2022年高考數(shù)學(xué)甲卷-文科數(shù)學(xué)試卷真題+參考答案+詳細(xì)解析

2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科數(shù)學(xué)）（甲卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.（5分）設(shè)集合A={—2,-1,0,1,2},B={x|O?x<|）,則AB=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.（5分）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居

民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題

的正確率如圖：

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.（5分）若z=1+i,則|iz+321=（）

A.45/5B.40C.2y/5D.272

4.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為

A.8B.12C.16D.20

5.（5分）將函數(shù)/（x）=sin（s+q）（0>0）的圖像向左平移5個(gè)單位長度后得到曲線C,若C關(guān)于），軸對稱，

則。的最小值是（）

A.-B.-C.-D.-

6432

6.（5分）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字

之積是4的倍數(shù)的概率為（）

8.(5分)當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)=+2取得最大值—2,則廣⑵=()

X

A.-1B.--C.-D.1

22

9.（5分）在長方體中，已知BQ與平面和平面A4.48所成的角均為30。，貝U（

）

A.AB=2AD

B.AB與平面ABC。所成的角為30。

C.AC=CB,

D.8Q與平面B8CC所成的角為45。

10.（5分）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2萬，側(cè)面積分別為加和先,體積

分別為％和〃.若氣=2,貝1」包=（）

S乙Y乙

A.6B.2夜C.710D.生叵

4

11.（5分）已知橢圓C：W+}T（a>6>0）的離心率為g，A，4分別為。的左、右頂點(diǎn)，8為C的上

頂點(diǎn).若8A?%=-1，則C的方程為（）

222

C.—+^-=1D.—+y2=1

322-

12.（5分）已知9"'=10,?=10ra-ll,方=8"'-9,則（）

A.a>0>hB.a>h>0C.h>a>0D.h>0>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知向量4=（肛3）,b=（y,m+\）.若a_Lb,則/〃=.

14.（5分）設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，點(diǎn)（3,0）和（0,1）均在M上，則M的方程為.

22

15.（5分）記雙曲線C:二-馬=15>0,6>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”

a~b

的e的一個(gè)值一.

AC

16.（5分）已知AABC中，點(diǎn)。在邊3C上，ZA￡）B=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)一匕取得最小值時(shí),

AB

BD=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。

17.(12分)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和5兩家公司運(yùn)營.為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，

隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次

數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？

2

4“2n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b4-d)

pg.k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.（12分）記S,為數(shù)列伍”｝的前”項(xiàng)和.已知包+〃=2a“+l.

n

（1）證明：伍“｝是等差數(shù)列；

（2）若4,%,“9成等比數(shù)列，求5“的最小值.

19.（12分）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面MCD是邊長

為8（單位：cm）的正方形，AEAB,AFBC,\GCD,A//Q4均為正三角形，且它們所在的平面都與平

面A8CE）垂直.

（1）證明：EF//平面AB8；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=d一%,g(x)=x2+a,曲線y=/(x)在點(diǎn)(百J(xJ)處的切線也是曲線y=g(x)

的切線.

(1)若％=-1,求a；

(2)求〃的取值范圍.

21.（12分）設(shè)拋物線（7:>2=2。彳（。>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)￡）（0,0）,過尸的直線交C?于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直

線垂直于x軸時(shí)，|M尸|=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線M￡>,與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,5,記直線MN,A3的傾斜角分別為a,p.當(dāng)a-"

取得最大值時(shí)，求直線45的方程.

(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。［選

修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

2+t

22.(10分)在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為■6'V為參數(shù))，曲線C?的參數(shù)方程為

2+5

X=-------

6'（S為參數(shù)）.

(1)寫出G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C,的極坐標(biāo)方程為2cos6-sin6=0,求G

與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及G與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知a,b,c均為正數(shù)，且/+匕2+402=3,證明：

(1)a+b+2q,3；

(2)若b=2c,則4+L.3.

2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.（5分）設(shè)集合A={-2,-1,0,1,2）,8={x|0,,x<|},則48=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1）D.{1,2}

【解答】解：集合4={—2,—1,0,1,2},3={x|0,,x<9},則A8={0,1,2}.故選：A.

2

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居

民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【解答】解：對于A,講座前問卷答題的正確率從小到大為：

60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,

.?.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為：(70%+75%)/2=72.5%,故A錯(cuò)誤；

對于8,講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為：

%(80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%)=89.5%>85%,故B正確；

對于C,由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，

.?.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；

對于。，講座后問卷答題的正確率的極差為：100%-80%=20%,

講座前正確率的極差為：95%-60%=35%,

講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故。錯(cuò)誤.故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查散點(diǎn)圖、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.(5分)若z=1+i,貝|iz+321=()

A.4A/5B.4應(yīng)C.2石D.272

【解答】解：z=l+z,:.iz+3z=i+i2+3(.\-i)=i-\+3-3i=2-2i,則|iz+3H|=《22+(-2)2=2夜.故選：

D.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

4.(5分)如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為

【解答】解：由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱ABC。-A4GA，

四棱柱的底面是直角梯形如圖,

DiCi

Afi=4,4)=2,AAt=2,例_L平面ABC￡),.,.該多面體的體積為：V=l(4+2)x2x2=12.故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查多面體的體積的求法，考查多面體的三視圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

5.(5分)將函數(shù)/(x)=sin(0x+g)(0>0)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C,若C關(guān)于)，軸對稱，

則。的最小值是()

A.-B.-C.-D.-

6432

【解答】解：將函數(shù)/(x)=sin(5+()(0>O)的圖像向左平移］個(gè)單位長度后得到曲線C,

則C對應(yīng)函數(shù)為y=sin(5+等+與)，C的圖象關(guān)于y軸對稱，，等+(=無萬+］,k^Z,

即0=2Z+1,k&Z,則令/=0,可得。的最小值是！，故選：C.

33

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)y=Asin(ox+e)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

6.(5分)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字

之積是4的倍數(shù)的概率為()

A.-B.-C.-D.-

5353

【解答】解：根據(jù)題意,從6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種取法,

其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6種情況，

則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率P=9=2；故選：C.

155

【點(diǎn)評】本題考查古典概型的計(jì)算，注意古典概型的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)函數(shù)y=(3、-3f)cosx在區(qū)間［-金鄉(xiāng)的圖像大致為()

［解答］解：/(x)=(3*-3-v)cosx,可知,f(-x)=(3-"-3r)cos(-x)=-(3*-3-t)cosx=-.f(x),

函數(shù)是奇函數(shù)，排除8D;當(dāng)x=l時(shí)，,f(l)=(3-3T)cosl>0,排除C.故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題.

8.(5分)當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)=+2取得最大值一2,則/'(2)=()

X

A.-1B.--C.-D.1

22

【解答】解:由題意/(1)=匕=一2,則/(x)=a/nx-2,則r(x)=@+4=竺￥,

XXXX

.當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)取得最值，可得％=1也是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，⑴=。+2=0,即a=—2.

.?.廣(幻=考2,易得函數(shù)在(o,i)上單調(diào)遞增，在(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減，

x-

故x=l處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，則r⑵=-2*+2=」.故選：B.

222

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)最值與極值的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.(5分)在長方體AB8-A4CQ中，已知BQ與平面A38和平面朋耳8所成的角均為30。，貝I(

)

A.AB=2AD

B.鉆與平面ABC。所成的角為30。

C.AC=CB,

D.8Q與平面2耳GC所成的角為45。

【解答】解：如圖所示，連接蝴，BD,不妨令M=l,

在長方體A38-A4GR中，AD_LififAA318,8瓦_(dá)1_面/38,

所以NBRB和NDB]A分別為BtD與平面ABCD和平面AA.B.B所成的角，即ZBtDB=ZDB,A=30°,

所以在RtABDB1中，BB]=AA]=\,BD=￡,B、D=2,

在RtAADB1中，DB、=2,AD=1,AB,=y/3,所以AB=0,CB、=近,AC=6故選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤,

由圖易知，他在平面被CQ上的射影在A片上，所以為45與平面ABC。所成的角，

在RtAABB]中，sinNB|AB=g"=3=3，故選項(xiàng)3錯(cuò)誤，

'AB163

則B,D在平面BB?C上的射影為耳C,所以NDBC為用。與平面BB￡C所成的角,

在7^△￡)81C中，B\C=6=DC,所以NO4c=45。，所以選項(xiàng)O正確，故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了直線與平面所成角，屬于中檔題.

10.（5分）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2/，側(cè)面積分別為與和加，體積

分別為％和匕.若”=2,則*=()

s乙％

A.V5B.2&C.>/10D.獨(dú)^

甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半

徑分別為弓，弓，高分別為九，為，則2町=44，2萬弓=2乃，解得/;=2,與=1，由勾股定理可得

y1g％

h}—\/5,h7-2^2,?.=Y-----=J16,故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

11.（5分）已知橢圓C尤：r2+V、2=l（a>b>0）_的離心率為1—，A,,人分別為。的左、右頂點(diǎn)，B為C的上

a~h~3

頂點(diǎn).若網(wǎng)?即=-1,則C的方程為（）

B.

D.

【解答】解：由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為二=1（加>0）,則4（-3丸0）,4（3九0）,3（0,2"舞），

9次8〃廣

222

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：3A-BA2=(-3/n,-(3/?i,-2\/2m)=-9m+8/?7=-l,/.m=1,

則橢圓方程為三+f=1.故選：B.

