第十四章 整式的乘法與因式分解單元培優(yōu)卷（解析版）

第十四章整式的乘法與因式分解單元培優(yōu)卷一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1．下列運(yùn)算不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即（，都是正整數(shù)）；冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（，都是正整數(shù)）；積的乘方：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（為正整數(shù)）；合并同類(lèi)項(xiàng)：合并同類(lèi)項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同指數(shù)不變．逐項(xiàng)判斷選擇即可．【詳解】解：A、，原選項(xiàng)正確，故不符合題意；B、，原選項(xiàng)正確，故不符合題意；C、，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，故符合題意；D、，原選項(xiàng)正確，故不符合題意．故選C．2．若的展開(kāi)式中不含的一次項(xiàng)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則把原式展開(kāi)，再根據(jù)展開(kāi)式中不含的一次項(xiàng)得出方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，的展開(kāi)式中不含的一次項(xiàng)，，解得：，故選：A．3．已知a、b、c是的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足，那么據(jù)此判斷的形狀是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用完全平方公式，實(shí)數(shù)的非負(fù)性，等邊三角形的判定計(jì)算選擇即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，故是等邊三角形，故選A．4．下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的概念逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故不符合題意；B．右邊是最簡(jiǎn)整式的乘積形式，故符合題意；C．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故不符合題意；D．分解錯(cuò)誤，故不符合題意．故選：B．5．若二次三項(xiàng)式可分解成，則的值是（

）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16【答案】A【分析】利用十字相乘進(jìn)行因式分解的方法求得m，n的值，然后將其代入中計(jì)算即可求得答案．【詳解】解：二次三項(xiàng)式可分解成即，，解得：，，則，故選：A．6．多項(xiàng)式加上一個(gè)數(shù)或單項(xiàng)式后，使它成為一個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，那么加上的數(shù)或單項(xiàng)式可以從①，②，③，④，⑤中選取，則選取的是（

