第5講-巖石的本構關系

第7章

巖體本構關系與強度理論1§7.2巖石的本構關系第7章巖體本構關系與強度理論2

一、

巖石力學中的符號規(guī)定

（1）力和位移分量的正方向與坐標軸的正方向一致；（2）壓縮的正應變取為正；（3）壓縮的正應力取為正。假如表面的外法線與坐標軸的正方向一致，則該表面上正的剪應力的方向與坐標軸的正方向相反，反之亦然。§7.2巖石的本構關系3

二、

巖石彈性本構關系

1．平面彈性本構關系

據(jù)廣義虎克定理有：式中：E為物體的彈性模量；為泊松比；G為剪切彈性模量，4

對于平面應變問題：因εz

＝γzx

＝γyz

＝0，故τyz＝τzx＝0，可知：5

對于平面應力問題：σz＝τzx＝τzy＝0

對比平面應力問題與平面應變的本構方程，可以看出，只要將平面應力問題的本構關系式中的E換成，v換成。6

2.空間問題彈性本構方程7

三、

巖石塑性本構關系

圖7-1加－卸載應力－應變曲線

塑性本構關系特點：1、應力-應變關系的多值性

同一應力有多個應變值與它相對應。本構關系采用應力和應變增量的關系表達。塑性狀態(tài)描述：除用應力、應變，還需用塑性應變，塑性功等內狀態(tài)變量來刻畫塑性變形歷史。

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1）屈服條件：塑性狀態(tài)的應力條件。

2）加-卸載準則：材料進入塑性狀態(tài)后繼續(xù)塑性變形或回到彈性狀態(tài)的準則，通式寫成：

式中：垂直于軸的平面上平行于軸的應力，為某一函數(shù)關系，為與加載歷史有關的參數(shù)，。

3）本構方程：或（7-7）式中：R為某一函數(shù)關系

2、本構關系的復雜性塑性階段本構關系包括三組方程：

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1）巖石屈服條件和屈服面初始屈服條件：從彈性狀態(tài)開始第一次屈服的條件。

后繼屈服條件：當產(chǎn)生了塑性變形，屈服條件的形式發(fā)生了變化的屈服條件。式中：為總應力，為塑性應力，為標量的內變量，它可以代表塑性功，塑性體積應變，或等效塑性應變。屈服面：屈服條件在幾何上可以看成是應力空間中的超曲面。初始屈服面和后繼屈服面。10

分類：按塑性材料屈服面的大小和形狀是否發(fā)生變化。理想塑性材料（不變化）和硬化材料（變化）。11

（1）硬化材料的屈服面模型①等向硬化-軟化模型：塑性變形發(fā)展時，屈服面作均勻擴大（硬化）或均勻收縮（軟化）。如果是初始屈服面，后繼屈服面為：

②隨動硬化模型：塑性變形發(fā)展時，屈服面的大小和形狀保持不變，僅是整體地在應力空間中做平動，后繼屈服面為：式中：α是材料參數(shù)。

③混合硬化模型：介于等向硬化-軟化和隨動硬化之間的模型，后繼屈服面為：

（2）塑性巖石力學最常用的屈服條件庫侖（Coulomb）、德魯克-普拉格（Drucker-Prager）屈服條件。12

2.塑性狀態(tài)的加-卸載準則

塑性加載：對材料施加應力增量后，材料從一種塑性狀態(tài)變化到另一種塑性狀態(tài)，且有新的塑性變形出現(xiàn)；中性變載：對材料施加應力增量后，材料從一種塑性狀態(tài)變化到另一種塑性狀態(tài)，但沒有新的塑性變形出現(xiàn)；

塑性卸載：對材料施加應力增量后，材料從塑性狀態(tài)退回到彈性狀態(tài)。

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1）全量理論：描述塑性變形中全量關系的理論，稱形變理論或小變形理論。漢基（Hencky）、依留申等依據(jù)類似彈性理論的廣義胡克定律，提出如下公式：

3.本構方程

塑性狀態(tài)時應力-應變關系是多值的，取決材料性質和加-卸載歷史。14

2）增量理論：描述應力和應變增量間關系的理論，又稱流動理論。

當應力產(chǎn)生一無限小增量時，假設應變的變化可分成彈性的及塑性的兩部分：

彈性應力增量與彈性應變增量之間仍由常彈性矩陣D聯(lián)系，塑性應變增量由塑性勢理論給出，對彈塑性介質存在塑性勢函數(shù)Q，它是應力狀態(tài)和塑性應變的函數(shù)，使得：式中：是一正的待定有限量，它的具體數(shù)值和材料硬化法則有關。（7-18）15

其總應變增量表示為：

由一致性條件可推出待定有限量為：

（7-18）式稱為塑性流動法則，對于穩(wěn)定的應變硬化材料，Q通常取與后繼屈服函數(shù)F相同的形式，當Q=F時，這種特殊情況稱為關聯(lián)塑性。對于關聯(lián)塑性，塑性流動法則可表示為：16式中：為塑性功，這樣加載時的本構方程為：

對任何一個狀態(tài)，只要給出了應力增量，就可以唯一地確定應變增量。

應用增量理論求解塑性問題，能夠反映應變歷史對塑性變形的影響，因而比較準確地描述了材料的塑性變形規(guī)律。對于系數(shù)A：理想塑性材料：

硬化材料：17

四、巖石流變理論流變：指材料的應力-應變關系與時間因素有關的性質，材料變形過程中具有時間效應的現(xiàn)象稱為流變現(xiàn)象。

蠕變：當應力不變時，變形隨時間增加而增長的現(xiàn)象。松弛：當應變不變時，應力隨時間增加而減小的現(xiàn)象。

彈性后效：加載或卸載時，彈性應變滯后于應力的現(xiàn)象。18

蠕變試驗表明：1)當巖石在某一較小的恒定荷載持續(xù)作用下，其變形量雖然隨時間增長有所增加，但蠕變變形的速率則隨時間增長而減少，最后變形趨于一個穩(wěn)定的極限值，這種蠕變稱為穩(wěn)定蠕變。

2)當荷載較大時，曲線所示，蠕變不能穩(wěn)定于某一極限值，而是無限增長直到破壞，這種蠕變稱為不穩(wěn)定蠕變。這是典型的蠕變曲線，根據(jù)應變速率不同，其蠕變過程可分為三個階段，即減速蠕變階段或初始蠕變階段、等速蠕變階段及加速蠕變階段。圖7-4巖石蠕變曲線示意圖19

在一系列的巖石流變試驗基礎上建立反映巖石流變性質的流變方程，通常有二種方法：

1．經(jīng)驗法巖石蠕變經(jīng)驗方程：圖7-5巖石的典型蠕變曲線式中：為時間的應變；瞬時應變；初始段應變；等速段應變；加速段應變。典型巖石蠕變方程：冪函數(shù)方程、指數(shù)方程、冪指數(shù)對數(shù)混合方程

2.理論模型模擬法將介質理想化，歸納成各種模型，模型可用理想化的具有基本性能（包括彈性、塑性和粘性）的元件組合而成。20巖石的長期強度:由于流變作用，巖石強度隨外載作用時間的延長而降低，通常把作用時間