98

【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓方程的求解，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，屬于中等題.

12.(5分)已知9"'=10,a=10'"-ll,匕=8"'—9,則()

A.a>O>hB.a>h>0C.h>a>0D.h>O>a

【解答】解：9"'=10,/.w=log910,1=log99<logglO<V729=1.Al<m<-,

I

構(gòu)造函數(shù)/(犬)=/一尤-1。>1),f'(x)=mx'n-'-1,令/'(x)>0,解得：

a

由上述有1<加<3，可得0<x<l,故/(x)在(1,yo)單調(diào)遞增，故〃10)>/(8),又因?yàn)?/p>

/(9)=9'叫|°-9-1=0,故“>0>b,故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)比較大小，屬于較難題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知向量力=(加,3),b=(1,??14-1).若a_Lb,則〃2=_--_.

-4-

【解答】解：向量力=(肛3),b=(1,/72+1).a上b,ab=m+3(n?+1)=0,則m=——，故答案為：一二.

44

【點(diǎn)評】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，屬

于基礎(chǔ)題.

14.(5分)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在o/上，則一〃的方程為

(1)2+(y+l)2=5一

【解答】解：由點(diǎn)M在直線2x+y—1=0上，可設(shè)—

由于點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在:M上，.?.圓的半徑為癡-3>+(1-2”一0y=-0)2+(1—2a-,求得a=1,

可得半徑為逐，圓心"(1,-1),故_〃的方程為(x-l)2+(y+l>=5,故答案為：(x-l)2+(y+l>=5.

【點(diǎn)評】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，關(guān)鍵是確定圓心和半徑，屬于基礎(chǔ)題.

-)2

15.(5分)記雙曲線C:]-當(dāng)=1(°>0/>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”

ab

的e的一個(gè)值_2(ee(l,x/5]內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意).

【解答】解：雙曲線C:[—]=l(a>0/>0)的離心率為e,e=￡,雙曲線的漸近線方程為)，=±?x,

abaa

直線y=2x與C無公共點(diǎn)，可得及,,2,即1,4,即三且,,4,可得l<e,,石，

aaa

滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值可以為：2.

故答案為：2(ee(l,石]內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意).

【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題.

AT

16.(5分)已知AABC中，點(diǎn)。在邊3c上，ZA￡>B=120°,4)=2,CD=2BD.當(dāng)一上取得最小值時(shí),

AB

B￡)=_V3-1_.

【解答】解：設(shè)B￡)=x,CD=2x,

在三角形AC?中，b2=4X2+4-2-2X-2-COS60°,可得：b1=4x2-4x+4,

在三角形A即中，C2=X2+4-2-X-2-COS120°,可得：c2=x2+2x+4,

要使得最小，即？最小，耳=4'-以+4=4-----，其中》+1+_2_..26，此時(shí)寫..4一26,

ABc2c-x-+2x+4x+1+.3x+lc~

x+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=GH寸，即x=6-l時(shí)取等號(hào)，故答案為：x/3-l.

【點(diǎn)評】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。

17.(12分)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和8兩家公司運(yùn)營.為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，

隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次

數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？

付.K2_n(ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

pg.k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【解答】解：(1)A公司一共調(diào)查了260輛車，其中有240輛準(zhǔn)點(diǎn)，故A公司準(zhǔn)點(diǎn)的概率為丁=上；

26013

8公司一共調(diào)查了240輛車，其中有210輛準(zhǔn)點(diǎn)，故8公司準(zhǔn)點(diǎn)的概率為竺=2；

2408

(2)由題設(shè)數(shù)據(jù)可知，準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)共450輛，未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)共50輛，A公司共260輛，8公司共240輛,

-=500x(240x3。-210x20)2=3,2>2.7。6,

260x240x450x50

.?.有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).

【點(diǎn)評】本題考查概率計(jì)算以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.（12分）記為數(shù)列｛”"｝的前”項(xiàng)和.已知色+〃=24+1.

n

（1）證明：｛q｝是等差數(shù)列；

（2）若明,%,%成等比數(shù)列，求S”的最小值.

【解答】解：（1）證明：由已知有：2s“+/=2加?"+〃①，

2

把"換成〃+1,25?+1+（n+1）=2（"+l）a“+]+〃+l—②，

②-①可得：21=2（〃+1）%-2%-2”，整理得：%=4+1,由等差數(shù)列定義有他”｝為等差數(shù)列；

（2）由已知有％2=設(shè)等差數(shù)列°“的首項(xiàng)為x,由（1）有其公差為1,

故（x+6f=（x+3）（x+8）,解得x=—12,故q=-12,所以=-12+（〃-l）xl=”-13,

故可得：a,<a2<a3<<a]2<（.）,=0,al4>0,

213

故S“在”=12或者”=13時(shí)取最小值，S12=Sl3=—^-=-78,故S“的最小值為-78.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)及等差數(shù)列前"項(xiàng)和的最小值，屬于中檔題.

