考點(diǎn)03 全等三角形與角平分線中相關(guān)輔助線問題（解析版）

考點(diǎn)03全等三角形與角平分線中相關(guān)輔助線問題知識(shí)框架1)全等中常見輔助線總結(jié)2）角平分線中常見輔助線總結(jié)分類講解1)全等中常見輔助線總結(jié)方法1截長補(bǔ)短法（往往需證2次全等）截長補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點(diǎn)F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點(diǎn)F，使DF=DC，證AF=BE（2）補(bǔ)短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點(diǎn)M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點(diǎn)M處，使DM=AD，證CM=BE（3）旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等。注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個(gè)圖形的短邊共線）例：如圖，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求證BM+CN=MN方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處，證NE=MN1．（2021·湖北八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如圖，在上截取連接證明利用全等三角形的性質(zhì)證明求解再證明從而可得答案．【詳解】解：如圖，在上截取連接平分故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·黑龍江龍鳳初一期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．【答案】證明見解析．【分析】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．先說明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件證得△AEG≌△AEF，最后再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可解答．【解析】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．3．（2020·浙江秀洲初二期中）（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，請(qǐng)?zhí)骄繄D中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是什么？小明探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進(jìn)而可得線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；證明見解析．【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；（2）延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題．【解析】（1）EF＝BE+DF，理由如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+DF．（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，如圖2，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2020·天津和平初二期中）(1)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，∠ECG=45°，那么EG與圖中兩條線段的和相等？證明你的結(jié)論.(2)請(qǐng)用(1)中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成此題，如圖，在四邊形ABCG中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的長?【答案】（1）EG=BE+DG；（2）EG=10.【分析】（1）延長AD至F，使DF=BE，連接CF，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可直接證明△EBC≌△FDC，從而得出∠BCE=∠DCF，根據(jù)∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案EG=BE+DE；(2)過C作CD⊥AG，交AG延長線于D．則四邊形ABCD是正方形，設(shè)EG=x，則AE=8，根據(jù)（1）可得：AG=16-x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解.【解析】（1）解：EG=BE+DE如圖（1）如圖，延長AD在AD上截取DF=BE，連接CF∵正方形ABCD∴BC=DC，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°∵∠CDF=180°-∠ADC∴∠CDF=90°∴∠ABC=∠CDF∵BE=DF∴△EBC≌△FDC∴∠BCE=∠DCF，EC=FC∵∠ECG=45°∴∠BCE+∠GCD=90°-∠ECG=90°-45°=45°∴∠GCD+∠DCF=∠FCG=45°∴∠ECG=∠FCG∵GC=GC,EC=FC∴△ECG≌△FCG∴EG=GF∵GF=GD+DF=GD+BE∴EG=GD+BE（2）如圖3，過C作CD⊥AG，交AG延長線于D，在直角梯形ABCD中，∵AG∥BC，∠A=∠B=90°，

又∠CDA=90°，AB=BC，∴四邊形ABCG為正方形．∴AD=AB=BC=12．

已知∠ECG=45°，根據(jù)（1）可知，EG=BE+DG，

設(shè)EG=x，則AG=AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x，∴AE=12-BE=8．

在Rt△AED中∵EG2=AG2+AE2，即x2=（16-x）2+82解得：x=10．∴EG=10．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意每個(gè)題目之間的關(guān)系，正確作出輔助線．5．（2021·湖北）如圖，△ABC為等邊三角形，直線l經(jīng)過點(diǎn)C，在l上位于C點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)D滿足∠BDC＝60°．（1）如圖1，在l上位于C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點(diǎn)F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當(dāng)A、B位于直線l兩側(cè)，其余條件不變時(shí)（如圖3），線段HG、CF、BD的數(shù)量關(guān)系為．