北京市第六十五中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

北京市第六十五中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中達(dá)標(biāo)測試題高二數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間120分鐘滿分100分第一部分（選擇題共36分）一?選擇題（3分×12=36分）1.已知向量，如果，那么等于（）A. B.1 C. D.5【答案】B【解析】【分析】利用空間向量共線的條件求解即可【詳解】，，，故選：B2.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A.1 B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】直接利用兩平行直線之間的距離公式計(jì)算即可.【詳解】解：由題意，兩直線的距離為.故選：A.3.圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑和差的比較即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)閳A：的圓心，半徑為，圓：的圓心，半徑為，所以兩個(gè)圓的圓心距，又兩個(gè)圓的半徑差為，所以圓與圓的位置關(guān)系是內(nèi)切.故選：B.4.已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1，y)的對稱點(diǎn)(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是()A.4 B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，所以有，解得．所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，故選D5.已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)（）.A.-1 B.1 C.2 D.-2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，，共面得到，然后列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，，共面，所以，即，解?故選：A.6.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，，，，，所以．故選：A．7.以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓的半徑即可得解.【詳解】由直線為圓切線，得圓的半徑，所以所求圓的方程為.故選：A8.離心率為，長軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A. B.或C. D.或【答案】B【解析】【詳解】試題解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上：考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是焦點(diǎn)位置不同方程不同9.如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別為和的中點(diǎn)，那么直線AM與CN夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，所以，故選：D10.已知是橢圓的兩焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、B,若,則(

)A.11 B.10 C.9 D.16【答案】A【解析】【分析】由橢圓的方程求出橢圓的長軸長，再由橢圓的定義結(jié)合求得結(jié)果【詳解】如圖，由橢圓可得：，則又且則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義即橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和為，屬于基礎(chǔ)題．11.已知圓的方程為，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)面積最大時(shí)，直線的斜率A.1 B.6 C.1或7 D.2或6【答案】C【解析】【詳解】圓可化標(biāo)準(zhǔn)方程：直線可變形為，即圓心為（1，0），半徑r=1,直線過定點(diǎn)（2，2），由面積公式所以當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)到直線距離為時(shí)取最大值．，解得k=1或7,選C.【點(diǎn)睛】本題選擇合適是三角形面積公式是關(guān)鍵，選擇，使運(yùn)算更簡單，也更好理解．12.已知點(diǎn)是棱長為2的正方體的底面上一點(diǎn)（包括邊界），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)及向量加法的幾何意義可得、，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律及正方體的性質(zhì)有且，即可求的范圍.【詳解】由題設(shè)，，，∴，又，，∴，而在面上一點(diǎn)（包括邊界），∴，故.故選：B第二部分（非選擇題共64分）二?填空題（3分×6=18分）13.直線的傾斜角的大小是____________.【答案】##【解析】【分析】由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得，再求傾斜角即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線的方程為：可得，又，所以，故答案為：.14.已知向量，若與垂直，則___________.【答案】【解析】【分析】由與垂直，解得，從而，由此能求出.【詳解】∵與垂直，∴，則，解得，∴，則，∴，故答案為：.15.圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是______.【答案】【解析】【分析】求圓心到直線的距離，用距離減去半徑即可最小值.【詳解】圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線的距離為：，所以最小值為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值，若圓心距為d，圓的半徑為r且圓與直線相離，則圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為d+r，最小值為d-r.16.古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離即可列方程化簡求解.【詳解】設(shè)，則，化簡得，即，故答案為：17.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上.則圓的方程為_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求得的值.【詳解】由題意，圓的圓心在直線，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，又由圓經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，可得，整理得，解得，所以圓的方程為.故答案為：18.已知實(shí)數(shù)滿足方程，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最大值為②的最大值為③的最大值為④的最大值為其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②【解析】【分析】令，由直線與圓有公共點(diǎn)，求解判斷①；求出的范圍，把視為的函數(shù)并求出范圍判斷②；令，由直線和圓有公共點(diǎn)，求解判斷③，令，由直線與圓有公共點(diǎn)，求解判斷④.【詳解】依題意，方程，即表示圓心為，半徑為的圓，對于①，令，則直線與圓有公共點(diǎn)，于是，解得，即的最大值為，①正確；對于②，由，得，解得，因此，即的最大值為，②正確；對于③，令，即，則直線和圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，③錯(cuò)誤；對于④，令，則直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，④錯(cuò)誤，所以所有正確結(jié)論的序號是①②.故答案為：①②【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：換元并把問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，再借助點(diǎn)到直線距離公式求解即得.三?解答題（共46分）19.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若直線與直線平行且點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；（3）若直線與直線相交于點(diǎn)，且在軸，軸上截距相等，求直線的方程.【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）由兩直線垂直得直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得；（2）由直線與直線平行，設(shè)出直線的一般式方程待定系數(shù)，再由點(diǎn)到直線的距離公式可求；（3）由直線在軸，軸上截距相等，按照截距是否為零分類討論，再分別在不同分類下求解直線方程，由點(diǎn)在直線上待定系數(shù)即可.【小問1詳解】直線與直線垂直，且直線斜率為，則直線的斜率為，又直線經(jīng)過點(diǎn)，故直線的方程為，化簡得；【小問2詳解】由直線與直線平行，則可設(shè)直線的方程為，又點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，或，故直線的方程為或；【小問3詳解】直線在軸，軸上截距相等，①當(dāng)截距都為時(shí)，則直線過原點(diǎn)，且過點(diǎn)，故直線的方程為，即；②當(dāng)截距都不為時(shí)，則可設(shè)直線的方程為，由直線過點(diǎn)，得，解得，則直線的方程為；綜上所述，直線的方程為或.20.如圖，已知正方體的棱長為為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明詳見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值；（3）利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.小問2詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，易得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)平面與平面的夾角為，則.小問3詳解】，則到平面的距離為：.21.圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l：與圓相交于兩點(diǎn)，求弦長的值；（3）過點(diǎn)引圓的切線，求切線的方程.【答案】（1）（2）（3）和【解析】【分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進(jìn)而求出弦長.（3）當(dāng)斜率不存時(shí)，符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，根據(jù)，求出斜率，寫出方程.【小問1詳解】由題意可得，圓心為，半徑為2，則圓的方程為；【小問2詳解】由（1）可知：圓的半徑，設(shè)圓心到的距離為，則，所以.【小問3詳解】當(dāng)斜率不存在時(shí)，為過點(diǎn)的圓C的切線.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，解得綜上所述：切線的方程為和.22.如圖,在四棱錐中,平面平面,.（1）求證:平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn),使得平面？若存在,求的值；若不存在,說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】試題分析：（Ⅰ）由面面垂直的性質(zhì)定理知AB⊥平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，再由線面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法可求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)，根據(jù)BM∥平面PCD，即（為平面PCD的法向量），求出的值，從而求出的值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以平?所以.又因?yàn)?，所以平?（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)椋?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得，.設(shè)平面法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）