圓錐曲線定義-

NUMPAGES19圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)一．橢圓定義Ⅰ：若F1，F(xiàn)2是兩定點，P為動點，且（為常數(shù)）則P點的軌跡是橢圓。定義Ⅱ：若F1為定點，l為定直線，動點P到F1的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e（0<e<1），則P點的軌跡是橢圓。標(biāo)準(zhǔn)方程：取值范圍：，長軸長=，短軸長=2b焦距：2c準(zhǔn)線方程：焦半徑：，，，等（注意：涉及焦半徑時①用點P坐標(biāo)表示，②第一定義，第二定義。）注意：（1）圖中線段的幾何特征：，，等等。頂點與準(zhǔn)線距離、焦點與準(zhǔn)線距離分別與有關(guān)。（2）中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式將有關(guān)線段、、2c，有關(guān)角結(jié)合起來，建立+、等關(guān)系（3）橢圓上的點有時常用到三角換元：；（4）注意題目中橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上，請補充當(dāng)焦點在y軸上時，其相應(yīng)的性質(zhì)。二、雙曲線（一）定義：Ⅰ若F1，F(xiàn)2是兩定點，（為常數(shù)），則動點P的軌跡是雙曲線。Ⅱ若動點P到定點F與定直線l的距離之比是常數(shù)e（e>1），則動點P的軌跡是雙曲線。（二）圖形：（三）性質(zhì)方程：取值范圍：；實軸長=，虛軸長=2b焦距：2c準(zhǔn)線方程：焦半徑：，，；注意：（1）圖中線段的幾何特征：，頂點到準(zhǔn)線的距離：；焦點到準(zhǔn)線的距離：兩準(zhǔn)線間的距離=（2）若雙曲線方程為漸近線方程：若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）（3）特別地當(dāng)離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；（4）注意中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、、和角結(jié)合起來。（5）完成當(dāng)焦點在y軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)。三、拋物線（一）定義：到定點F與定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線。即：到定點F的距離與到定直線l的距離之比是常數(shù)e（e=1）。（二）圖形：（三）性質(zhì)：方程：；焦點：，通徑；準(zhǔn)線：；焦半徑：過焦點弦長注意：（1）幾何特征：焦點到頂點的距離=；焦點到準(zhǔn)線的距離=；通徑長=頂點是焦點向準(zhǔn)線所作垂線段中點。（2）拋物線上的動點可設(shè)為P或P考點一求圓錐曲線方程求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學(xué)生識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學(xué)們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.●典例探究［例1］某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B′是下底直徑的兩個端點，已知AA′=14m，CC′=18m,BB′=22m,塔高20m.建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程.命題意圖：本題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組的基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識、思想和方法解決實際問題的能力.知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標(biāo)適合方程。錯解分析：建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵。技巧與方法：本題第一問是待定系數(shù)法求曲線方程。解：如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy,使AA′在x軸上，AA′的中點為坐標(biāo)原點O，CC′與BB′平行于x軸.設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0),則a=AA′=7又設(shè)B(11,y1),C(9,x2)因為點B、C在雙曲線上，所以有由題意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=7故雙曲線方程為=1.［例2］過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計新穎，基礎(chǔ)性強.知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題.錯解分析：不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯誤.恰當(dāng)?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關(guān)鍵.技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達定理.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,設(shè)AB中點為(x0,y0),則kAB=－,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,設(shè)l的方程為y=－x+1.右焦點(b,0)關(guān)于l的對稱點設(shè)為(x′,y′),由點(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.∴所求橢圓C的方程為=1,l的方程為y=－x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x－1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.直線l：y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=－1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.［例3］如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.命題意圖：本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.知識依托：定比分點坐標(biāo)公式；三角形的面積公式；以及點在曲線上，點的坐標(biāo)適合方程.錯解分析：利用離心率恰當(dāng)?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是本題的關(guān)鍵，正確地表示出△P1OP2的面積是學(xué)生感到困難的.技巧與方法：利用點P在曲線上和△P1OP2的面積建立關(guān)于參數(shù)a、b的兩個方程，從而求出a、b的值.解：以O(shè)為原點，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)由e2=，得.∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=－x點坐標(biāo)為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.●思路方法一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標(biāo)軸上時，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小.●考點一訓(xùn)練一、選擇題1已知直線x+2y－3=0與圓x2+y2+x－6y+m=0相交于P、Q兩點，O為坐標(biāo)原點，若OP⊥OQ，則m等于()A.3 B.－3 C.1 D.－12中心在原點，焦點在坐標(biāo)為(0，±5)的橢圓被直線3x－y－2=0截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為()二、填空題3.直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P，若過點P且以雙曲線12x2－4y2=3的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為_________.4.