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差證明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可證明△AEC≌△CDB；（2）在l上C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E，使∠AEC=60°，連接AE，依次證明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出結(jié)論；（3）在l上位于C點(diǎn)右側(cè)取一點(diǎn)E，使∠AED=60°，連接AE，在l上取一點(diǎn)M，使BM=BD，依次證明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）證明：如圖2，在l上C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E，使∠AEC=60°，連接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF=120°，∵∠AFH＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如圖3，在l上位于C點(diǎn)右側(cè)取一點(diǎn)E，使∠AED=60°，連接AE，在l上取一點(diǎn)M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等邊三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE≌△CBM（AAS），∴CE=BM=BD，由（2）可證△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=FE，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD．故答案為：HG=CF+BD．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判斷，三角形外角的性質(zhì)等．掌握一線三等角的模型，能借助一線三等角證明對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．6．（2021·四川東辰國際學(xué)校八年級(jí)期末）已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長度．（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點(diǎn)Q在DC的延長線上，點(diǎn)P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請(qǐng)寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．【答案】（1）；（2）見解析；（3），證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件得出為直角三角形，再根據(jù)證出，從而證出即可得出結(jié)論；（2）如圖2，延長DC到K，使得CK=AP，連接BK，通過證△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根據(jù)證明得，從而得出，然后得出結(jié)論；（3）如圖3，在CD延長線上找一點(diǎn)K，使得KC=AP，連接BK，構(gòu)建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQ≌△BKQ，則其對(duì)應(yīng)角相等：∠PBQ=∠KBQ，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．【詳解】（1）證明：如圖1，．∵，，∴，在和中，∴，∴，∴；（2）如圖2，延長至點(diǎn)，使得，連接∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）；如圖3，在延長線上找一點(diǎn)，使得，連接，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．7．（2020·江蘇八年級(jí)月考）（1）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，先證明ABE≌ADG，再證明AEF≌AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______________；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩地分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；（3）此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明ABE≌ADG，可得AE=AG，再證明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解題；

（2）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明ABE≌ADG，可得AE=AG，再證明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解題；

（3）連接EF，延長AE、BF相交于點(diǎn)C，然后與（2）同理可證．【詳解】解：（1）EF＝BE+DF，證明如下：在ABE和ADG中，，∴ABE≌ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在AEF和GAF中，，∴AEF≌AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為EF＝BE+DF．（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，如圖2，在ABE和ADG中，，∴ABE≌ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在AEF和GAF中，，∴AEF≌AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定以及全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△AGF是解題的關(guān)鍵．方法2.與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線1).已知中點(diǎn)（1）中線倍長法：將中點(diǎn)處的線段延長一倍。目的：=1\*GB3①構(gòu)造出一組全等三角形；=2\*GB3②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。1．（2021·北京九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，為中線，求中線的取值范圍．【答案】【分析】延長至點(diǎn)，使，連接，證明，得到，然后根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系求解即可．【詳解】解：延長至點(diǎn)，使，連接，是中線，，在和中，，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．2．（2021·湖北隨州市·八年級(jí)期末）在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【答案】（1）；（2）見解析；（3），證明見解析【分析】（1）延長到點(diǎn)，使，連接，即可證明，則可得，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到的取值范圍，進(jìn)而得到中線的取值范圍；（2）延長到點(diǎn)使，連接，由（1）知，則可得，由可知，，由角度關(guān)系即可推出，故，即可得到；（3）延長到，使，連接，即可證明，則可得由，以及角度關(guān)系即可證明點(diǎn)在一條直線上，通過證明≌，即可得到，進(jìn)而通過線段的和差關(guān)系得到．【詳解】（1）延長到點(diǎn)，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，，，∴，∴，在中，，∴，即，∴；（2）證明:延長到點(diǎn)使,連接，由（1）知，∴，，，，，，，，（3），延長到，使，連接，，，，，，點(diǎn)在一條直線上，，∴，在和中，，，，∴≌，，∵，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線、全等三角形的證明和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平角的概念、線段的和差關(guān)系等，正確的作出輔助線以及綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2021·四川七年級(jí)期末）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）【答案】180°﹣α．