廣東省江門市江海區(qū)禮樂中學2023-2024學年數(shù)學高一上期末調研試題含解析

廣東省江門市江海區(qū)禮樂中學2023-2024學年數(shù)學高一上期末調研試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)在上單調遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.2．定義在的函數(shù)，已知是奇函數(shù)，當時，單調遞增，若且，且值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.可正可負 D.可能為03．下列命題中，其中不正確個數(shù)是①已知冪函數(shù)的圖象經過點，則②函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)的取值范圍是③已知平面平面，平面平面，，則平面④過所在平面外一點，作，垂足為，連接、、，若有，則點是的內心A.1 B.2C.3 D.44．過點A（3，4）且與直線l：x﹣2y﹣1＝0垂直的直線的方程是A.2x+y﹣10＝0 B.x+2y﹣11＝0C.x﹣2y+5＝0 D.x﹣2y﹣5＝05．已知集合，則集合中元素的個數(shù)是（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個6．已知關于的方程在區(qū)間上存在兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．16、17世紀，隨著社會各領域的科學知識迅速發(fā)展，龐大的數(shù)學計算需求對數(shù)學運算提出了更高要求，改進計算方法，提高計算速度和準確度成了當務之急．蘇格蘭數(shù)學家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，是簡化大數(shù)運算的有效工具，恩格斯曾把納皮爾的對數(shù)稱為十七世紀的三大數(shù)學發(fā)明之一．已知，，設，則所在的區(qū)間為（是自然對數(shù)的底數(shù)）（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.9．設集合，集合，則等于（）A(1,2) B.(1,2]C.[1,2) D.[1,2]10．若函數(shù)圖象上所有點的橫坐標向右平移個單位，縱坐標保持不變，得到的函數(shù)圖象關于軸對稱，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.若使租賃公司的月收益最大，每輛車的月租金應該定為__________12．計算：（）0+_____13．已知，，則______.14．兩平行直線與之間的距離______.15．函數(shù)的單調減區(qū)間是_________.16．函數(shù)的值域是__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓C經過點A（0，0），B（7，7），圓心在直線上（1）求圓C的標準方程；（2）若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等，求直線l的方程18．已知為奇函數(shù)，且（1）求的值；（2）判斷在上的單調性，并用單調性定義證明19．已知二次函數(shù).（1）若在的最大值為5，求的值；（2）當時，若對任意實數(shù)，總存在，使得.求的取值范圍.20．已知長方體AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，連接B1C，過B點作B1C的垂線交CC1于E，交B1C于F.（1）求證A1C⊥平面EBD；（2）求二面角B1—BE—A1的正切值.21．已知，函數(shù).（Ⅰ）當時，解不等式；（Ⅱ）若關于的方程的解集中恰有一個元素，求的取值范圍；（Ⅲ）設，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】可分析單調遞減,即將題目轉化為在上單調遞增,分別討論與的情況,進而求解【詳解】由題可知單調遞減,因為在上單調遞減,則在上單調遞增,當時,在上單調遞減,不符合題意,舍去；當時,,解得,即故選C【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調性的應用,考查復合函數(shù)單調性問題,考查解不等式2、A【解析】由是奇函數(shù)，所以圖像關于點對稱，當時，單調遞增，所以當時單調遞增，由，可得，，由可知，結合函數(shù)對稱性可知選A3、B【解析】①②因為函數(shù)在區(qū)間上有零點，所以或,即③平面平面，平面平面，，在平面內取一點P作PA垂直于平面與平面的交線,作PB垂直于平面,則所以平面④因為,且,所以,即是的外心所以正確命題為①③,選B4、A【解析】依題意,設所求直線的一般式方程為,把點坐標代入求解,從而求出一般式方程.【詳解】設經過點且垂直于直線的直線的一般式方程為,把點坐標代入可得:,解得,所求直線方程為:.故選:A【點睛】本題考查了直線的方程、相互垂直的直線斜率之間的關系,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.5、C【解析】根據(jù)，所以可取，即可得解.【詳解】由集合，，根據(jù)，所以，所以中元素的個數(shù)是3.故選：C6、C【解析】本題首先可根據(jù)方程存在兩個不同的實數(shù)根得出、，然后設，分為、兩種情況進行討論，最后根據(jù)對稱軸的相關性質以及的大小即可得出結果.【詳解】因為方程存在兩個不同的實數(shù)根，所以，，解得或，設，對稱軸為，當時，因為兩個不同實數(shù)根在區(qū)間上，所以，即，解得，當時，因為兩個不同的實數(shù)根在區(qū)間上，所以，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.7、A【解析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)運算法則直接計算.【詳解】，所以故選：A.8、A【解析】因為，且各段單調，所以實數(shù)的取值范圍是，選A.點睛：已知函數(shù)零點求參數(shù)的范圍的常用方法，(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解9、B【解析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質可得、，再由交集的運算即可得解.【詳解】因為，，所以.故選：B.