江蘇省蘇州市2023-2024學年高二上學期11月期中摸底數(shù)學試題

2023-2024年第一學期高二年級11月摸底調(diào)研數(shù)學學科（總分：150分；考試時長：120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若一條直線經(jīng)過兩點和，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合直線的斜率公式求出該直線的斜率，即可求出直線的傾斜角.【詳解】因為一條直線經(jīng)過兩點和，所以該直線的斜率為：所以該直線的傾斜角為.故選：C.2.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】由兩直線垂直求得的值，根據(jù)充分條件，必要條件的定義作出判斷.【詳解】當時，兩條直線分別為與，兩條直線互相垂直，反之，由與直線垂直，，解得或，則不能推出，所以”是“直線與直線垂直的充分不必要條件.故選：A3.為等差數(shù)列前項和，若，，則使的的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可得，表示出和，解不等式即可.【詳解】由，可得，而，所以，，，可轉(zhuǎn)化為，即，即，解得，而，所以的最大值為11.故選：C4.直線與圓的位置關(guān)系是()A.相交但直線不過圓心 B.相切C.相離 D.相交且直線過圓心【答案】A【解析】【分析】要判斷圓與直線的位置關(guān)系，方法是利用點到直線的距離公式求出圓心到此直線的距離，和圓的半徑比較即可得到此圓與直線的位置關(guān)系．【詳解】由圓的方程得到圓心坐標為，半徑，直線為，∴到直線的距離，∴圓與直線的位置關(guān)系為相交，又圓心不在直線上，故選：A．5.已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【詳解】由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．當AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計算能力，屬于中檔題．6.直線分別交軸和于兩點，若是線段的中點，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由中點坐標求出直線交軸和于兩點坐標，從而得到直線方程【詳解】直線分別交軸和于兩點，設(shè)點、，因為是線段的中點，由中點坐標公式得解得，所以點、，則直線的方程為，化簡得故選【點睛】這是一道考查直線性質(zhì)的題目，解題的關(guān)鍵是求出直線的截距，然后求出直線方程．7.以下四個命題表述錯誤的是（）A.圓上有且僅有個點到直線的距離都等于B.曲線與曲線，恰有四條公切線，則實數(shù)的取值范圍為C.已知圓，為直線上一動點，過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為D.已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，為切點，則直線經(jīng)過點【答案】B【解析】【分析】選項A根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來確定所求點的個數(shù)；選項B根據(jù)兩曲線有四條公切線，確定曲線類型為圓，再由兩圓外離列不等式求解；選項C利用圓心與切點的連線垂直切線列等式，轉(zhuǎn)化為求圓心到直線上的點的距離的最小值問題；選項D，設(shè)點為直線上一點，求出切線的方程即可判斷．【詳解】解：選項A：圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個點到直線距離都等于，故選項A正確；選項B：方程可化為，故曲線表示圓心為，半徑的圓，方程可化為，因為圓與曲線有四條公切線，所以曲線也為圓，且圓心為，半徑，同時兩圓的位置關(guān)系為外離，有，即，解得，故B錯誤；選項C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，，當且僅當與直線垂直時等號成立，所以的最小值為，故選項C正確；選項D：設(shè)點為直線上一點，則以，為直徑的圓的方程為，即：，兩圓的方程相減得到直線方程為，即，所以直線過定點，D正確．故選：B．8.已知數(shù)列中，且，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可推導得到，代入即可.【詳解】由得：，又，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，，.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.以下四個命題表述正確的是（）A.直線恒過定點B.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.已知圓，點P為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經(jīng)過定點【答案】BCD【解析】【分析】將直線的方程進行整理利用參數(shù)分離即可判斷選項A；根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系比較即可判斷選項B；由題意知兩圓外切；由圓心距等于半徑即可求得值，即可判斷選項C；設(shè)出點坐標，求出以線段為直徑的圓的方程，與已知圓的方程相減即可得直線的方程，即可判斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】對于選項A：由可得：，由可得，所以直線恒過定點，故選項A不正確；對于選項B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，故選項B正確；對于選項C：由可得，圓心，，由可得，圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得：，故選項C正確；對于選項D：設(shè)點坐標為，所以，即，因為、分別為過點所作的圓的兩條切線，所以，，所以點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得：，與已知圓相減可得，消去可得：即，由可得，所以直線經(jīng)過定點，故選項D正確故選：BCD.【點睛】結(jié)論點睛：（1）圓和圓的公共弦的方程為兩圓的方程相減即可.（2）已知，，以線段為直徑的圓的方程為：.10.對于數(shù)列，設(shè)其前項和，則下列命題正確的是（）A.若數(shù)列為等比數(shù)列，成等差，則也成等差B.若數(shù)列為等比數(shù)列，則C.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則使得的最小的值為13D.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則中任意三項均不能構(gòu)成等比數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項與前項和公式判斷A，B的正誤；根據(jù)等差數(shù)列的通項與前項和公式判斷C，D的正誤即可.【詳解】解：對于A，若數(shù)列為等比數(shù)列，成等差，則，若公比，則，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正確；對于B，若數(shù)列為等比數(shù)列，若公比時，；若公比時，則，所以，故B不正確；對于C，若數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，由，得，即，則，所以，得，又，則，故C不正確；對于D，若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則公差，所以，假設(shè)等差數(shù)列中的三項構(gòu)成等比數(shù)列，，且互不相等，則，所以，所以，因為，則，其中，則，得，這與互不相等矛盾，故假設(shè)不成立，則中任意三項均不能構(gòu)成等比數(shù)列，故D正確.