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF＝FM，F(xiàn)B＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長AE至M，使EM＝AE，連接AF，F(xiàn)M，DM，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△AEC與△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∴FB＝FD，在△MDF與△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案為：180°﹣α．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，AB＝8，AC＝6．（1）求四邊形AEDF的周長；（2）若∠BAC＝90°，求四邊形AEDF的面積．【答案】（1）14；（2）12．【分析】（1）延長DE到G，使GE＝DE，連接BG，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出AE＝4，AF＝3，并利用SAS證明△AED≌△BEG，由全等三角形的性質(zhì)并再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD，可證得DE＝AB＝4，同理DF＝AC＝3，即可計(jì)算出四邊形的周長；（2）利用SSS可證△AEF≌△DEF，根據(jù)直角三角形的面積計(jì)算方法求出△AEF的面積，則四邊形的面積即可求解．【詳解】解：（1）延長DE到G，使GE＝DE，連接BG，∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，AB＝8，AC＝6，∴AE＝BE＝AB＝4，AF＝CF＝AC＝3．在△AED和△BEG中，，∴△AED≌△BEG（SAS）．∴AD＝BG，∠DAE＝∠GBE．∵AD⊥BC，∴∠DAE＋∠ABD＝90°．∴∠GBE＋∠ABD＝90°．即∠GBD＝∠ADB＝90°．在△GBD和△ABD中，，∴△GBD≌△ABD（SAS）．∴GD＝AB．∵DE＝GD，∴DE＝AB＝4．同理可證：DF＝AC＝3．∴四邊形AEDF的周長＝AE＋ED＋DF＋FA＝14．（2）由（1）得AE＝DE＝AB＝4，AF＝DF＝AC＝3，在△AEF和△DEF中，，∴△AEF≌△DEF（SSS）．∵∠BAC＝90°，∴S△AEF＝AE?AF＝×4×3＝6．∴S四邊形AEDF＝2S△AEF＝12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)并能利用倍長中線法構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2021·湖北八年級(jí)期末）在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【答案】（1）；（2）見解析；（3），證明見解析【分析】（1）延長到點(diǎn)，使，連接，即可證明，則可得，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到的取值范圍，進(jìn)而得到中線的取值范圍；（2）延長到點(diǎn)使，連接，由（1）知，則可得，由可知，，由角度關(guān)系即可推出，故，即可得到；（3）延長到，使，連接，即可證明，則可得由，以及角度關(guān)系即可證明點(diǎn)在一條直線上，通過證明≌，即可得到，進(jìn)而通過線段的和差關(guān)系得到．【詳解】（1）延長到點(diǎn)，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，，，∴，∴，在中，，∴，即，∴；（2）證明:延長到點(diǎn)使,連接，由（1）知，∴，，，，，，，，（3），延長到，使，連接，，，，，，點(diǎn)在一條直線上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線、全等三角形的證明和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平角的概念、線段的和差關(guān)系等，正確的作出輔助線以及綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．（1）如圖1，①若，請(qǐng)直接寫出______；②連接，若，求證：；（2）如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①45°；②見解析；（2），理由見解析【分析】（1）①利用直角三角形兩個(gè)銳角相加得和三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和的性質(zhì)結(jié)合題干已知即可解題．②延長至點(diǎn)，使得，連接，從而可證明≌（SAS），再利用全等的性質(zhì)，可知，即可知道，所以，根據(jù)題干又可得到，所以，從而得出結(jié)論．（2）延長至點(diǎn)，使得，連接，從而可證明≌（SAS），再利用全等的性質(zhì)，可知，，根據(jù)題干即可證明≌（HL），即得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵，∴∵∴又∵∴∴故答案為．②如圖，延長至點(diǎn)，使得，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴≌，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．（2）．如圖，延長至點(diǎn)，使得，連接，∵，，∴≌，∴，，∵．∴≌，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．綜合性較強(qiáng)，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．（2）向中線作垂線：過線段兩端點(diǎn)向中點(diǎn)處的線段作垂線。目的：構(gòu)造出一組全等三角形輔助線技巧：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。1．（2021·全國初三專題練習(xí)）如圖，是延長線上一點(diǎn)，且，是上一點(diǎn)，，求證：.【答案】詳見解析【分析】分別過點(diǎn)D、C作AB的垂線，構(gòu)建與，證其全等即可求得答案.【解析】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作的延長線于點(diǎn)F，則有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，∴，∴DF=CG，.又，∴≌，.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.2．（2021·全國初三專題練習(xí)）如圖，已知AD為△ABC的中線，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，且AE＝FE.求證：BF＝AC．【答案】證明見解析【分析】向中線作垂線，證明，得到，再根據(jù)AE＝FE，得到角的關(guān)系，從而證明，最終得到結(jié)論.【解析】如圖，分別過點(diǎn)、作，，垂足為、，則.，，，.，，，，又，，.【點(diǎn)睛】本題是較為典型的題型，至少可以用到兩種方法來解題，此題的特點(diǎn)就是必須有中線這個(gè)條件才能構(gòu)造平行四邊形或雙垂線.3．（2020.廣東省七年級(jí)期中）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，（1）在圖中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分別為M、N；（2）求證：DM＝DN；（3）求AD＝3，求AM+AN的值．