2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)04 最值（范圍）問(wèn)題

重難點(diǎn)04最值（范圍）問(wèn)題

命題趨勢(shì)

最值問(wèn)題，在中考里，無(wú)論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺(jué)有困難的地方，也恰是學(xué)生能力

區(qū)分度最重要的地方。在各地中考種都以中高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。

J滿分技巧

1）.在代數(shù)部分最值問(wèn)題，多出現(xiàn)在函數(shù)部分，無(wú)論是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，都需要先求自變量的取值范

圍，再求函數(shù)解析式，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，求得最值。有關(guān)內(nèi)容在前面的一次函數(shù)、二次函數(shù)中都有諸多體現(xiàn)。

近幾年，利用配方法求最值來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，也常常見(jiàn)到。

2）.在幾何最值問(wèn)題，幾何背景下的最值是考生感覺(jué)較難的，往往沒(méi)有思路。常見(jiàn)的有：（1）幾何圖形中在

特殊位置下的最值；（2）比較難的線段的最值問(wèn)題，其依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉

及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差

小于第三邊”等；③借助于圓的知識(shí)；④二次函數(shù)的最值法解決。

3）幾何最值問(wèn)題中的基本模型舉例

1）將軍飲馬模型

圖形

P1

將MN1

軍V

原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系

飲

A,8為定點(diǎn)，/為定直線，為定點(diǎn)，/為定直線，

馬A，8為定點(diǎn)，/為定直線，MN為直線1

特征P為直線/上的一個(gè)動(dòng)P為直線/上的一個(gè)動(dòng)

模上的一條動(dòng)線段，求AM+8N的最小值

點(diǎn)，求AP+BP的最小值點(diǎn),求IAP-BPI的最大值

型

作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定先平移AM或BN使M,N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定

轉(zhuǎn)化

直線/的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線/的對(duì)稱點(diǎn)直線/的對(duì)稱點(diǎn)

2）胡不歸模型

在解決胡不歸問(wèn)題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短。

【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)尸在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為％,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為匕，且A、B

為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使生+生的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）

匕V,

2）構(gòu)造射線A。使得sin/D4N=火，翳=3?！?必。,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

3）過(guò)8點(diǎn)作交MN于點(diǎn)C,交A￡>于〃點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+"C最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“以+枕8''的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與枕B相等的線段，將“以+狂生”型問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為“雙+PC'型.（若k>l,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

3）阿氏圓模型

【模型解讀】如圖I所示，。。的半徑為r,點(diǎn)A、B都在。。外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，已知片AOB,連

接尸4、PB,則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

如圖2,在線段08上截取0C使。C=k?廠，則可說(shuō)明△8P0與△PC0相似，B|Jk-PB=PC.

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，

其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：

在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們見(jiàn)識(shí)了“hR4+PB”最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)尸點(diǎn)軌跡變?yōu)?/p>

圓時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題.

4）瓜豆模型（動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題）

【模型解讀】瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。

（初中階段動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型）

【最值原理】

1.動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。

1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；

2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過(guò)以下三種方法進(jìn)行確定：

①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，

若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的

坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線：④若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法都合

適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。

2.動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小

值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。

確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法：1）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。

2）當(dāng)某條邊與該邊所對(duì)的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下：

①見(jiàn)直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形；②見(jiàn)定角，找對(duì)邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形。

5）費(fèi)馬點(diǎn)模型

【模型解讀】結(jié)論：如圖，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM,當(dāng)〃與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角

為120。時(shí)，MA+M8+MC的值最小。

注意：上述結(jié)論成立的條件是△A8C的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就

是最大角的頂點(diǎn)4。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120。）

費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3,分別以△A8C的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF,連接CE、BF,

設(shè)交點(diǎn)為M,則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。

限時(shí)檢測(cè)

限時(shí)檢測(cè)1:最新各地模擬試題（60分鐘）

1.（2023?山東淄博??？家荒＃┤鐖D，矩形A8C。中，AB=4,4）=2,E為A8的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)

點(diǎn)，P為￡）尸中點(diǎn)，連接PB,則尸3的最小值是（）

C.V2D.2正

4

2.（2023?安徽淮北?淮北一中校聯(lián)考一模）如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,sinZACB=-,BC=5,

點(diǎn)。是斜邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，將線段8。繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60。至BE,連接C￡,DE,則CE的最小值是（)

3.（2023?山東泰安??？家荒＃┤鐖D，矩形ABC。中，AB=2,BC=3,以A為圓心，1為半徑㈣圓A,E是

圓A上一動(dòng)點(diǎn)，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則尸E+PD最小值是（）