已知圓過點P(4，－2)、Q(－1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，則該圓的方程為_________.三、解答題5已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F，M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程.6.某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長.7.已知圓C1的方程為(x－2)2+(y－1)2=,橢圓C2的方程為=1(a＞b＞0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.考點二直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.●典例探究［例1］如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積.命題意圖：直線與圓錐曲線相交，一個重要的問題就是有關(guān)弦長的問題.本題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法——“韋達定理法”.知識依托：弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想.錯解分析：將直線方程代入拋物線方程后，沒有確定m的取值范圍.不等式法求最值忽略了適用的條件.技巧與方法：涉及弦長問題，應(yīng)熟練地利用韋達定理設(shè)而不求計算弦長，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達定理，設(shè)而不求簡化運算.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=4.點A到直線l的距離為d=.∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.∴S△≤8,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時取等號.故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.［例2］已知雙曲線C：2x2－y2=2與點P(1，2)(1)求過P(1，2)點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點.(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點的弦是否存在.命題意圖：第一問考查直線與雙曲線交點個數(shù)問題，歸結(jié)為方程組解的問題.第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法——“差分法”.知識依托：二次方程根的個數(shù)的判定、兩點連線的斜率公式、中點坐標(biāo)公式.錯解分析：第一問，求二次方程根的個數(shù)，忽略了二次項系數(shù)的討論.第二問，算得以Q為中點弦的斜率為2，就認(rèn)為所求直線存在了.技巧與方法：涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*)(ⅰ)當(dāng)2－k2=0,即k=±時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點(ⅱ)當(dāng)2－k2≠0,即k≠±時Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①當(dāng)Δ=0,即3－2k=0,k=時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點.②當(dāng)Δ＞0,即k＜,又k≠±,故當(dāng)k＜－或－＜k＜或＜k＜時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點.③當(dāng)Δ＜0，即k＞時，方程(*)無解，l與C無交點.綜上知：當(dāng)k=±,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當(dāng)＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時，l與C有兩個交點；當(dāng)k＞時，l與C沒有交點.(2)假設(shè)以Q為中點的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB==2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點的弦不存在.［例3］如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.命題意圖：本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識，一、二問較簡單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍，設(shè)計新穎，綜合性，靈活性強.知識依托：橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法.錯解分析：第三問在表達出“k=y0”時，忽略了“k=0”時的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系.技巧與方法：第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問利用m表示出弦AC的中點P的縱坐標(biāo)y0,利用y0的范圍求m的范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.故橢圓方程為=1.(2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點為P(x0,y0),則x0==4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.①②得 ①②①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,即9×=0(x1≠x2)將(k≠0)代入上式，得9×4+25y0(－)=0(k≠0)即k=y0(當(dāng)k=0時也成立).由點P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.由點P(4，y0)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對稱)的內(nèi)部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.解法二：因為弦AC的中點為P(4,y0)，所以直線AC的方程為y－y0=－(x－4)(k≠0) ③將③代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0所以x1+x2==8,解得k=y0.(當(dāng)k=0時也成立)(以下同解法一).●思路方法1.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2.當(dāng)直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.●考點二訓(xùn)練一、選擇題1.斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為()A.2 B. C. D.2拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標(biāo)是x3,則恒有()A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空題3.已知兩點M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.4.正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_________.5.在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_________.三、解答題6.已知拋物線y2=2px(p＞0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值.7.已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論.8.已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關(guān)于直線y=x對稱.