）A．① B．③ C．②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)和1是兩個(gè)平方項(xiàng)時(shí)；當(dāng)是乘積二倍項(xiàng)，1為平方項(xiàng)時(shí)，即可解答．【詳解】解：當(dāng)和1是兩個(gè)平方項(xiàng)時(shí)：∵，∴乘積二倍項(xiàng)為，或；當(dāng)是乘積二倍項(xiàng)，1為平方項(xiàng)時(shí)：∵，∴另一個(gè)平方項(xiàng)為，綜上：加上的數(shù)或單項(xiàng)式可以選取的是，，；即可以選取的是②③⑤，故選：C．7．已知滿(mǎn)足，，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，，兩式相加可得，根據(jù)完全平方式將其變形為，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出，的值，以此即可求解．【詳解】解：，，，，兩式相加得：，即，，，，．故選：C．8．閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，楊老師在求代數(shù)式的最小值時(shí)，利用公式，對(duì)式子作這樣變形：，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因此的最小值是1．類(lèi)似地，代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】參照樣例利用公式變形即可得到答案．【詳解】解：==∵，∴，即有最小值，為．故選：B．9．如圖，陰影部分是邊長(zhǎng)為的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過(guò)割、拼，形成新的圖形，給出下列3種割拼方法，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別在兩個(gè)圖形中表示出陰影部分的面積，繼而可得出驗(yàn)證公式，即可得到答案．【詳解】解：在圖①中，左邊的圖形中陰影部分的面積為：，右邊圖形中的陰影部分的面積為：，故可得：，可驗(yàn)證平方差公式，符合題意；在圖②中，左邊圖形中陰影部分的面積為：，右邊圖形中的陰影部分的面積為：，故可得：，可驗(yàn)證平方差公式，符合題意；在圖③中，左邊的圖形中陰影部分的面積為：，右邊圖形中的陰影部分的面積為：，故可得：，可驗(yàn)證平方差公式，符合題意；故能夠驗(yàn)證平方差公式的是：①②③，故選：D．10．已知兩個(gè)多項(xiàng)式，，x為實(shí)數(shù)，將A、B進(jìn)行加減乘除運(yùn)算：①當(dāng)時(shí)，則；②若，則或；③若多項(xiàng)式的取值與x無(wú)關(guān)，則，；④代數(shù)式化簡(jiǎn)后總共有6種不同表達(dá)式；⑤多項(xiàng)式的最小值為2023．上面說(shuō)法正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】解：把字母的值代入運(yùn)算，即可判斷①正確；由題意得方程求解，可判斷②正確；③得關(guān)于參數(shù)的方程組求解，，故③正確；④將整式代入化簡(jiǎn)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)公式分情況討論，可知有四種情況，故④錯(cuò)誤；⑤，由配方法知，故⑤錯(cuò)誤．【詳解】解：，故①正確；②由得，，整理，得：，解得：或，故②正確；③，∴，解得：，，故③正確；④∴；由；；；時(shí)，原式；時(shí)，原式；時(shí)，原式；時(shí)，原式；故有四種情況，故④錯(cuò)誤；⑤．∵，∴，∴，故⑤錯(cuò)誤；故選：B二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共計(jì)12分）11．若，，則的值是．【答案】9【分析】逆用同底數(shù)冪除法法則將待求式整理為，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴.∴，故答案為：9．12．已知，則．【答案】【分析】首先由已知可得，可得，再由，即可求得．【詳解】解：，，，，．故答案為：．13．已知，，，則多項(xiàng)式的值為．【答案】3【分析】根據(jù)題意可得，，，再利用提公因式法原式可變形為，再利用完全平方公式可變形為，然后代入，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴故答案為：314．已知實(shí)數(shù)m、、滿(mǎn)足：．①若，則．②若m、、為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)有個(gè)【答案】【分析】①把代入求值即可；②由題意知：均為整數(shù)，，則再分三種情況討論即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，解得：；②當(dāng)m、、為正整數(shù)時(shí)，均為整數(shù)，而或或，或或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，故為，共2個(gè)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，時(shí)，故為，共3個(gè)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，故為，共2個(gè)；綜上所述：共有個(gè)．故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共計(jì)58分）15．（本題滿(mǎn)分6分）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用積的乘方和冪的乘方，同底冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算求解；（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則來(lái)求解．【詳解】（1）；（2）16．（本題滿(mǎn)分6分）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解；（2）先添括號(hào)，再利用完全平方公式分解．【詳解】（1）解：；（2）17．（本題滿(mǎn)分6分）已知正實(shí)數(shù)x、y，滿(mǎn)足，．(1)求的值；(2)若時(shí)，是完全平方式，求n的值．【答案】(1)26；(2)．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式展開(kāi)，再代入求值即可；（2）先求出m的值，再根據(jù)完全平方公式判斷答案.【詳解】（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴.∵是完全平方式，∴，∴．18．（本題滿(mǎn)分6分）閱讀下列分解因式的過(guò)程：．這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：；(2)三邊滿(mǎn)足，判斷的形狀【答案】(1)(2)是等腰三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）運(yùn)用完全平方公式分解，再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解即可；（2）運(yùn)用乘法公式進(jìn)行分組分解法分解因式即可．【詳解】（1）解：．（2）解：，因式分解為：，，，，即，∴是等腰三角形．19．（本題滿(mǎn)分6分）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成正方形．(1)觀察圖2，試猜想式子，，mn之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系，解決問(wèn)題：已知，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由組合圖形求面積，在圖1，圖2中，分別求出4個(gè)小長(zhǎng)方形面積之和，得出結(jié)論；（2）由（1）知，，將已知代數(shù)式代入求解．．【詳解】（1）解：關(guān)系：；由圖1，4個(gè)小長(zhǎng)方形面積之和，由圖2，4個(gè)小長(zhǎng)方形面積之和，∴．（2）解：由（1）知，，∴．∴．20．（本題滿(mǎn)分8分）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式___________．(2)根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證上述等式．(3)利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若，，則___________．(4)小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為長(zhǎng)方形，求的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)詳解(3)(4)【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于3個(gè)正方形和6個(gè)長(zhǎng)方形的面積即可求解；（2）根據(jù)題意，利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）依據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可；（4）由題可知，所拼圖形的面積為:，利用整式的乘法計(jì)算，即可求解．【詳解】（1）解:大正方形的面積為：；圖中3個(gè)小正方形和6個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和為：，根據(jù)面積不變，有：，故答案為：；（2）證明：；（3）解：∵，，又∵，∴；故答案為：；（4）解：由題可知，所拼圖形的面積為：，∵，∴，，，∴，故答案為：．21．（本題滿(mǎn)分10分）閱讀材料：我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代數(shù)式的最小值：；又；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：___________；(2)已知的三邊長(zhǎng)、、都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足求邊長(zhǎng)的最小值；(3)當(dāng)、為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最大值？并求出這個(gè)最大值．【答案】(1)(2)5(3)時(shí)，最大值為16．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將變形為，再根據(jù)完全平方公式寫(xiě)成，然后利用平方差公式分解即可；（2）根據(jù)配方法得出兩個(gè)完全平方式，再根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，每一部分為0可得a，b的值，最后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得c的取值范圍和最小值；（3）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，再根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可得到當(dāng)x、y為何值時(shí)，所求式子取得最大值，并求出這個(gè)最大值；【詳解】（1）解：原式=；故答案為：（2），，，解得：，、、是的三邊長(zhǎng)，，又是整數(shù)，；邊長(zhǎng)的最小值是5；（3），，；，當(dāng)時(shí),即時(shí)，取得最大值為16．22．（本題滿(mǎn)分10分）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，，，且a，b滿(mǎn)足，點(diǎn)C在x軸正半軸，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接，過(guò)點(diǎn)C作的垂線交射線于點(diǎn)交M，交y軸于N．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_________．(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，如圖②所示，求線段的長(zhǎng)度（用含t的式子表示）．(3)若，則t的值為_(kāi)_________．(4)若，是否存在以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)；(3)1或9(4)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得和的值，確定點(diǎn)和的坐標(biāo)；（2）