A.2逐B(yǎng).2.5C.4D.3

4.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）如圖，在一ABC中，4AC=90。，A8=AC=4,P是BC下方的一動(dòng)點(diǎn)，記

ABC,PBC的面積分別記為耳，邑.若$=2邑，則線段釬長(zhǎng)的最小值是（）

A

C.3五D.V2+1

5.（2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考二模）如圖，在中，AC=8,ZA=30°/B=45。，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上一

動(dòng)點(diǎn)，PMJ.BC邊與點(diǎn)M,PNLAB邊與點(diǎn)、N,連接則MN的最小值為（）

A.&+遍B.1+如C.&+6D.2V2+—

3

6.（2023?安徽馬鞍山??？家荒＃〢BC為等邊三角形，D、E分別是邊A3、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足4）=,

M是。E的中點(diǎn)，若AB=2,則8M的最小值為（）

c"D.1

7.（2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，RtZ\A8C中，N4C3=90。，Zfl4C=6O。，點(diǎn)。

是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將AO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連接CE,若AC=1,則CE的

長(zhǎng)的最小值為（）

C.1D.V2

8.（2023?浙江寧波?校考一模）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,4）,A的半徑為2,P為尤軸

上一動(dòng)點(diǎn)，PB切A于點(diǎn)B,則PB的最小值為（)

C.2x/3D.4

9.（2023?廣西?中考模擬）把二次函數(shù)丁=奴2+版+c（q>0）的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，所得圖象的

解析式為^=一。。一1）2+4。，若（〃7-l）a+0+cW0,則m的最大值為（）

A.-4B.0C.2D.6

10.（2022?浙江?中考模擬）已知二次函數(shù)y=N,當(dāng)心無(wú)匕時(shí)機(jī)0W〃，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)”-加=1時(shí)，h-a有最小值B.當(dāng)時(shí)，h-a有最大值

C.當(dāng)b-a=l時(shí)，"-無(wú)最小值D.當(dāng)b-。=1時(shí)，〃-機(jī)有最大值

11.（2023?四川巴中??？家荒＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為3的等邊43c中，E、尸分別是邊AC、BC的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF,

連接BE、瓶交于點(diǎn)P,連接CP,則CP的最小值為.

12.（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,ACBC=\2,圓C半徑為6,P

為斜邊A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PM、PN分別與圓C相切于V、N,連接MN交PC于點(diǎn)Q,則A。的最小值為

13.（2023?山東濟(jì)南?濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AO=6,點(diǎn)E,F

分別是AD,DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=4,點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小

14.（2023?內(nèi)蒙古中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（—1,m）和5（5,“。是拋物線丁=1+必+1上

的兩點(diǎn)，將拋物線y=f+bx+l的圖象向上平移〃是正整數(shù)）個(gè)單位，使平移后的圖象與x軸沒(méi)有交

點(diǎn)，則”的最小值為.

15.（2023?四川成都?統(tǒng)考一模）已知矩形ABCD中，AB=2A￡>=8,點(diǎn)E、F分別是邊ARCD的中點(diǎn)，點(diǎn)P

為AO邊上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作與45平行的直線交AF于點(diǎn)G,連接PE,點(diǎn)用是PE中點(diǎn)，連接MG,則"G的

最小值=.

16.（2023?上海金山?統(tǒng)考一模）如圖，ABC為等腰直角三角形，NA=90。，AB=6,Q為,ABC的重心，E

為線段AB上任意一動(dòng)點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰RtZ\CO￡（點(diǎn)。在直線BC的上方），G?為RtaCDE的重心，

設(shè)G、G?兩點(diǎn)的距離為止那么在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中d的取值范圍是.

17.（2023?山東東營(yíng)?校考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABC。中，44=60。，〃是AO邊上的一點(diǎn)，且

AM=-AD,N是A3邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將一AMN沿MN所在直線翻折得到ZvlMN,連接AC,則A'C長(zhǎng)度

4

的最小值是.

DC

18.（2023?山東泰安?新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為1,ZDAfi=6O°,E為AO上的

動(dòng)點(diǎn)，尸在CQ上，HAE+CF=l,設(shè)ABE廠的面積為九AE=x,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，則>與x的函數(shù)關(guān)系式

是.

19.（2022?湖北十堰?統(tǒng)考二模）如圖，已知，正43C中，AB=\2,將AfiC沿AC翻折，得到八4。。，

連接80,交AC于。點(diǎn)，E點(diǎn)在。。上，且E>E=2OE,F是8c的中點(diǎn)，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF—PE

的最大值為.

20.（2022?廣東佛山??？家荒＃┰谶呴L(zhǎng)為1的正方形A8CO中，M是邊A8的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)

點(diǎn)，則&PM-PA的最小值為.

21.（2023?陜西西安?西安市曲江第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，等邊M8C中，AB=6,P為A8上一動(dòng)點(diǎn)，

PDLBC,PELAC,則DE最小值為.

22.（2023?江蘇鎮(zhèn)江市?九年級(jí)期中）點(diǎn)P（〃?，〃）在以y軸為對(duì)稱軸的二次函數(shù)丫=9+辦+4的圖象上.則〃?

-n的最大值為

23.（2023?廣西九年級(jí)模擬）如圖，在Rt_ABC中，AB=AC=4,點(diǎn)E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P

是扇形AEF的"上任意一點(diǎn)，連接8P,CP,則^BP+CP的最小值是

24.（2022.四川成都市.中考模擬）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,E,尸分別為AB，CD

邊的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿￡4向點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)F出發(fā)沿FC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接PQ,

過(guò)點(diǎn)8作6"，PQ于點(diǎn)〃，連接。H.若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A的

過(guò)程中，線段PQ長(zhǎng)度的最大值為,線段?！ㄩL(zhǎng)度的最小值為.

25.（2022?湖南?中考模擬）已知直線>=依-2與拋物線y=%2-力x+c（b,c為常數(shù)，b>0）的一個(gè)交

點(diǎn)為A（—1,0）,點(diǎn)M（m,0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)直線y="―2與拋物線y=V一法+c（b,c

為常數(shù)，b>0）的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)E時(shí)，求k,b,c的值及拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為右+；,當(dāng)04M+20M的最小值多寫(xiě)2時(shí)，求b的值.

26.（2023?廣東東莞?東莞市東華初級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，AB是半圓的直徑，。是A3上一動(dòng)點(diǎn),

CD±AB,交半圓于點(diǎn)E,CT是半圓的切線，T是切點(diǎn).C點(diǎn)、T點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：B6+CT2=8C2;（2）連接AE,則。點(diǎn)在哪個(gè)位置時(shí)，線段AE與線段E8之和最大？

27.（2022?陜西西安?西安市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）問(wèn)題提出：

（1）如圖1,在矩形ABCO中，AB=4,40=3,P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接尸￡）,將PD繞點(diǎn)尸逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。得到過(guò)點(diǎn)M作MNLAC于N,求PN的長(zhǎng).

問(wèn)題解決：（2）2022年3月我省局部發(fā)生疫情，為落實(shí)“科學(xué)防治、精準(zhǔn)施策、分級(jí)管理”，我省某小區(qū)設(shè)計(jì)

防疫區(qū)域,在道路C。邊固定柱子（點(diǎn)Q）,道路AB邊確定一點(diǎn)P,以尸Q為邊，搭建正方形防疫區(qū)域PMN。，

內(nèi)部道路C。上設(shè)點(diǎn)E作為記錄處，一EPQ、EPM、EMN、ENQ分別為不同的防疫物資放置區(qū)域，設(shè)

計(jì)圖簡(jiǎn)化如圖2所示，已知道路兩邊AB〃CD,道路寬為6團(tuán)，。為C。上一定點(diǎn)，P為4B上一動(dòng)點(diǎn)，

PE上CD于E.請(qǐng)問(wèn)是否存在符合設(shè)計(jì)要求且面積最小的若存在，請(qǐng)求出面積最小值及此時(shí)QE的

長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

限時(shí)檢測(cè)2：最新各地中考真題（60分鐘）

1.（2022廣西賀州?中考真題）已知二次函數(shù)產(chǎn)244廠1在0S&時(shí),y取得的最大值為15,則a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）已知實(shí)數(shù)“"滿足a=l,則代數(shù)式a?+2。-6a+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2022?四川遂寧?中考真題）如圖，。、E、F分別是ABC三邊上的點(diǎn)，其中8c=8,BC邊上的高為6,

且。目/BC,則一。所面積的最大值為（）

4.（2022?江蘇泰州?中考真題）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,E為與點(diǎn)。不重合的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)E-?邊作

正方形OEFG.設(shè)點(diǎn)尸、G與點(diǎn)C的距離分別為42,d3,則力+刈+必的最小值為（）

A.72B.2C.2近D.4

5.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，四邊形A8C。為矩形，AB=3,BC=4.點(diǎn)尸是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)M為線段”上一點(diǎn).ZADM=/BAP，則BM的最小值為（）

6.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，4408=30°,點(diǎn)/、N分別在邊。4、08上，且QW=3,ON=5,點(diǎn)尸、

。分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是（）

C.后一2D.735-2

7.（2022?安徽?中考真題）已知點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為6的等邊"8C的中心，點(diǎn)P在AABC外，4ABC,^PAB,,BC,

△PCA的面積分別記為s0,s,,S[,s3.若由+$2+53=25°,則線段O尸長(zhǎng)的最小值是（）

A.至B.迥C.36D.速

8.（2022?浙江湖州?中考真題）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).如

圖，在6x6的正方形網(wǎng)格圖形ABCC中，M,N分別是48,BC上的格點(diǎn)，BM=4,BN=2.若點(diǎn)尸是這個(gè)

網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM,PN,則所有滿足NMPN=45。的△PMN中，邊P例的長(zhǎng)的最大值是（）

A.4及B.6C.2710D.3>/5

9.（2022?廣西柳州?中考真題）如圖，直線y/=x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C,直線”=-x+3分別

與x軸、y軸交于點(diǎn)8和點(diǎn)C,點(diǎn)P（加，2）是△A8C內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，則機(jī)的最大值與最小值之

差為（）

A.1B.2C.4D.6

2

10.（2022?江蘇宿遷?中考真題）如圖，點(diǎn)4在反比例函數(shù)y=V（x>0）的圖像上，以。4為一邊作等腰直角

三角形OAB,其中N048=90。，AO=AB,則線段OB長(zhǎng)的最小值是（）

A.1B.&C.2A/2D.4

11.（2022?吉林長(zhǎng)春?中考真題）已知二次函數(shù)y=-V-2x+3,當(dāng)成/g時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1,則a

的值為.

12.（2022?四川涼山?中考真題）己知實(shí)數(shù)a3滿足a—〃=4,則代數(shù)式/一3〃2十。一14的最小值是.

13.（2022,四川自貢?中考真題）如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=2,G是A。的中點(diǎn)，線段E尸在邊AB

上左右滑動(dòng)；若EF=1,則GE+C尸的最小值為.

14.（2022?山東濱州?中考真題）如圖，在矩形A8C。中，AB=5,AD=10.若點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)E作EF1.AC且分別交對(duì)角線4C,直線BC于點(diǎn)0、F,則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AF+EE+EC的最

15.（2022.浙江臺(tái)州?中考真題）如圖，在菱形ABCO中，NA=60。，AB=6.折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC

上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB,A。交于點(diǎn)E,F.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，E尸的長(zhǎng)為；當(dāng)點(diǎn)M的

位置變化時(shí)，。尸長(zhǎng)的最大值為.

8M

16.（2022?四川眉山?中考真題）如圖，點(diǎn)P為矩形ABC。的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE,

PB,若AB=4,BC=4幣,則PE+P3的最小值為

17.（2022?廣西賀州?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，AB=8,8c=6,E,尸分別是AO,AB的中點(diǎn)，ZADC

的平分線交AB于點(diǎn)G,點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則“PE尸的周長(zhǎng)最小值為.

18.（2022?廣西柳州?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,G是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，且EG=2,連接。E,將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。凡連接CF,則線段CF長(zhǎng)的最

小值為

/D

19.（2022?江蘇無(wú)錫?中考真題）AABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，AOCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線

BD與直線AE交于點(diǎn)凡如圖，若點(diǎn)。在aABC內(nèi)，N。8c=20。，則/54尸=°；現(xiàn)將△力CE繞點(diǎn)

C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段A尸長(zhǎng)度的最小值是.

B

20.（2022?四川成都?中考真題）如圖，在菱形A8CO中，過(guò)點(diǎn)。作DELC。交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,連接8E,

點(diǎn)P是線段BE上一動(dòng)點(diǎn)，作P關(guān)于直線OE的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)。是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，。。.若AE=14,

CE=18,則DQ-P'Q的最大值為.

21.（2022.四川成都.中考真題）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度/?

（米）與物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間?（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系/7=-5/+〃”+〃，其圖像如圖所示，物體運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)

離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒.設(shè)w表示0秒到f秒時(shí)八的值的“極差”（即。秒到，秒

時(shí)。的最大值與最小值的差），貝D當(dāng)0WT1時(shí)，叩的取值范圍是；當(dāng)2W時(shí)，w的取值范圍是

22.（2022?浙江紹興?中考真題）已知函數(shù)y=-x2+fev+c（h,c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,-3）,（-6,

-3）.（1）求b,c的值.⑵當(dāng)-4