(1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)直線l過點A，斜率為k,當(dāng)0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標(biāo).考點三圓錐曲線綜合題圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應(yīng)用，與圓錐曲線有關(guān)的定值問題、最值問題、參數(shù)問題、應(yīng)用題和探索性問題，圓錐曲線知識的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識和三角、復(fù)數(shù)等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系，解答這部分試題，需要較強的代數(shù)運算能力和圖形認(rèn)識能力，要能準(zhǔn)確地進行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運算，推理轉(zhuǎn)換，并在運算過程中注意思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整.●典例探究［例1］已知圓k過定點A(a,0)(a＞0),圓心k在拋物線C：y2=2ax上運動，MN為圓k在y軸上截得的弦.(1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線C的準(zhǔn)線與圓k有怎樣的位置關(guān)系？命題意圖：本題考查圓錐曲線科內(nèi)綜合的知識及學(xué)生綜合、靈活處理問題的能力.知識依托：弦長公式，韋達定理，等差中項，絕對值不等式，一元二次不等式等知識.錯解分析：在判斷d與R的關(guān)系時，x0的范圍是學(xué)生容易忽略的.技巧與方法：對第(2)問，需將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為判斷d=x0+與R=的大小.解：(1)設(shè)圓心k(x0,y0),且y02=2ax0,圓k的半徑R=|AK|=∴|MN|=2=2a(定值)∴弦MN的長不隨圓心k的運動而變化.(2)設(shè)M(0,y1)、N(0,y2)在圓k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0∴y1y2=y02－a2∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項.∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.又|MN|=|y1－y2|=2a∴|y1|+|y2|=|y1－y2|∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.∴0≤x0≤.圓心k到拋物線準(zhǔn)線距離d=x0+≤a,而圓k半徑R=≥a.且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準(zhǔn)線相交.［例2］如圖，已知橢圓=1(2≤m≤5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設(shè)f(m)=||AB|－|CD||(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.命題意圖：本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數(shù)關(guān)系式，并求其最值，體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合.知識依托：直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值.錯解分析：在第(1)問中，要注意驗證當(dāng)2≤m≤5時，直線與橢圓恒有交點.技巧與方法：第(1)問中，若注意到xA,xD為一對相反數(shù)，則可迅速將||AB|－|CD||化簡.第(2)問，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法.解：(1)設(shè)橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1∴橢圓的焦點為F1(－1,0),F2(1,0).故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±,即x=±m(xù).∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)考慮方程組,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=.又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC)∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·=(2≤m≤5)故f(m)=，m∈［2,5］.(2)由f(m)=，可知f(m)=又2－≤2－≤2－∴f(m)∈［］故f(m)的最大值為，此時m=2;f(m)的最小值為，此時m=5.［例3］艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動物，某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈.設(shè)艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g(shù)為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？命題意圖：考查圓錐曲線在實際問題中的應(yīng)用，及將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力.知識依托：線段垂直平分線的性質(zhì)，雙曲線的定義，兩點間的距離公式，斜拋運動的曲線方程.錯解分析：答好本題，除要準(zhǔn)確地把握好點P的位置(既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點的拋物線上)，還應(yīng)對方位角的概念掌握清楚.技巧與方法：通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程.解：取AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.由題意可知，A、B、C艦的坐標(biāo)為(3，0)、(－3，0)、(－5，2).由于B、C同時發(fā)現(xiàn)動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為x－3y+7=0.又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時間差為4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在雙曲線=1的右支上.直線與雙曲線的交點為(8，5)，此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10.據(jù)已知兩點的斜率公式，得kPA=,所以直線PA的傾斜角為60°,于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30°.設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是θ，初速度v0=，則,∴sin2θ=,∴仰角θ=30°.●思路方法解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.(1)對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過求不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域.(2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.●考點三訓(xùn)練一、選擇題1.已知A、B、C三點在曲線y=上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1＜m＜4)，當(dāng)△ABC的面積最大時，m等于()A.3 B. C. D.2.設(shè)u,v∈R，且|u|≤,v＞0,則(u－v)2+()2的最小值為()A.4 B.2 C.8 D.2二、填空題3.A是橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點P，使∠OPA=,則橢圓離心率的范圍是_________.4一輛卡車高3米，寬1.6米