【分析】（1）根據(jù)條件作出圖形，即可解答；（2）證明△BND≌△CMD，即可得到DN＝DM．（3）由△BND≌△CMD，得到DM＝DN，利用線段的和與差得到AM＝AD+DM，AN＝AD﹣ND，所以AM+AN＝AD+DM+AD﹣ND＝2AD＝6．【詳解】解：（1）如圖，（2）∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵CM⊥AD，BN⊥AD，∴∠BND＝∠CMD＝90°，在△BND和△CMD中，∠BND=∠CMD∠BDN=∠CDMBD=CD∴△BND≌△CMD，∴DN＝（3）∵△BND≌△CMD，∴DM＝DN，∵AM＝AD+DM，AN＝AD﹣ND，∴AM+AN＝AD+DM+AD﹣ND，∵DM＝DN，∴AM+AN＝2AD＝6．4．（2020·遼寧鞍山市·八年級(jí)期中）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；【分析】（1）①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【詳解】（1）①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角相等，平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇八年級(jí)期中）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（模型呈現(xiàn)）（1）如圖，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到__________，．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；（模型應(yīng)用）（2）如圖，，，，連接，，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有__________（填“＞、=、＜”）（4）如圖，分別以的三條邊為邊，向外作正方形，連接、、．當(dāng)，，時(shí)，圖中的三個(gè)陰影三角形的面積和為__________；（5）如圖，點(diǎn)、、、、都在同一條直線上，四邊形、、都是正方形，若該圖形總面積是16，正方形的面積是4，則的面積是__________．【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）＝；（4）6；（5）2【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）分別過點(diǎn)和點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由（1）中結(jié)論可得到AF=DM，AF=EN，然后只需要證明即可得到答案；（3）過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E錯(cuò)EN⊥OD交OD延長線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長線于M，然后同（2）中證明，，即可得到答案；（4）同（3）中證明方法可以得到，只需要求出即可得到答案；（5）同（3）中的方法可以證明，然后利用勾股定理得到即可得到答案.【詳解】解：（1）∵∴（2）分別過點(diǎn)和點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴∵，∴，在和中，，，，∴，∴同理∴，∵，，∴，在和中，，，，∴∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）如圖所示，過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長線于M∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE∵DO⊥AF，CM⊥OD∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，又∵∠ODA+∠DCM=90°∴∠ADO=∠DCM∴∴，OD=MC同理可以證明∴，OD=NE∴MC=NE∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP∴∴∵，∴∴即；（4）如圖所示，過點(diǎn)E作EO⊥CD交CD于O同（3）中的證明方法可以得到∵EO⊥CD∴∠EOD=90°又∵∠CDE=45°，DE=∴OD=OE=1∵AB=CD=4∴∴（5）同（3）中的方法可以證明，且即由勾股定理得：∴∴∵圖形總面積是16，正方形KCMG的面積是4∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定.6．（2021·黑龍江八年級(jí)期中）在中，直線經(jīng)過點(diǎn)，于，于，于．請(qǐng)解答下列問題：（1）如圖①，求證：；（提示：過點(diǎn)作于）（2）如圖②、圖③，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需要證明；（3）在（1）（2）的條件下，若，，，則______．【答案】（1）證明見解析；（2）圖②：，圖③：；（3）9或7．【分析】（1）如圖①過點(diǎn)作于點(diǎn)，先利用垂直和平行求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；（2）同理可得，，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；（3）先利用勾股定理求出BE，根據(jù)（1）（2）的結(jié)論代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．，，∵，∴，∵，即，，又∵在中，，，，．四邊形為矩形，，；（2）圖②：，圖③：；理由：如圖②，過點(diǎn)作交的延長線于，則同理可得：，，；如圖③，過點(diǎn)作交的延長線于，同理可得：，，；（3）解：如圖①，，，，∴∵，由（1）得；如圖②同理；圖③不存在，綜上所述，或，故答案為：9或7．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、證中點(diǎn)（需證2次全等）（1）過端點(diǎn)作另一邊的平行線：目的：構(gòu)造出一組全等三角形特點(diǎn)：中線倍長的反向應(yīng)用1.如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分別是AC和AC的延長線上的點(diǎn)，連接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。求證：D是AC的中點(diǎn)?！敬鸢浮浚喝鐖D，過點(diǎn)C作AB的平行線，交BD的延長線于點(diǎn)F∵CF∥AB∴∠ABD=∠DFC∴∠DBC+∠BFC=∠ABC∵∠ABC=∠ACB∴∠ACB=∠DBC+∠BFC∵∠BCF+∠DBC+∠BFC=180°，∠BCE+∠ACB=180°∴∠BCF=∠BCE在△BCF與△BCE中∴△BCF≌△BCE∴CF=CE∵CE=AB∴AB=CF在△ABD與△CFD中∴△ABD≌△CFD∴AD=DC∴D是AC的中點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.2.如圖，AB⊥AE，AB=AE，AC⊥AD，AC=AD，AH⊥DE于點(diǎn)H，延長AH交BC于點(diǎn)M。求證：M是BC的中點(diǎn)?！敬鸢浮浚喝鐖D，過點(diǎn)B作AC的平行線，交AM的延長線于點(diǎn)F∵BF∥AC∴∠BFA=∠MAC∴∠BFA+∠BAF=∠BAF+∠MAC=∠BAC∵AC⊥AD，AB⊥AE∴∠DAC+∠BAE=180°=DAB+∠BAC+∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠BAC又∵∠ABF+∠BFA+∠BAF=∠ABF+∠BAC∴∠FBA=∠DAE∵AG⊥DE∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠AEH=90°∵∠BAF+∠HAE=90°∴∠BAF=∠AEH在△BAF與△AEF中∴△BAF≌△AEF∴BF=AD∵AD=AC∴BF=AC在△FBM與△ACM中∴△FBM≌△ACM∴BM=MC∴M是BC的中點(diǎn)3．