安徽省安慶一中、山西省太原五中等五省六校2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

安徽省安慶一中、山西省太原五中等五省六校2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)（）A. B.C. D.2．函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A B.C. D.3．已知命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法中，正確的是（）A.將圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象B.將圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于對(duì)稱C.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸D.最小正周期為5．某甲、乙兩人練習(xí)跳繩，每人練習(xí)10組，每組40個(gè).每組計(jì)數(shù)的莖葉圖如下圖，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的一個(gè)是（）A.甲比乙的極差大B.乙的中位數(shù)是18C.甲的平均數(shù)比乙的大D.乙的眾數(shù)是216．今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）A. B.C. D.7．圓過點(diǎn)的切線方程是（）A. B.C. D.8．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上為增函數(shù)的函數(shù)是（）A. B.C. D.9．如果函數(shù)在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，那么“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為M、m，則___________.12．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是______13．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則___________.14．某品牌筆記本電腦的成本不斷降低，若每隔4年價(jià)格就降低，則現(xiàn)在價(jià)格為8100元的筆記本電腦，12年后的價(jià)格將降為__________元15．已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，則的值為__________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知（1）求；（2）若，且，求17．某生物研究者于元旦在湖中放入一些風(fēng)眼蓮（其覆蓋面積為），這些風(fēng)眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與）可供選擇（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；（2）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：，）18．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，面，，，分別為，的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：面；（Ⅱ）求點(diǎn)到面的距離19．如圖，射線、分別與軸正半軸成和角，過點(diǎn)作直線分別交、于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，求直線的方程20．已知關(guān)于的函數(shù).（1）若，求在上的值域;（2）存在唯一的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的取值范圍.21．已知.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）對(duì)任意時(shí)，不等式恒成立，求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、C【解析】將直線方程變形為,即可求得過定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】根據(jù)題意,將直線方程變形為因?yàn)槲蝗我鈱?shí)數(shù),則,解得所以直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)為故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了直線過定點(diǎn)的求法,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)可知，，從而可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，再賦值即可得答案【詳解】令，，解得：，.所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，.當(dāng)時(shí)，就是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故選：B.3、B【解析】原命題等價(jià)于恒成立，故即可，解出不等式即可.【詳解】因?yàn)槊}“，使”是假命題，所以恒成立，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B4、C【解析】根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象變換性質(zhì)，結(jié)合余弦型函數(shù)的對(duì)稱性和周期性逐一判斷即可.【詳解】A：圖象向左平移個(gè)單位可得到函數(shù)的解析式為：，故本選項(xiàng)說法不正確；B：圖象向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)的解析式為；，因?yàn)?，所以該函?shù)是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故本選項(xiàng)說法不正確；C：因?yàn)椋允呛瘮?shù)的一條對(duì)稱軸，因此本選項(xiàng)說法正確；D：函數(shù)的最小正周期為：，所以本選項(xiàng)說法不正確，故選：C5、B【解析】通過莖葉圖分別找出甲、乙的最大值以及最小值求出極差即可判斷A；找出乙中間的兩位數(shù)即可判斷B；分別求出甲、乙的平均數(shù)判斷C；觀察乙中數(shù)據(jù)即可判斷D；【詳解】對(duì)于A，由莖葉圖可知，甲的極差為，乙的極差為，故A正確；對(duì)于B，乙中間兩位數(shù)為，故中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，乙組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多為21，故D正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了由莖葉圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，結(jié)合選項(xiàng)和函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，如圖所示，根據(jù)散點(diǎn)圖可知，隨著的增大，的值增大，并且增長(zhǎng)速度越來越快，結(jié)合選項(xiàng)：函數(shù)增長(zhǎng)速度越來越緩慢，不符合題意；函數(shù)增長(zhǎng)速度越來越快，符合題意；函數(shù)，增長(zhǎng)速度不變，不符合題意；而函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)與真實(shí)數(shù)據(jù)誤差較大，所以最接近的一個(gè)函數(shù)是.故選：B.7、D【解析】先求圓心與切點(diǎn)連線的斜率，再利用切線與連線垂直求得切線的斜率結(jié)合點(diǎn)斜式即可求方程.【詳解】由題意知，圓：，圓心在圓上，，所以切線的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D.8、B【解析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次判斷最小正周期及單調(diào)區(qū)間,即可判斷.