19.（12分）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面A8co是邊長

為8（單位：a“）的正方形，AEAB,AFBC,AGCD,〃”均為正三角形，且它們所在的平面都與平

面438垂直.

（1）證明：EF//平面ABC7）；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

【解答】（I）證明：如圖所示，將幾何體補(bǔ)形為長方體，作EE_L4?于點(diǎn)￡,做EF'LBC于點(diǎn)尸'，

由于底面為正方形，MBE,MCF均為等邊三角形,故等邊三角形的高相等，即上￡=

由面面垂直的性質(zhì)可知EE',尸尸均與底面垂直，則EEHFF',四邊形戶為平行四邊形，則EFHEF',

由于砂不在平面A8CD內(nèi)，EF'在平面A88內(nèi)，由線面平行的判斷定理可得￡尸//平面A8CD.

（2）解：易知包裝盒的容積為長方體的體積減去四個(gè)三棱錐的體積，其中長方體的高e=EE，=4G，

長方體的體積K=8x8x46=256也cm，,—三棱錐的體積V=gx（gx4x4）x4百=cM,

2'j

則包裝盒的容積為V=匕-4匕=256y/3-4x昆蟲■=—gel.

33

【點(diǎn)評】本題主要考查線面平行的判定，空間幾何體體積的計(jì)算等知識(shí)，屬于中等題.

20.(12分)已知函數(shù),f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x)在點(diǎn)(藥,/(玉))處的切線也是曲線y=g(x)

的切線.

(1)若%=-1,求a;

(2)求〃的取值范圍.

【解答】解：(1)由題意可得:(x)=3——1,則切線的斜率4=((-1)=2,且/(-I)：0,故切線方程為

y=2(x+1),即2x-y+2=0,由g'(x)=2x=2可得x=1,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+a),由于切點(diǎn)在直線

2x-y+2=0上，故2-(l+a)+2=0,解得。=3.

(2)由題意可得八x)=3d-l,

當(dāng)x<-亭時(shí)，/'(x)>0，/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)一[■〈xv夸時(shí)，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>當(dāng)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

觀察可得，

當(dāng)。=-1時(shí)，函數(shù)/(X)和函數(shù)g(x)在點(diǎn)(1,1)處有公共點(diǎn)，函數(shù)存在公切線，

當(dāng)4<-1時(shí)，函數(shù)/(X)和函數(shù)g(X)不存在公切線，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(X)和函數(shù)g(X)存在公切線，

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[-1,+00).

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等

知識(shí)，屬于中等題.

21.(12分)設(shè)拋物線。:丫2=20田5>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)￡>5,0),過尸的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直

線垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線Affi),MX與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,8,記直線MN,AB的傾斜角分別為a,7?.當(dāng)a-￡

取得最大值時(shí)，求直線他的方程.

【解答】解：(1)由題意可知，當(dāng)x=p時(shí)，y1=2p2,得加=應(yīng)/，，可知IM￡)|=應(yīng)。，|/T)|=g

則在RtAMFD中，得(5了十(起°)2=9,解得「=2.則C的方程為丁;人；

(2)設(shè),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),由(1)可知F(l,0),0(2,0),則

tana=^=A^=_4^=^—,又N、D、3三點(diǎn)共線，則&加=⑥0，即三二9=止於，

王一元2yi)'1+%工2-2x4-2

-4r

---=---，得y2y4=-8,即％=—~~;同理由M、D、A三點(diǎn)共線，得力=—~,

2?__2"_2%X

44

則tan/=叢二匹=」一=.丫仍.

芻一七%+乂-2(兇+%)

由題意可知，直線MN的斜率不為0,設(shè)?：x=my+l，由卜=4X，得丁-4沖-4=0,

[x=my+1

..r.t.l41—A1

y+%=4m,y,y7=-4,則tana=——=—,tanp=-------=——，

4/Hm-2x462m

j___1_

則tang1)Jana-ta"=

1+tanatan/71+X.l2w+l

2mmm

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，tan(a一夕)=——?—,■=—；當(dāng)〃2Vo時(shí)，tan(a一6)無最大值，

2m+—2A2m~

m7m

.?.當(dāng)且僅當(dāng)2機(jī)=工，即加=立時(shí)，等號(hào)成立，tan（a—0取最大值，

m2

4

此時(shí)AB的直線方程為y-%=---------（x-x,）,即4x-（y