（2020·安徽八年級(jí)期末）如圖，△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD＝CE，連接DE交底BC于G.求證：GD＝GE.【答案】證明見解析【分析】過E作EF∥AB交BC延長線于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可推出∠F=∠FCE，從而可得到BD=CE=EF，再根據(jù)AAS判定△DGB≌△EGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．【詳解】證明：過E作EF∥AB交BC延長線于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG與△GEF中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD=GE．4．（2020·華中科技大學(xué)同濟(jì)醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)月考）如圖1，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC的延長線上，且CE＝BD，連接DE交BC于點(diǎn)F．⑴求證：EF＝DF；⑵如圖2，過點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G，求證：BC＝2FG.【答案】（1）答案見詳解；（2）答案見詳解.【分析】(1)過點(diǎn)D作DM∥AC，如圖1，則∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，進(jìn)而可得：CE=MD，易證：?DMF??ECF，即可得到結(jié)論；(2)過點(diǎn)D作DM∥AC，如圖2，易證：?DMF??ECF，可得：MF=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一，可得：BG=MG，進(jìn)而可得到結(jié)論.【詳解】（1）過點(diǎn)D作DM∥AC，如圖1，則∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵CE＝BD，∴CE=MD，在?DMF和?ECF中，∵∴?DMF??ECF（AAS）,∴EF＝DF；（2）過點(diǎn)D作DM∥AC，如圖2，由第（1）小題，可知：BD=MD，?DMF??ECF，∴MF=CF，∵DG⊥BC，∴BG=MG（等腰三角形三線合一），∴BC=BM+CM=2(GM+FM)=2FG，圖1圖2【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理以及等腰三角形的性質(zhì)定理，添加合適的輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵.5．（2021·河南八年級(jí)期末）閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下思路：如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論.完成下面問題：（1）這一思路的輔助線的作法是：．（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上思路的證明方法（要求：寫出輔助線的作法，畫出相應(yīng)的圖形，并寫出證明過程）．【答案】（1）延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG；（2）見解析【分析】（1）延長AD于點(diǎn)G使得DG=AD．利用AE=EF可證得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，證明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC=BG，證出∠G=∠BFG，得出BG=BF，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，則作法為：延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG；（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，如圖②所示：則∠G＝∠CAD，∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（2020·北京朝陽初二期末）閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．完成下面問題：（1）①思路一的輔助線的作法是：；②思路二的輔助線的作法是：．（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過程）．【答案】（1）①延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG；②作BG＝BF交AD的延長線于點(diǎn)G；（2）詳見解析【分析】（1）①依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．②作BG＝BF交AD的延長線于點(diǎn)G．利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，證明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，證出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）①延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG，如圖①，理由如下：∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案為：延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG；②作BG＝BF交AD的延長線于點(diǎn)G，如圖②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案為：作BG＝BF交AD的延長線于點(diǎn)G；（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，如圖③所示：則∠G＝∠CAD，∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、其中一般證明兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同學(xué)們靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)做輔助線解決問題．（2）兩端點(diǎn)向中線作垂線：目的：構(gòu)造出一組全等三角形特點(diǎn)：與已知中點(diǎn)時(shí)向中線作垂線方法一致1．（2021·全國初三專題練習(xí)）如圖，在中，，，，，延長交于.求證：.【答案】詳見解析【分析】如圖，過點(diǎn)D作的延長線于點(diǎn)G，易證，再證即可得答案.【解析】如圖，過點(diǎn)D作的延長線于點(diǎn)G，，，，又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，∴，，又∵BC=BE，，又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，∴，∴EF=DF.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.2．（2020.河北省期中）如圖．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延長線交DE于F。（1）求證：點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)；（2）求證：S△ABC＝2S△BEF．【分析】（1）過點(diǎn)E作EM⊥CF交CF的延長線于M，根據(jù)同角的余角相等求出∠EBM＝∠A，然后利用“角角邊”證明△ABC和△BEM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BC＝EM，再求出BD＝EM，然后利用“角角邊”證明△EMF和△DBF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF＝DF，從而得證；（2）根據(jù)全等三角形的面積相等和等底等高的三角形的面積相等進(jìn)行證明．【詳解】證明：（1）如圖，過點(diǎn)E作EM⊥CF交CF的延長線于M，∵BE⊥AB，∴∠EBM+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，在△ABC和△BEM中，∠EBM=∠A∠C=∠M=90°BE=AB，∴△ABC≌△BEM（AAS），∴BC＝∵BD＝BC，∴BD＝EM，在△EMF和△DBF中，∠M=∠DBF=90°∠EFM=∠DFB∴△EMF≌△DBF（AAS），∴EF＝DF，∴點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)；（2）∵△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，∴S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，∵點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)，∴S△BEF＝S△DBF=12S△BEM=12S△ABC，∴S△ABC＝23．（2021·吉林八年級(jí)期末）如圖①，∠BAD=90°，AB=AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥CA的延長線點(diǎn)E，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，得△ABC≌△DAE進(jìn)而得到AC=DE，BC=AE，我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型．請(qǐng)應(yīng)用上述“一線三等角”模型，解決下列問題：（1）如圖②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC、DE，且BC⊥AH于點(diǎn)H，DE與直線AH交于點(diǎn)G，求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)．（2）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），若△AOB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）A(，)或(，-)．【分析】（1）過點(diǎn)D作DM⊥AM交AG于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AG于點(diǎn)N．根據(jù)“K字模型”即可證明AH=DM和AH=EN，即EN=DM，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明DG=EG，即點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)．（2）分情況討論①當(dāng)A點(diǎn)在OB的上方時(shí)，作AC垂直于y軸，BE垂直于x軸，CA和EB的延長線交于點(diǎn)D．根據(jù)“K字模型”即可證明，再利用B點(diǎn)坐標(biāo)即可求出A點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)A點(diǎn)在OB的下方時(shí)，作AP垂直于y軸，BM垂直于x軸，PA和BM的延長線交于點(diǎn)Q．同理即能求出A點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AM交AG于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AG于點(diǎn)N，則∠DMA=90°，∠ENG=90°．∵∠BHA=90，∴∠2+∠B=90°．∵∠BAD=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠B=∠1．在△ABH和△DAM中，∴△ABH△DAM（AAS），∴AH=DM．同理△ACH△EAN（AAS），∴AH=EN．∴EN=DM．在△DMG和△ENG中，∴△DMG△ENG（AAS）．∴DG=EG∴點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)．（2）根據(jù)題意可知有兩種情況，A點(diǎn)分別在OB的上方和下方．①當(dāng)A點(diǎn)在OB的上方時(shí)，如圖，作AC垂直于y軸，BE垂直于x軸，CA和EB的延長線交于點(diǎn)D．利用“K字模型”可知，∴，設(shè)，則，∵，∴，又∵，即，解得，∴，．即點(diǎn)A坐標(biāo)為(，)．②當(dāng)A點(diǎn)在OB的下方時(shí)，如圖，作AP垂直于y軸，BM垂直于x軸，PA和BM的延長線交于點(diǎn)Q．根據(jù)①同理可得：，．即點(diǎn)A坐標(biāo)為(，)．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)．熟練利用三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．4．（2021·山東七年級(jí)期末）如圖，以△ABC的兩邊AB和AC為腰在△ABC外部作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．（1）連接BE、CD交于點(diǎn)F，如圖①，求證：BE＝CD，BE⊥CD；（2）連接DE，AM⊥BC于點(diǎn)M，直線AM交DE于點(diǎn)N，如圖②，求證：DN＝EN．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解．【分析】（1）只要證明△ABE≌△ADC即可解決問題；（2）延長AN到G，使AG=BC，連接GE，先證，再證即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，

又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，

即∠BAE=∠DAC，∴△ABE≌△ADC，∴BE=DC，∠ABE=∠ADC，

又∵∠DOF=∠AOB，∠BOA+∠ABE=90°，

∴∠ABE+∠DOF=90°∴∠ADC+∠DOF=90，即BE⊥DC．（2）延長AN到G使AG=BC，連接GE，，，，，同理可證：，∴，，，，又，∴，．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，輔助線是解此題的關(guān)鍵．2）角平分線中常見輔助線總結(jié)方法1：角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線方法：利用角平分線性質(zhì)，取角平分線上一點(diǎn)，向被平分的角的兩邊作垂線注：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。目的：構(gòu)造一組全等三角形1．（2021·安徽安慶市·八年級(jí)期末）如圖，是等腰三角形底邊上的中線，平分，交于點(diǎn)，，，則的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝DE＝2，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作EF⊥BC于F，∵AC＝BC＝6，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面積＝×BC×EF＝6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．2．（2021·黑龍江大慶市·七年級(jí)期末）如圖，已知，、分別平分和且度，則______度．【答案】60【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，然后整理得到∠BEC=∠BAC，過點(diǎn)E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延長線于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得EF=EG=EH，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出AE平分∠CAH，然后列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，∴∠BEC+∠EBC=（∠BAC+∠ABC），∴∠BEC=∠BAC，∵∠BEC=30°，∴∠BAC=60°，過點(diǎn)E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延長線于H，

∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD，∴EF=EH，EF=EG，∴EF=EG=EH，∴AE平分∠CAH，∴∠EAC=（180°∠BAC）=（180°60°）=60°．故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2021·鹽城市鹽都區(qū)八年級(jí)月考）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)SAS證△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，結(jié)合∠BCD＝∠BDC可得①②正確；根據(jù)角的和差以及三角形外角的性質(zhì)可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正確；過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，證明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用線段和差即可得到④正確．【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正確；②∵BD為△ABC的角平分線，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正確；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE．③正確；④過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，∵E是∠ABC的角平分線BD上的點(diǎn)，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG?CG＝BF＋BG＝2BF，④正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020·廣西南寧市·八年級(jí)期末）已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．【答案】（1）見解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由見解析；（3）3．【分析】（1）過點(diǎn)C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE＝CF，證明△BCE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE＝CF，AE＝AF，證明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，結(jié)合圖形解答即可；（3）在BD上截取BH＝BG，連接OH，證明△OBH≌△OBG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OHB＝∠OGB，根據(jù)角平分線的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，證明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；（3）解：如圖3，在BD上截取BH＝BG，連接OH，∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，∵AO是∠MAN的平分線，BO是∠ABD的平分線，∴點(diǎn)O到AD，AB，BD的距離相等，∴∠ODH＝∠ODF，∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是依照基礎(chǔ)示例引出正確輔助線．5．（2020·遼寧鞍山市·八年級(jí)期中）在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分線，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F（如圖（1）），則可以得到以下兩個(gè)結(jié)論：①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．那么在△ABC中，仍然有條件“AD是∠BAC的角平分線，點(diǎn)E和點(diǎn)F，分別在AB和AC上”，請(qǐng)?zhí)骄恳韵聝蓚€(gè)問題：（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如圖（2）），則DE與DF是否仍相等？若仍相等，請(qǐng)證明；否則請(qǐng)舉出反例．（2）若DE＝DF，則∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只寫出結(jié)論，不證明）【答案】（1）DE＝DF，理由見解析；（2）不一定成立【分析】（1）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，DM＝DN，△DME≌△DNF，DE＝DF；（2）如圖，若DE、DF在點(diǎn)D到角的兩邊的垂線段與頂點(diǎn)A的同側(cè)則一定不成立；【詳解】（1）DE＝DF．理由如下：過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DFN＝180°，∴∠DFN＝∠AED，∴△DME≌△DNF（AAS），∴DE＝DF；（2）不一定成立．如圖，若DE、DF在點(diǎn)D到角的兩邊的垂線段與頂點(diǎn)A的同側(cè)則一定不成立，經(jīng)過（1）的證明，若在垂線段上或兩側(cè)則成立，所以不一定成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，難點(diǎn)在于熟練和靈活的應(yīng)用角平分線要點(diǎn)；6．（2020·武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)）如圖，中，于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，，連接．（1）求證：；（2）延長交于點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；（3）過點(diǎn)作，，連接交于點(diǎn)，若，，直接寫出的面積．【答案】（1）見解析；（2）∠CFD=135°；（3）△NBC的面積為21．【分析】（1）由“SAS”可證△BDE≌△CDA，可得BE=CA；（2）過點(diǎn)D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，由全等三角形的性質(zhì)可得∠DBE=∠ACD，S△BDE=S△ADC，由面積關(guān)系可求DH=DG，由角平分線的性質(zhì)可得∠DFG=∠DFH=45°，即可求解；（3）在CD上截取DE=AD=5，連接BE，延長BE交AC于F，由△BEN≌△MCN，可得EN=CN，由三角形的面積公式可求解．