第一次月考押題預(yù)測(cè)卷（考試范圍：第一、二章）（教師版）

第一次月考押題預(yù)測(cè)卷（考試范圍：第一、二章）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿(mǎn)分120分，考試時(shí)間90分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022·四川宜賓·八年級(jí)期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c，滿(mǎn)足下列條件的三角形中，不能判定△ABC為直角三角形是的（

）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠C﹣∠BC．a(chǎn)：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3【答案】A【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理可判斷A，B，D，利用勾股定理的逆定理可判斷C，從而可得答案.【詳解】解：∠A：∠B：∠C＝3：4：5，故A符合題意；則故B不符合題意；a：b：c＝5：12：13，設(shè)則所以能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；∠A：∠B：∠C＝1：2：3，故D不符合題意；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練的掌握“判定直角三角形的方法”是解本題的關(guān)鍵.2．（2022·四川·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)中，自變量的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件可得結(jié)果．【詳解】解：由題意得：，，解得：且，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，熟知根號(hào)下為非負(fù)數(shù)以及分母不為零是解題的關(guān)鍵．3.（2022·河南鶴壁·八年級(jí)期末）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形草地上，放著一根長(zhǎng)方體木塊，它較長(zhǎng)的邊和草地的寬平行且長(zhǎng)大于，木塊從正面看是邊長(zhǎng)為的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解答此題要將木塊展開(kāi)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解答．【詳解】由題意可知，將木塊展開(kāi)，如圖，長(zhǎng)相當(dāng)于是AB+2個(gè)正方形的寬，∴長(zhǎng)為9+2×1＝11(m)；寬為6m．于是最短路徑為：(m)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求最短距離，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)根式的混合運(yùn)算法則，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，即可求出答案．【詳解】A項(xiàng)等于，不正確；B項(xiàng)原式不能合并，不正確；C項(xiàng)原式＝，不正確；D原式＝，正確．故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查根式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵要熟記其運(yùn)算法則．5．（2022·新疆·烏魯木齊市第四中學(xué)八年級(jí)期末）已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，則此三角形的周長(zhǎng)為（）A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不對(duì)【答案】C【詳解】解：設(shè)Rt△ABC的第三邊長(zhǎng)為x，①當(dāng)4為直角三角形的直角邊時(shí)，x為斜邊，由勾股定理得，x==5，此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+4+5=12；②當(dāng)4為直角三角形的斜邊時(shí)，x為直角邊，由勾股定理得，x=，此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+4+=7+．故選C6．（2022·黑龍江·八年級(jí)期末）把中根號(hào)前的（m－1）移到根號(hào)內(nèi)得（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷出m-1的符號(hào)，然后解答即可．【詳解】∵被開(kāi)方數(shù)，分母.∴，∴.∴原式．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)：|a|．考查二次根式的成立的條件以及二次根式的乘法．7．（2022·福建·廈門(mén)一中八年級(jí)期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，若，則的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為、且，由題意可知：，，，因?yàn)椋?，，所以，的值是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的面積、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是隨著正方形的邊長(zhǎng)的變化表示面積．8．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線(xiàn)AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)面積求出BF、AF、CF，設(shè)DE為x，列方程求出即可．【詳解】解：ABCD是長(zhǎng)方形紙片，∴AB=CD=3，，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，設(shè)DE為x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x=，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程．9．（2022·安慶市八年級(jí)期中）實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)先化簡(jiǎn)，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：觀(guān)察實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置可知：

a+1＞0，a-b＜0，1-b＜0，a+b＞0，∴，=|a+1|+|a-b|+2|1-b|-|a+b|

=a+1+b-a+2（b-1）-（a+b）=a+1+b-a+2b-2-a-b=-a+2b-1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次根式得性質(zhì)及絕對(duì)值的性質(zhì)．10．（2022·湖南八年級(jí)期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D，E為BC上兩點(diǎn)．，F(xiàn)為外一點(diǎn)，且，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③【答案】A【分析】①用全等三角形的判定得≌，再用全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論；②用全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)得，再利用勾股定理得結(jié)論；③利用等腰三角形的性質(zhì)得，再利用三角形的面積計(jì)算結(jié)論；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算得結(jié)論．【詳解】解：如圖：

對(duì)于①，因?yàn)?，所以，，因此．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋裕虼恕?，所以．故①正確．對(duì)于②，由①知≌，所以．又因?yàn)?，所以，連接FD，因此≌．所以．在中，因?yàn)?，所以．故②正確．對(duì)于③，設(shè)EF與AD交于G．因?yàn)?，所以．因此．故③正確．對(duì)于④，因?yàn)?，又在中，又是以EF為斜邊的等腰直角三角形，所以因此，故④正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線(xiàn)上）11．（2022·北京·八年級(jí)期中）把無(wú)理數(shù)，，，﹣表示在數(shù)軸上，在這四個(gè)無(wú)理數(shù)中，被墨跡（如圖所示）覆蓋住的無(wú)理數(shù)是_______．【答案】【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算求出各個(gè)無(wú)理數(shù)的取值范圍，由此即可得出答案．【詳解】解：，，即，，，則在這四個(gè)無(wú)理數(shù)中，被墨跡（如圖所示）覆蓋住的無(wú)理數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解題關(guān)鍵．12．（2022·甘肅·高臺(tái)縣八年級(jí)期末）估算比較大?。篲______；______．【答案】

