圖象的對稱中心是.故答案為：.【點睛】對稱性的3個常用結(jié)論：（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，即，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；（2）若對于上的任意都有或，則的圖象關(guān)于直線對稱；（3）若函數(shù)是奇函數(shù)，即，則函數(shù)關(guān)于點中心對稱.9．函數(shù)的定義域是______.【答案】【分析】根據(jù)被開方數(shù)非負且分母不為零可得，解對數(shù)不等式即可求得定義域.【詳解】，且，解得或，，函數(shù)的定義域是.故答案為：10．已知實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性得到關(guān)于的不等式，解之可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知，，即，由于冪函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，則，即：，所以，所以實數(shù)的取值范圍是：．故填：．【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．11．已知，求的最大值______.【答案】0【分析】原式化為，結(jié)合基本不等式即可求解最大值．【詳解】，所以，因為，當且僅當時，取等號；．即的最大值為0．故答案為：0．【點睛】方法點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.12．設(shè)?是方程的兩個實根，則______.【答案】【分析】根據(jù)題意由韋達定理得，，進而得，再結(jié)合換底公式得【詳解】解：因為?是方程的兩個實根，所以由韋達定理得，，所以，所以所以.故答案為：【點睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)韋達定理與換底公式進行計算，其中，兩個公式的轉(zhuǎn)化是核心，考查運算求解能力，是中檔題.13．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，用反證法研究該猜想，應(yīng)假設(shè)的內(nèi)容是_______．【答案】存在一個大于2的偶數(shù)不可以表示為兩個素數(shù)的和.【分析】從命題的否定入手可解.【詳解】反證法先否定命題，故答案為存在一個大于2的偶數(shù)不可以表示為兩個素數(shù)的和.【點睛】本題主要考查反證法的步驟，利用反證法證明命題時，先是否定命題，結(jié)合已知條件及定理得出矛盾，從而肯定命題.14．若關(guān)于的方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】利用換元法，設(shè)，轉(zhuǎn)化為方程，有正根，分離參數(shù)，求最值.【詳解】設(shè)，轉(zhuǎn)化為方程，有正根，即，，則，當且僅當，即時取等，故答案為：15．已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得出ax＞0恒成立，利用構(gòu)造函數(shù)法結(jié)合圖象求出不等式恒成立時a的取值范圍．【詳解】解：函數(shù)f（x）＝lg（ax）的定義域為R，∴ax＞0恒成立，∴ax恒成立，設(shè)y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦點在y軸上的雙曲線的一支，且漸近線方程為y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示過原點的直線；由題意知，直線y＝﹣ax的圖象應(yīng)在y的下方，畫出圖形如圖所示；∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，1]．故答案為[﹣1，1]．【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．16．若實數(shù)、滿足，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】，又．，解得三、解答題17．已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分別在、和三種情況下解不等式求得結(jié)果；（2）利用絕對值三角不等式可得到，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）當時，.當時，，解得：；當時，，無解；當時，，解得：；綜上所述：的解集為或.（2）（當且僅當時取等號），，解得：或，的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于常考題型.18．有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速所度可以表示為函數(shù)，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.（參考數(shù)據(jù)）（1）若，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位？（2）若雄鳥的飛行速度為，雌鳥的飛行速度為，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式，計算得到答案．（2）根據(jù)題意得到方程組，兩式相減化簡即可求出答案．【詳解】（1）將，代入函數(shù)，得：，即，所以，所以．故候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為466個單位．（2）設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘耗氧量為，由題意可得：，兩式相減可得：，所以，即，故此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍．【點睛】方法點睛：與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進行解答.19．柯西不等式具體表述如下：對任意實數(shù)，，和，，都有，當且僅當時取等號.（1）請用柯西不等式證明：對任意正實數(shù)，，，，不等式成立，(并指出等號成立條件)（2）請用柯西不等式證明：對任意正實數(shù)，，，，且，求證：(并寫出等號成立條件).【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)任意正實數(shù)，，，，由柯西不等式得，從而證明成立；（2）由，得，然后利用柯西不等式，即可證明成立．【詳解】（1）對任意正實數(shù)，，，，由柯西不等式得，當且僅當時取等號，．（2），，，當且僅當時取等號，．【點睛】方法點睛：利用柯西不等式求最值或證明不等式時，關(guān)鍵是對原目標代數(shù)式進行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.同時，要注意等號成立的條件,配湊過程采取如下方法：一是考慮題設(shè)條件；二是對原目標代數(shù)式進行配湊后利用柯西不等式解答.20．已知函數(shù)?的表達式為，且，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知，若方程的解分別為?，方程的解分別為?，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由可得答案.

（2）由條件可得在區(qū)間上有解，設(shè)，由，則，即在區(qū)間上有解，可得答案.

（3）由條件，，即，以及或，所以，從而可得，求出最大值可得答案.【詳解】（1）由，所以所以（2）在區(qū)間上有解即在區(qū)間上有解即在區(qū)間上有解即設(shè)，由，則所以在區(qū)間上有解當時，所以（3）由，即或由方程的解分別為?，則，所以由，即或方程的解分別為?，則或所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，有最大值.所以，則所以的最大值為【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查指數(shù)的運算和方程有解求參數(shù)，方程根的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是由題意可得在區(qū)間上有解，設(shè)，分類參數(shù)即在區(qū)間上有解，以及根據(jù)方程的根的情況可得，屬于中檔題.21．對于集合，其中每個元素均為正整數(shù)，如果任意去掉其中一個元素之后，剩余的所有元素組成集合，并且都能分為兩個集合和，滿足，，其中和的所有元素之和相等，就稱集合為“可分集合”.（1）判斷集合和是否是“可分集合”(不必寫過程)；（2）求證：五個元素的集合一定不是“可分集合”；（3）若集合是“可分集合”.①證明：為奇數(shù)；②求集合中元素個數(shù)的最小值.【答案】（1）集合不是，集合是；（2）證明見解析；（3）①證明見解析；②7.【分析】（1）根據(jù)“可分集合”定義直接判斷即可得到結(jié)論；（2）不妨設(shè)，分去掉的元素是時得①，或②，去掉的元素是得③，或④，進而求解得矛盾，從而證明結(jié)論.（3）①設(shè)集合所有元素之和為，由題可知，均為偶數(shù)，所以的奇偶性相同，進而分類討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩類情況，分析可得集合中的元素個數(shù)為奇數(shù)；②結(jié)合（1）（2）問依次驗證時集合是否為“可分集合”從而證明.【詳解】解：（1）對于集合，去掉元素，剩余的元素組成的集合為，顯然不能分為兩個集合和，滿足，，其中和的所有元素之和相等，故不是“可分集合”對于集合，去掉元素，，顯然可以分為，滿足題意；去掉元素，，顯然可以分為，滿足題意；去掉元素，，顯然可以分為，滿足題意；去掉元素，，顯然可以分為，滿足題意；去掉元素，，顯然可以分為，滿足題意；去掉元素，，顯然可以分為，滿足題意；去掉元素，，顯然可以分為，滿足題意；故是可分集合.（2）不妨設(shè)，若去掉的是，則集合可以分成或，即：①或②若去掉的是，則集合可以分成或，即：③或④，由①③得，矛盾；由①④，矛盾；由②③得，矛盾；由②④，矛盾；所以五個元素的集合一定不是“可分集合”；（3）①證明：設(shè)集合所有元素之和為，由題可知，均為偶數(shù)，所以的奇偶性相同，若為奇數(shù)，則也均為奇數(shù)，由于，所以為奇數(shù)；若為偶數(shù)，則也均為偶數(shù)，此時設(shè)，則