故選：AD.11.設(shè)橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.離心率C.面積的最大值為D.以線段為直徑的圓與直線相切【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求得，根據(jù)橢圓的性質(zhì)及點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點為,根據(jù)橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯誤；其中面積的最大值為，所以C錯誤；由原點到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD12.數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項和，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意求得，得到的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，即可求出的通項公式，即可判斷A；求得為奇數(shù)和為偶數(shù)時，數(shù)列的通項公式，可判定B正確；根據(jù)為奇數(shù)和偶數(shù)，求得，可判定C正確；結(jié)合時，可判定D錯誤.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，所以，可得，因為，可得，所以，所以的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且首項分別為，，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故A正確；當時，，，所以，當時，，，所以，所以，故B正確；對于C中，當時，，當時，，所以恒成立，即C正確；對于D中，當時，可得，，此時，所以D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列中，，則此數(shù)列的前8項和為__________．【答案】##【解析】【分析】由裂項相消法求解，【詳解】，的前8項和為．故答案為：14.點是圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦所在直線方程為_________.【答案】【解析】【分析】計算，設(shè)直線方程為，計算，利用點到直線的距離公式得到答案.【詳解】如圖所示：，故，設(shè)直線方程.，，故，根據(jù)相似計算得到，利用點到直線的距離公式得到：，解得或當時，直線和圓不相交，舍去，故.故答案為：.【點睛】本題考查了圓的切線問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.15.圓與圓的交點為A，B，則弦AB的長為______．【答案】【解析】【分析】先求出兩圓的公共弦方程，觀察發(fā)現(xiàn)的圓心在公共弦上，從而得到弦AB的長為圓的直徑，求出公共弦長.【詳解】圓與圓聯(lián)立可得：公共弦的方程為，變形為，故的圓心為，半徑為，而滿足，故弦AB的長為圓的直徑，故弦AB的長為．故答案為：.16.如圖，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義及直徑所對的圓周角等于，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的誘導公式及斜率的定義即可求解.【詳解】連接，如圖所示設(shè)則，由橢圓的定義得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，．（1）求；（2）若為與的等比中項，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知條件，列式后解方程組，求數(shù)列的首項和公差，再求通項公式；（2）首先由題意得，，代入通項公式后，求.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，，解得，，所以，，.【小問2詳解】由題意：，，即，化簡得：，解之得或（舍），故.18.已知直線（1）當時，直線過與的交點，且垂直于直線，求直線l的方程；（2）求點到直線的距離d的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）計算兩直線的交點，根據(jù)垂直得到直線斜率，得到直線方程.（2）確定直線過定點，點到定點的距離即最大距離，計算即可.小問1詳解】當時，直線：，：，則，解得交點又由直線l垂直于直線，而直線的斜率，兩直線垂直得斜率乘積為，得到又因為直線l過與的交點，直線l的方程為，即【小問2詳解】直線：過定點，又，點M到直線的距離d的最大值為19.已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列且滿足，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項的和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）計算等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量即可寫出通項公式.（2）根據(jù)題意利用分組轉(zhuǎn)化即可進行求和.【小問1詳解】由已知，設(shè)數(shù)列首項為，公差為，解得：，所以因為，，數(shù)列是單調(diào)遞增等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列首項為，公比為，所以解得：，，所以所以【小問2詳解】由已知所以20.已知橢圓的兩個焦點為，點在上，直線交于兩點，直線的斜率之和為0.（1）求橢圓的方程；（2）求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點坐標及橢圓過點列出方程即可求解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，求出P點坐標，再由以代替求出Q點坐標，由兩點坐標求直線斜率即可得解.【小問1詳解】由題意知，故可設(shè)橢圓方程為，由在上可得，，解得或（舍去），故所求橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線，，把代入橢圓方程整理可得：，設(shè)，則，，從而得點，在上式中以代替，得，即直線的斜率為.21.已知圓，過點的直線與圓相交于，兩點，且，圓是以線段為直徑的圓．（1）求圓的方程；（2）設(shè)，圓是的內(nèi)切圓，試求面積的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線，根據(jù)已知求出弦心距，從而求出直線的方程.再根據(jù)兩圓相交時，圓心連線與交線垂直得出Q點坐標，從而求得結(jié)果；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)，可從（1）中結(jié)果中任選一種解答，根據(jù)已知可得，三邊所在的直線就是圓的切線，設(shè)出切線方程，可以表示出斜率和t的關(guān)系，A，B兩點都在y軸上，則以AB做底，高就是C點橫坐標的絕對值.【小問1詳解】設(shè)直線的方程為