【詳解】對(duì)于A,,最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)不單調(diào),所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,的最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以B正確;對(duì)于C,的最小正周期為,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,的最小正周期為,所以D錯(cuò)誤.綜上可知,正確的為B故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間的判斷,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】由零點(diǎn)存在性定理得出“若，則函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”舉反例即可得出正確答案.【詳解】由零點(diǎn)存在性定理可知，若，則函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)而若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則不一定成立，比如在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分而不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分不必要條件的判斷，屬于中檔題.10、B【解析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與、的大小關(guān)系，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，即，，，因此，.故選：B.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、2【解析】，令，易得函數(shù)為奇函數(shù)，則，從而可得出答案.【詳解】解：，令，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，即.故答案為：2.12、【解析】函數(shù)是由和復(fù)合而成，分別判斷兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性同增異減即可求解.【詳解】函數(shù)是由和復(fù)合而成，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.13、【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得.故答案為：14、2400【解析】由題意直接利用指數(shù)冪的運(yùn)算得到結(jié)果【詳解】12年后的價(jià)格可降為81002400元故答案為2400【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】由三角函數(shù)定義可得,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,所以,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)值求終邊上的點(diǎn),考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)已知條件求出tanα，將要求的式子構(gòu)造成關(guān)于正余弦的齊次式，將弦化為切即可求值；(2)根據(jù)角的范圍和的正負(fù)確定的范圍，求出sin()，根據(jù)即可求解.【小問1詳解】，；【小問2詳解】，，，又，.17、（1）函數(shù)模型較為合適，且該函數(shù)模型的解析式為；（2）月份.【解析】（1）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)模型增長(zhǎng)的快慢可知函數(shù)模型較為合適，將點(diǎn)、代入函數(shù)解析式，求出、的值，即可得出函數(shù)模型的解析式；（2）分析得出，解此不等式即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)可知，兩個(gè)函數(shù)、）在上均為增函數(shù)，隨著的增大，函數(shù)的值增加得越來越快，而函數(shù)的值增加得越來越慢，由于風(fēng)眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數(shù)模型滿足要求.由題意可得，解得，，故該函數(shù)模型的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，故元旦放入鳳眼蓮的面積為，由，即，故，由于，故.因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份是月份.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序：第一步：審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建?！獙⑽淖终Z言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原——將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義；第五步：反思回顧——對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對(duì)實(shí)際問題的合理性18、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴可證得，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴面（2）∵，∴19、【解析】先求出、所在的直線方程，根據(jù)直線方程分別設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出的中點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用點(diǎn)C在直線上以及A、B、P三點(diǎn)共線列關(guān)系式解出B點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線AB的斜率，然后代入點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：由題意可得，，所以直線，設(shè)，，所以的中點(diǎn)由點(diǎn)在上，且、、三點(diǎn)共線得解得，所以又，所以所以，即直線的方程為【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，則AB的中點(diǎn)為；（2）直線的點(diǎn)斜式方程：.20、（1）（2）【解析】（1）由，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）因?yàn)椋傻?，結(jié)合題意列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：當(dāng)，可得函數(shù)，因?yàn)椋傻?，則，所以在上值域?yàn)?【小問2詳解】解：因?yàn)?，可得，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏膶?shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得，所以的取值范圍即.21、(Ⅰ)；(Ⅱ)1.【解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可得若方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，只需即可．（Ⅱ）由題意得只需滿足即可，根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系及拋物線的開口方向求得函數(shù)的最值，然后解不等式可得所求試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，∵關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，∴，∴.∴實(shí)數(shù)的取值范圍為（Ⅱ）①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵不