八年級(jí)第六講反比例函數(shù)

第六講反比例函數(shù)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬浦東外國(guó)語(yǔ)學(xué)校胡素芬反比例函數(shù)【知識(shí)梳理】

概念性質(zhì)圖象及象限反比例函數(shù)正比例函數(shù)表達(dá)式函數(shù)在每一個(gè)象限內(nèi):當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而增大.y=kx(k≠0）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小.k<0xyoxyok>0k<0yx0y0k>0x圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)反比例函數(shù)圖像【知識(shí)梳理】

概念性質(zhì)圖像及象限反比例函數(shù)正比例函數(shù)表達(dá)式函數(shù)在每一個(gè)象限內(nèi):當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而增大.y=kx(k≠0）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小.k<0xyOxyOk>0k<0yxOyOk>0x圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)雙曲線反比例函數(shù)圖像【知識(shí)梳理】

性質(zhì)概念性質(zhì)圖像及象限反比例函數(shù)正比例函數(shù)表達(dá)式函數(shù)在每一個(gè)象限內(nèi):當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而增大.y=kx(k≠0)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小.圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)k<0xyOxyOk>0k<0yxOyOk>0x反比例函數(shù)的圖像不僅是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸：直線y=x和y=-x.xy012y=—kxy=xy=-x

D、y=例1

在下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)是（）

A、y=4+x

B、xy=0

C、y=【典型例題】——反比例函數(shù)的概念D例2當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的函數(shù)是反比例函數(shù)？【典型例題】分析：反比例函數(shù)的解析式是即.解：由題意得∴∴x的指數(shù)是-1；反比例函數(shù)系數(shù)k不能為零；反比例函數(shù)中不會(huì)出現(xiàn)獨(dú)立的常數(shù)項(xiàng).——反比例函數(shù)的概念例3

函數(shù)的圖像位于第

象限,

在每一象限內(nèi),y的值隨x的增大而

,

當(dāng)x＞0時(shí),y

0,這部分圖像位于第

象限.【典型例題】二、四增大＜四例4

如果反比例函數(shù)的圖像位于第二、四象限，那么m的范圍為

.當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線分布在第一，三象限;當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線分布在第二，四象限.——反比例函數(shù)圖像的畫(huà)法與性質(zhì)m＞13-6<0【典型例題】——求解反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k例5

已知反比例函數(shù)的圖像上有一點(diǎn)，求該反比例函數(shù)的解析式．分析：由于點(diǎn)在雙曲線上，那么點(diǎn)的坐標(biāo)滿足反比例函數(shù)的解析式，所以，即．所以反比例函數(shù)的解析式為.解：根據(jù)題意，將x=2，y=3代入，可得則所以反比例函數(shù)的解析式為.【典型例題】——求解反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k例5

已知反比例函數(shù)的圖像上有一點(diǎn)，求該反比例函數(shù)的解析式．解這類(lèi)問(wèn)題的一般步驟是：（1）寫(xiě)出所求函數(shù)的解析式；（2）將一組x和y的數(shù)值代入解析式；（3）解關(guān)于k的方程，從而確定函數(shù)關(guān)系式.反思：【典型例題】——比較大小例6

已知點(diǎn)A(2,y1)，B（5,y2)是反比例函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)．請(qǐng)比較y1,y2的大?。夥ㄒ唬簩=2代入，得y1=2；將x=5代入，得y2=0.8；所以y1＞y2.【典型例題】——比較大小例6

已知點(diǎn)A(2,y1)，B（5,y2)是反比例函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)．請(qǐng)比較y1,y2的大小．解法二：因?yàn)?大于零，所以雙曲線在第一、三象限.又因?yàn)?和5都大于零，所以這兩個(gè)點(diǎn)都在第一象限內(nèi).xy01Ay1By2在第一象限內(nèi)，隨著x的增大，y在逐漸減小，所以y1＞y2

；已知點(diǎn)A(2,y1)，B(5,y2),C(-3,y3)

是反比例函數(shù)圖像上的三點(diǎn)．請(qǐng)比較y1,y2,y3的大小．變式練習(xí)：——比較大小【典型例題】——比較大小【典型例題】反思：已知雙曲線上的幾個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，比較縱坐標(biāo)的大小通常有以下兩種方法：一、代入求值；二、利用增減性，根據(jù)圖像判斷；同樣道理，也可以通過(guò)以上兩種方法，也可以已知雙曲線上的幾個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，比較橫坐標(biāo)的大小.——求點(diǎn)的坐標(biāo)【典型例題】例7如圖所示，若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù)的圖像上，（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

yx02ACBDEF解：設(shè)正方形ADEF的邊長(zhǎng)為x，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)（4+x，x）根據(jù)點(diǎn)E在函數(shù)的圖像上所以所以點(diǎn)E（4，4）（4+x，x）——求點(diǎn)的坐標(biāo)【典型例題】（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