【點睛】本題考查了指數(shù)不等式的求解及對數(shù)函數(shù)性質的應用，考查了集合交集的運算，屬于基礎題.10、B【解析】由題設可得，根據(jù)已知對稱性及余弦函數(shù)的性質可得，即可求的最小值.【詳解】由題設，關于軸對稱，∴且，則，，又，∴的最小值為.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4050【解析】設每輛車的月租金定為元，則租賃公司的月收益：當時，最大，最大值為，即當每車輛的月租金定為元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益是，故答案為.【思路點睛】本題主要考查閱讀能力、數(shù)學建模能力和化歸思想以及幾何概型概率公式，屬于難題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數(shù)學模型進行解答.解答本題的關鍵是：將租賃公司的月收益表示為關于每輛車的月租金的函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質解答.12、【解析】根據(jù)根式、指數(shù)和對數(shù)運算化簡所求表達式.【詳解】依題意，原式.故答案為：【點睛】本小題主要考查根式、指數(shù)和對數(shù)運算，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.13、【解析】把已知的兩個等式兩邊平方作和即可求得cos（α﹣β）的值【詳解】解：由已知sinα+sinβ＝1①，cosα+cosβ＝0②，①2+②2得：2+2cos（α﹣β）＝1，∴cos（α﹣β），故答案為點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關系式及兩角差的余弦，是基礎題14、2【解析】根據(jù)平行線間距離公式可直接求解.【詳解】直線與平行由平行線間距離公式可得故答案為:2【點睛】本題考查了平行線間距離公式的簡單應用,屬于基礎題.15、##【解析】根據(jù)復合函數(shù)的單調性“同增異減”，即可求解.【詳解】令，根據(jù)復合函數(shù)單調性可知，內層函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，外層函數(shù)在定義域上單調遞增，所以函數(shù)#在上單調遞減，在上單調遞增.故答案為：.16、【解析】利用換元法，將變?yōu)?，然后利用三角恒等變換，求三角函數(shù)的值域，可得答案.【詳解】由，得，可設，故，不妨取為銳角，而，時取最大值），，故函數(shù)的值域為，故答案為:.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25（2）yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0【解析】（1）設圓心C（a，b），半徑為r，然后根據(jù)條件建立方程組求解即可；（2）分直線l經過原點、直線l不經過原點兩種情況求解即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，設圓心C（a，b），半徑為r，標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圓C經過點A（0，0），B（7，7），圓心在直線上，則有，解可得，則圓C的標準方程為（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，小問2詳解】若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等，分2種情況討論：①直線l經過原點，設直線l的方程為y＝kx，則有5，解得k，此時直線l的方程為yx；②直線l不經過原點，設直線l的方程為x+y﹣m＝0，則有5，解得m＝7+5或7﹣5，此時直線l方程為x+y+57＝0或x+y﹣57＝0；綜合可得：直線l的方程為yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝018、（1）；（2）遞減，見解析【解析】(1)函數(shù)是奇函數(shù)，所以，得到，從而解得；(2)在區(qū)間上任取兩個數(shù)，且，判斷的符號，得到，由此證明函數(shù)的單調性.詳解】(1)由題意知，則，解得；(2)函數(shù)在上單調遞減，證明如下：在區(qū)間上任取兩個數(shù)，且，因為，所以即，，所以即，函數(shù)在上單調遞減.【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，利用定義證明函數(shù)的單調性，屬于基礎題.19、（1）2；（2）.【解析】（1）時，；當時，根據(jù)單調性可得答案；（2）依題意得，當、時，利用的單調性可得答案；當和時，結合圖象和單調性可得答案.【詳解】（1）當時，，因為，故，；當時，對稱軸，在上單調遞減，所以，不合題意，舍去，綜上可得：.（2）依題意得：，即，.①當時，對恒成立，所以，即；②當時，對恒成立，所以，即；③當時，對恒成立，所以，即；④當時，對恒成立，所以，即；綜上所述，的取值范圍為.【點睛】本題考查了二次函數(shù)恒成立的問題，所謂“動軸定區(qū)間法”，軸動區(qū)間定：比較對稱軸與區(qū)間端點的位置關系，根據(jù)函數(shù)的單調性數(shù)形結合判斷取得最值的點，需要分類討論.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明平面，則，再證明平面，則，從而即可證明A1C⊥平面EBD；（2）由平面，又，則，進而可得是二面角平面角，在中，求出，即可在中求出，從而即可得答案.【小問1詳解】證明：平面，，又，，平面，，又平面，，且，，平面，，又，A1C⊥平面EBD；【小問2詳解】解：平面，又，是二面角的平面角，在中，，在中，，.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）當時，利用對數(shù)函數(shù)的單調性，直接解不等式即可；（Ⅱ）化簡關于的方程，通過分離變量推出的表達式，通過解集中恰有一個元素，利用二次函數(shù)的性質，即可求的取值范圍；（Ⅲ）在上單調遞減利用復合函數(shù)的單調性求解函數(shù)的最值，令，化簡不等式，轉化求解不等式的最大值，然后推出的范圍.【詳解】（Ⅰ）當時，，∴，整理得，解得．所以原不等式的解集為.（Ⅱ）方程，即為，∴，∴，令，則，由題意得方程在上只有一解,令,,轉化為函數(shù)與的圖象在上只有一個交點.則分別作出函數(shù)與的圖象，如圖所示結合圖象可得，當或時，直線y=a和的圖象只有一個公共點，即方程只有一個解所以實數(shù)范圍為.（Ⅲ）因為函數(shù)在上單調遞