【詳解】證明（1）在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=CA；（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，∵△BDE≌△CDA，∴∠DBE=∠DCA，S△BDE=S△ADC，∵∠DBE+∠A=∠ACD+∠A=90°，∴∠AFB=∠CFB=90°，∵S△BDE=S△ADC，∴，∴DH=DG，又∵DG⊥AC，DH⊥BF，∴∠DFG=∠DFH=45°，∴∠CFD=135°；（3）如圖3，在CD上截取DE=AD=5，連接BE，延長BE交AC于F，由（1）、（2）可得BE=AC，BF⊥AC，BD=CD=12，∵CM⊥CA，∴BF∥CM，∴∠M=∠FBN，∵CM=CA，∴CM=BE，在△BEN和△MCN中，，∴△BEN≌△MCN（AAS），∴EN=CN，∵EC=CD-DE=12-5=7，∴，∴△NBC的面積，故△NBC的面積為21．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．7．（2020·江西南昌市·八年級(jí)期中）如圖，在中，已知：是它的角平分線，且．（1）求的面積；（2）在解完（1）問后，小智經(jīng)過反思后發(fā)現(xiàn)，小慧發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)判斷小智和小慧的發(fā)現(xiàn)是否正確?若正確，請(qǐng)寫出證明過程，若錯(cuò)誤，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）36，（2）都正確，證明見詳解【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分線，利用角平分線性質(zhì)有DF=DE，分別求S△ABD和S△ACD，則S△ABC=S△ABD+S△ACD計(jì)算即可（2）都正確AD是它的角平分線，，DF⊥AB，則DE=DF，由（1）知S△ABD=，S△ACD=，求兩個(gè)三角形面積之比，過A作AG⊥BC于G，AG是△ABD的高，也是△ACD的高，分別求出利用高表示的三角形的面積，，再求求兩個(gè)三角形面積之比即可．【詳解】（1）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分線，，DF=DE=4，S△ABD=，S△ACD=，S△ABC=S△ABD+S△ACD=20+16=36，（2）都正確，AD是它的角平分線，，DF⊥AB，則DE=DF，S△ABD=，S△ACD=，，過A作AG⊥BC于G，，，，由，，小智和小慧的發(fā)現(xiàn)都正確．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積與角平分線定理，掌握三角形的面積與角平分線定理，會(huì)求三角形的面積，會(huì)用面積證明角分線分得的兩線段的比是解題關(guān)鍵．方法2過邊上的點(diǎn)向角平分線作垂線方法：取被平分角邊上一點(diǎn)，向角平分線作垂線，并延長至與另一個(gè)邊相交適用條件：往往題干中已有線段與角平分線垂直，只需延長垂線段即可目的：構(gòu)造一組關(guān)于角平分線對(duì)稱的全等直角三角形1．（2020·重慶市松樹橋中學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為______cm2．【答案】4.5【分析】根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出，代入求出即可．【詳解】解：延長AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE，∴∴cm2，故答案為4.5．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，注意：等底等高的三角形的面積相等．2．（2020·河南九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AM平分∠BAC，CM⊥AM于點(diǎn)M，N為BC的中點(diǎn)，連結(jié)MN，則MN的長為______.【答案】1【分析】延長CM交AB于H，證明△AMH≌△AMC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH＝AC＝6，CM＝MH，根據(jù)三角形中位線定理解答.【詳解】解：延長CM交AB于H，∵AM平分∠BAC，∴在△AMH和△AMC中，，∴△AMH≌△AMC(ASA)∴AH＝AC＝6，CM＝MH，∴BH＝AB﹣AH＝2，∵CM＝MH，CN＝BN，∴MN＝BH＝1，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．3．（2020·江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)城西分校八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，若BD＝4，則CE＝________．【答案】2【分析】根據(jù)題意延長BA、CE相交于點(diǎn)F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=EF，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角邊角”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=CF，然后求解即可．【詳解】解：如圖，延長BA、CE相交于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)和等角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并得到與BD相等的線段CF．4．（2021·四川眉山市·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）BD=2CE，理由見解析；（3）FM=2CE．【分析】(1)由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可證△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延長CE，交BA的延長線于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可證△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可證△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【詳解】證明(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°，∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延長CE，交BA的延長線于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，

（3）FM=2CE，理由如下：作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線是解題關(guān)鍵．5．（2021·湖北八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF【答案】見解析【分析】延長AE、BC交于點(diǎn)F．根據(jù)同角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；由ASA證明△BCD≌△ACF，得出AF=BD，AE=AF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=BF，再根據(jù)等腰三角形的三線合一得出BD是∠ABC的角平分線，由角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．【解析】證明：延長AE、BC交于點(diǎn)F.如圖所示：∵A