實(shí)際問題與二次函數(shù) 省賽獲獎(jiǎng)

上杭五中林清華22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)（1）圖形面積問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握圖形面積問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出圖形面積的最大值（或最小值）．

學(xué)習(xí)重點(diǎn)

探究利用二次函數(shù)的最大值（或最小值）解決實(shí)際問題的方法．練習(xí)：求下列函數(shù)的最大值或最小值。理論知識(shí)重要例題：分別在下列各范圍內(nèi)求函數(shù)

y=x2+2x－3的最值(1)

x為全體實(shí)數(shù)(2)1≤x≤2(3)－2≤x≤2x0-2y2-11-3x=-15-4-3例1：用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l

的變化而變化。當(dāng)l

是多少時(shí)，場地的面積最大？解：矩形場地的周長是60m，一邊長為l

，則另一邊長為（30-l)m

依題意，得：

可以看出，這個(gè)函數(shù)的圖象是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點(diǎn)是函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，也就是說，當(dāng)l取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值.即l是15m時(shí)，場地的面積S最大.（S=225㎡)51015202530100200lsO拋物線的對稱軸恰好在題目限定的自變量的范圍內(nèi)，則二次函數(shù)的最大值就是所求的最大面積.（1）列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或通過配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值.解決這類題目的一般步驟例2:如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米。(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(2)當(dāng)x取何值時(shí)所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？(3)若墻的最大可用長度為8米，求圍成花圃的最大面積。

ABCD解：

(1)∵AB為x米、籬笆長為24米∴花圃長為（24－4x）米(3)∵墻的可用長度為8米

∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x∴0<24－4x≤8，4≤x<6∴當(dāng)x＝4時(shí)，S最大值＝32平方米xxxx（0<x<6）24－4x拋物線的對稱軸不在題目限定的自變量的范圍內(nèi)，則要結(jié)合二次函數(shù)的增減性求出最大面積.例3：在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四邊上分別選取E、F、G、H四點(diǎn)，且AE=AH=CF=CG=x，建一個(gè)花園，如何設(shè)計(jì)，可使花園面積最大？DCABGHFE106解：設(shè)花園的面積為y則y=60-x2–(10-x)(6-x)=-2x2+16x（0<x<6）=-2(x-4)2+32

所以當(dāng)x=4時(shí)，花園的最大面積為32xxxx10-x10-x6-x6-x····例4：如圖，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以2厘米／秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以1厘米／秒的速度移動(dòng)，如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā)，幾秒后ΔPBQ的面積最大？最大面積是多少？ABCPQ861cm／s2cm／sx8-2x2x設(shè)經(jīng)過x秒后，ΔPBQ的面積為ycm2(0<x<4)解：設(shè)經(jīng)過x秒后,ΔPBQ的面積ycm2AP=2x

cm,PB=(8-2x

)cm

QB=x

cm則y=x(8-2x)=-x2+4x=-(x2-4x

+4

-4)=-(x-2)2+4所以，當(dāng)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)2秒后ΔPBQ的面積y最大,最大面積是4cm2（0<x<4）ABCPQx2x8-2x例5：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，回答下列問題：（1）運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí)，△PBQ的面積等于8cm2（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第t秒時(shí)，五邊形APQCD的面積為Scm2，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；t為何值時(shí)S最小？求出S的最小值。QPCBAD6121cm/s2cm/st2t6-t

例6:如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB＝２，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度作直線運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D。(1)設(shè)AP的長為x，△PCQ的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)AP的長為何值時(shí)，S△PCQ=S△ABC

解：(1)∵P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度相同∴AP=CQ=x當(dāng)P在線段AB上時(shí)DQPCBA2-xxx22當(dāng)P在線段AB的延長線上時(shí)

DACBPQxx-2x(2)當(dāng)S△PCQ＝S△ABC時(shí)，有

＝２此方程無實(shí)根②＝２

∴x1=1+,x2=1－(舍去)∴當(dāng)AP長為1+時(shí)，S△PCQ＝S△ABC

22(2)當(dāng)AP的長為何值時(shí)，S△PCQ=S△ABC

1.審清題意;“二次函數(shù)應(yīng)用”的思路

回顧本節(jié)“最大面積”解決問題的過程，你能總結(jié)一下解決此類問題的基本思路嗎？與同伴交流.2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關(guān)系;3.用數(shù)學(xué)的方式表示出它們之間的關(guān)系;4.求解;5.檢驗(yàn)結(jié)果的合理性,作答.小結(jié)：解決最大面積問題的一般步驟是什么？老師提醒：

確定二次函數(shù)關(guān)系式后，應(yīng)該寫出相應(yīng)的自變量取值范圍，這