yx02ACBDEF所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為解二：設(shè)例7如圖所示，若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù)的圖像上，（4，4）這類(lèi)問(wèn)題中一般都會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)等量關(guān)系：反思：一、根據(jù)點(diǎn)在圖像上，可得；二、根據(jù)兩個(gè)正方形如圖位置，可得.從中任意選擇一個(gè)等量關(guān)系來(lái)設(shè)元,就可以利用另一個(gè)等量關(guān)系來(lái)列方程解決問(wèn)題.例7如圖所示，若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù)的圖像上，——求點(diǎn)的坐標(biāo)【典型例題】y02ACBx（2）若點(diǎn)R是該反比例函數(shù)圖像上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R分別作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，從矩形OMRN的面積中減去其與正方形OABC重合部分的面積后剩余部分面積是4，求點(diǎn)R的坐標(biāo).RMRNP（4，4）所以解：設(shè)點(diǎn)R坐標(biāo)為，即y02ACBxR1MR2NPQM2N2當(dāng)x>4時(shí)，當(dāng)x<4時(shí)，反思：一、點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上就說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積等于比例系數(shù)k.可以讓我們進(jìn)一步體會(huì)出雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，因?yàn)殡p曲線是關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的，所以這兩個(gè)點(diǎn)是關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).二、根據(jù)題意，新產(chǎn)生的矩形減去原有的正方形重合的面積之后的面積為4，解出點(diǎn)例8如圖所示，以0為頂點(diǎn)，x的正半軸為始邊，在第一象限作45度角，這個(gè)角的終邊交的圖像于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1A1⊥OP1交x軸于點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)A1作A1P2⊥P1A1交雙曲線于點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)P2作P2A2⊥A1P2交x軸于點(diǎn)A2.求：點(diǎn)P2的坐標(biāo).y0P14xA1P2A2【典型例題】——拓展題都是等腰直角三角形，點(diǎn)在的圖像上，斜邊在x軸上.

分析：（4，4）Q2（8+y，y）Q1因?yàn)辄c(diǎn)在的圖像上，所以所以點(diǎn)的坐標(biāo)是【典型例題】（不符合實(shí)際，舍去）解：設(shè)點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)為y，則P2的坐標(biāo)為（8+y，y）.y0P14xA1P2A2Q2（8+y，y）——拓展題變式練習(xí)：【典型例題】——拓展題例8如圖所示，以0為頂點(diǎn)，x的正半軸為始邊，在第一象限作45度角，這個(gè)角的終邊交的圖像于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1A1⊥OP1交x軸于點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)A1作A1P2⊥P1A1交雙曲線于點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)P2作P2A2⊥A1P2交x軸于點(diǎn)A2…求：按照這樣的畫(huà)作法一直作下去，點(diǎn)Pn的坐標(biāo).y0P14xA1P2A2P3一、在反比例函數(shù)的背景下求點(diǎn)的坐標(biāo)不僅關(guān)系到反比例函數(shù)系數(shù)，還關(guān)系到其他相關(guān)的幾何條件，如此題中的“正方形”“等腰直角三角形”等等.通常根據(jù)題目提供的幾種等量關(guān)系中我們選擇不同的設(shè)元方式，就可以列出相應(yīng)的方程來(lái)解未知數(shù).反思：二、注意數(shù)形結(jié)合.xy0例9已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)分別相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，【典型例題】——提高題求：（1）點(diǎn)A，B和C的坐標(biāo)；ABC解：（1）求：（2）和.【典型例題】解：——拓展題例9已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)分別相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A做x軸的垂線于點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)B做x軸的垂線于點(diǎn)B1，過(guò)點(diǎn)C做x軸的垂線于點(diǎn)C1，A1B1C1（3）能否對(duì)第（2）小問(wèn)所得到的三個(gè)直角三角形面積大小關(guān)系作一般性的概括，并對(duì)此進(jìn)行證明；，解得，P；我們不妨設(shè)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交于點(diǎn)P，求的值.OyxP1P例9已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)分別相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A做x軸的垂線于點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)B做x軸的垂線于點(diǎn)B1，過(guò)點(diǎn)C做x軸的垂線于點(diǎn)C1，【典型例題】——拓展題，解得，P；這樣的直角三角形的面積只和n有關(guān)，和m無(wú)關(guān).OyxP1PP(a,b)AOyxP(a,b)AOyx（4）探索ΔOAB的面積和梯形ABB1A1的面積大小關(guān)系并說(shuō)明理由；根據(jù)因?yàn)樗岳?已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)分別相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A做x軸的垂線于點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)B做x軸的垂線于點(diǎn)B1，過(guò)點(diǎn)C做x軸的垂線于點(diǎn)C1，【典型例題】——拓展題（5）如果點(diǎn)A和點(diǎn)B是反比例函數(shù)的雙曲線上任意不相同的兩點(diǎn)，那么第（4）題的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.答：仍然成立.例9已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)分別相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A做x軸的垂線于點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)B做x軸的垂線于點(diǎn)B1，過(guò)點(diǎn)C做x軸的垂線于點(diǎn)C1，【典型例題】——拓展題根據(jù)所以因?yàn)榉此迹和ㄟ^(guò)上述例題的研究，鞏固以下兩點(diǎn)：、已知反比例函數(shù)，就可以求出過(guò)反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的兩條垂線，圍成的矩形面積等于反比例系數(shù)的絕對(duì)值.也可以求出過(guò)反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)作一條坐標(biāo)軸的垂線，再連接坐標(biāo)原點(diǎn)和這個(gè)點(diǎn)圍成的三角形面積等于反比例系數(shù)的絕對(duì)值的一