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<【分析】①二次根式比較大小，可比較其平方的大??；②二者作差與作比較，可比較二者的大?。驹斀狻拷猓孩伲?，故答案為：．②，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考察了根式的大小比較．解題的關(guān)鍵在于識(shí)別根式適用的方法．常用的方法有：平方法、作差法、作商法、分子有理化、分母有理化等．13．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）已知，在中，，高，則邊長(zhǎng)為_(kāi)___________．【答案】7或5【分析】根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的圖形，分別考慮當(dāng)高AD在內(nèi)部和外部的情況，再用勾股定理求解．【詳解】如圖：當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，∵，，∴，，∴BC=6+1=7；如圖：當(dāng)AD在△ABC外部時(shí)，∵，，∴，，∴BC=6-1=5；故答案為：7或5【點(diǎn)睛】本題主要考查了用勾股定理求三角形的邊，熟練地掌握勾股定理的內(nèi)容，根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．14．（2022·河南八年級(jí)期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗）有一道“蕩秋干”的問(wèn)題，“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”此問(wèn)題可理解為：如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離PA的長(zhǎng)為1尺，將它向前水平推送10尺時(shí)，即尺，秋千踏板離地的距離就和身高5尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，則秋千的繩索長(zhǎng)為_(kāi)_______尺．【答案】14.5【分析】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，由題意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，由題意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，在Rt△OCP′中，由勾股定理得：（x-4）2+102=x2，解得：x=14.5，故答案為：14.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．15．（2022·河北·平泉市九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，且，．（1）這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為_(kāi)_；（2）若一正方形的面積和這個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_．【答案】

【分析】利用長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式列出代數(shù)式并求值；利用等量關(guān)系另一個(gè)正方形的面積=這個(gè)長(zhǎng)方形的面積列出等式并計(jì)算．【詳解】解：∵，．長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=2×(+)=2×(+)=12；長(zhǎng)方形的面積===24，根據(jù)面積相等，則正方形的邊長(zhǎng)==．故答案為：；．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，需要掌握長(zhǎng)方形和正方形的面積公式與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式．16．（2022·浙江八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，則2x﹣18y2＝_____．【答案】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)將已知化簡(jiǎn)，再將原式變形求出答案．【詳解】解：∵一定有意義，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，則2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的應(yīng)用，以及二次根式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于提高題．17．（2022·山西呂梁·七年級(jí)階段練習(xí)）據(jù)說(shuō)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪(fǎng)問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個(gè)數(shù)是59319，希望求它的立方根．華羅庚脫口而出：39．鄰座的乘客十分驚奇，忙問(wèn)計(jì)算的奧秘．華羅庚給出了如下方法：（1）由，，確定是兩位數(shù)；（2）由59319個(gè)位上的數(shù)是9，確定個(gè)位上的數(shù)是9；（3）劃去59319后面的三位319得到59，而，，由此確定十位上的數(shù)是3．請(qǐng)你類(lèi)比上述過(guò)程，確定21952的立方根是______．【答案】28【分析】首先由，，確定是兩位數(shù)，再由21952個(gè)位上的數(shù)是2，確定個(gè)位上的數(shù)是8，然后劃去21952后面的三位952得到21，而，，由此確定十位上的數(shù)是2，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∴∴是兩位數(shù)又∵只有個(gè)位上是8的數(shù)的立方的個(gè)位上的數(shù)是2∴的個(gè)位上的數(shù)是8∵劃去21952后面的三位952得到21，而，∴十位上的數(shù)是2∴的值為28故答案為：28【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)的立方根，理解一個(gè)數(shù)的立方根的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)是解本題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇八年級(jí)期中）如圖，矩形中，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)（不與、重合），沿翻折，點(diǎn)落在處，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．【答案】【分析】先確定當(dāng)，，共線(xiàn)時(shí)，的值最小，再根據(jù)勾股定理解題．【詳解】如圖，連接，∵，，，∴，∴當(dāng)，，共線(xiàn)時(shí)，的值最小，不妨設(shè)此時(shí)點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，設(shè)，∵，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本道題考查了兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短、勾股定理(在直角三角形中，兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方)．解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)，，共線(xiàn)時(shí)，的值最?。⒔獯痤}（本大題共8小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（2022·江蘇蘇州市·八年級(jí)期中）計(jì)算：（1）；（2）；（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)、平方差公式和二次根式的除法公式計(jì)算即可；（2）利用完全平方公式和二次根式的乘法公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)、立方根的定義、乘方的意義和絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可；（4）根據(jù)二次根式的乘法公式和合并同類(lèi)二次根式法則計(jì)算即可．【詳解】解：（1）===（2）====（3）==（4）===【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法公式、二次根式的除法公式和合并同類(lèi)二次根式法則是解題關(guān)鍵．20．（2022·遼寧鞍山·八年級(jí)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積．【答案】周長(zhǎng)為；面積為26【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB，BC，CD，AD的長(zhǎng)即可得到四邊形ABCD的周長(zhǎng)；根據(jù)四邊形ABCD的面積等于其所在的長(zhǎng)方形面積減去周?chē)膫€(gè)三角形面積求解即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得，，，，故四邊形ABCD的周長(zhǎng)：；四邊形ABCD的面積：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．21．（2022·山西省運(yùn)城市八年級(jí)階段練習(xí)）如圖第4號(hào)臺(tái)風(fēng)“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省紹興市境內(nèi)的B處，最大風(fēng)力有9級(jí)（23m/s），中心最低氣壓為990百帕，臺(tái)風(fēng)中心沿東北（BC）方向以25km/h的速度向D移動(dòng)在距離B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距離AD＝70km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾個(gè)小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？【答案】臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)小時(shí)從B點(diǎn)移到D點(diǎn)，在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)．【分析】由勾股定理解得BD的長(zhǎng)，繼而解得臺(tái)風(fēng)從B點(diǎn)移到D點(diǎn)的時(shí)間，即可解得BE的長(zhǎng)，及從點(diǎn)B到點(diǎn)E的時(shí)間，據(jù)此解題．【詳解】解：在ΔABD中，根據(jù)勾股定理，BD===240(km），則臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)240÷25=小時(shí)從B點(diǎn)移到D點(diǎn)，如圖，距臺(tái)風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到不同程度的影響，∴所以人們要在臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)E點(diǎn)之前撤離，∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小時(shí)），∴正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．22．（2021·福建八年級(jí)期末）如圖，在中，，，是上一點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）的長(zhǎng)為．【分析】(1)計(jì)算△BCD各邊的平方，看是否滿(mǎn)足勾股定理的逆定理，依此判斷直線(xiàn)的位置關(guān)系；(2)用方程思想，表達(dá)勾股定理計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：，，，，；（2）設(shè)，則，在中，，，，解得，的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，熟練掌握定理，逆定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.23．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期中）我們知道，是一個(gè)無(wú)理數(shù)，將這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：(1)的小數(shù)部分是________，的小數(shù)部分是________．(2)若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根．(3)若，其中x是整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)11．【分析】（1）確定的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定的整數(shù)部分，即可確定的整數(shù)部分，從而確定的小數(shù)部分；（2）確定的整數(shù)部分，即知a的值，同理可確定的整數(shù)部分，從而求得它的小數(shù)部分，即b的值，則可以求得代數(shù)式+1的值，從而求得其平方根；（3）由得即，從而得x=9，y=，將x、y的值代入原式即可求解．（1）解：∵，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為，∵，∴，∴即，∴的整數(shù)部分為1，∴的小數(shù)部分為，故答案為：，；（2）解：∵，a是的整數(shù)部分，∴a=9，∵，∴的整數(shù)部分為1，∵b是的小數(shù)部分，∴，∴∵9的平方根等于，∴的平方根等于；（3）解：∵，∴即，∵，其中x是整數(shù)，且，∴x=9，y=，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算、求平方根以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握二次根式的大小估算方法．24．（2022·重慶·八年級(jí)期末）閱讀下述材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類(lèi)似的方法叫做“分子有理化”：與分母有理化類(lèi)似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：比較和的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢?/p>

因?yàn)?，所以再例如：求的最大值．做法如下：解：由，可知，而?dāng)時(shí)，分母有最小值，所以的最大值是．解決下述問(wèn)題：（1）比較和的大??；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）的最大值為．【分析】（1）利用分母有理化得到，，利用可判斷；（2）根據(jù)二次根式有意義的條件得到由1+x≥0，x≥0，則x≥0，利用分母有理化得到，由于x=0時(shí)，有最小值1，從而得到y(tǒng)的最大值．【詳解】解：（1），，而，，，；（2）由，，可知x≥0，，當(dāng)時(shí)，有最小值1，則有最大值，所以的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去．也考查了平方差公式．25．（2022·四川八年級(jí)期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；（3）化簡(jiǎn)：．【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．【分析】（1）利用完全平方公式展開(kāi)得到，再利用對(duì)應(yīng)值相等即可用m、n表示出a、b；（2）直接利用完全平方公式，變形后得到對(duì)應(yīng)值相等，即可求出答案；（3）直接利用完全平方公式，變形化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：（1）∵，∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案為：m2+6n2，2mn；（2）∵，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均為正整數(shù)，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）∵，則．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式性質(zhì)和完全平方式的內(nèi)容，考生須先弄清材料中解題的方法，同時(shí)熟練掌握和靈活運(yùn)用二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則以及二次根式的化簡(jiǎn)公式是解題的關(guān)鍵.26．（2022·浙江八年級(jí)期末）如圖，和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，點(diǎn)、都在外部，連結(jié)和相交于點(diǎn)．①判