2-3-分塊廣義逆矩陣

PAGEPAGE9§3分塊矩陣的廣義逆下面討論分塊矩陣的廣義逆。首先研究逆矩陣存在的情況，然后把同樣的思想和處理技巧直接應用到不可逆的情況。就得到分塊矩陣的結果。定理1（分塊矩陣的正則逆）設可逆.若,則（1）若,則（2）其中證明若,則有(分塊矩陣的初等變換)（3）此式證明了的可逆性。兩邊求逆矩陣，容易得到用完全同樣的方法可以證明定理的后半部分（請讀者完成）。因為可逆方陣的逆陣是唯一的，于是(1)式和(2)式對應的子塊必相等，即推論1（4）（4‘）（5）（5‘）上面四個式子稱為矩陣反演公式。為了醒目，簡寫為一般公式：（6）（7）另外還有下列求逆公式；在公式(4)中，重新記，則得推論2(和式求逆公式)(8)(9)這個公式在回歸診斷中有廣泛的應用，由(8)式還可得到另外兩個常用公式，其中.推論3(行列式計算)對(3)式兩端取行列式得（10）特別，若取，由上式得（11）推論4(分塊三角陣求逆)由定理1不難得到(為非退化方陣)（12）如果不存在，自然考慮它的廣義逆。對此，我們有如下結果：定理2（分塊矩陣的廣義逆）(1)若存在,則（13）(2)若存在,則（14）(3)若則（15）或（16）其中證明我們只證明(13)和(15)式，(14)式的證明與(13)式類似，請讀者完成.先證(13)式.當存在時，(3)式仍成立.于是根據(jù)事實可逆，則(證明略)，有這里，我們利用了事實：是準對角陣的廣義逆.再證(15)式.因故存在矩陣，使得由上一節(jié)的推論和，得（17）（18）于是，得（19）兩邊求逆矩陣，得到將此三矩陣相乘，即得結論，用類似方法可以證明第二種表達式。從定理證明過程可以看出，我們所求到的廣義逆只是的一部分。因此，定理中的的表達式(12)~(15)式，應理解為右端是的廣義逆。這一點并不影響我們后面的應用。因為在線性模型理論中，我們所關心的量都與的選擇無關。定理的條件或存在或還可以進一步減弱。因為，由和可推出和，于是(18)式成立。因此，(14)式和(15)式也成立。故得推論5對矩陣，若，，則(14)式和(15)式成立. 一些特殊分塊矩陣的廣義逆矩陣請查閱《矩陣論》Ｐ319~320，程云鵬編著。一般來說，對，并沒有類似定理２中（１３）、（１４）式的結論，但在條件下，有類似于（１５）或（１６）式的表達式（參見矩陣論不等式P27）。定理3(鑲邊矩陣的廣義逆)設，則這里，證明(思路，用行變換，列變換將鑲邊矩陣化為對角分塊陣)令則（20）于是因為,故存在矩陣,使.這樣.于是.得到,由的對稱性，轉置得到.所以上式變?yōu)椋海?1）把（19）式代入（20）式，得于是（22）兩邊求廣義逆，得（23）由，得到，下面證明，即.因因為所以，存在，使.由于，代入（23）式即證結論.推論6設對稱，，則證明能夠按定理的證法完成。因為，所以能夠起到定理中的作用。于是現(xiàn)在用不著矩陣。只需把定理中所有的換成，請讀者仿照定理寫出推論5的證明過程.提示:推論7設對稱，，則提示: 由，且，即是列滿秩矩陣（因）。.下面證明滿秩,即滿秩.只需證明正定即可.容易得到對任意的;若有某個能夠使.由于是列滿秩矩陣.故只有零解,即;即得到.所以正定,即正定,,所以正則逆存在.推論8設對稱，則（1）和都可逆；（2）證明(1),存在,使得,故和,再由,知.于是即可逆.又在假設條件下于是第一結論3證。(2)在條件下，將和的線性無關的行向量擴張成的基，并通過該基表示和.不妨設的前行是線性無關的,令，,(否則可用初等行變換使的前行線性無關,即存在,使,但不影響此命題結論).因為的行向量是線性無關的。所以構造的基為：,令，得到，.因為