新教材高中數(shù)第8章立體幾何初步8立體圖形的直觀圖案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE11-8.2立體圖形的直觀圖學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟．(重點)2．會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖．(難點)通過學(xué)習(xí)空間幾何體直觀圖的畫法，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．美術(shù)與數(shù)學(xué)，一個屬于藝術(shù)，一個屬于科學(xué)，看似毫無關(guān)系，但事實上這兩個學(xué)科之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，在美術(shù)畫圖中，空間圖形或?qū)嵨镌诋嫲迳袭嫷眉雀挥辛Ⅲw感，又能表達(dá)出各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系．問題：在畫板上畫實物圖時，其中的直角在圖中一定畫成直角嗎？知識點1水平放置的平面圖形的直觀圖畫法1．斜二測畫法我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法．2．平面圖形直觀圖的畫法及要求1．相等的角在直觀圖中還相等嗎？[提示]不一定．例如正方形的直觀圖為平行四邊形．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．(1)原來相交的仍相交． ()(2)原來垂直的仍垂直． ()(3)原來平行的仍平行． ()(4)原來共點的仍共點． ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．長方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個()A．①② B．①②③C．②⑤ D．③④⑤C[由斜二測畫法知，平行線依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正確．]3．梯形的直觀圖是()A．梯形 B．矩形C．三角形 D．任意四邊形A[斜二測畫法中平行性保持不變，故梯形的直觀圖仍是梯形．]4．在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊平行于x軸、y軸，則在直觀圖中，∠A′＝________．45°或135°[因為∠A的兩邊平行于x軸、y軸，故∠A＝90°，在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)則知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°．]知識點2空間幾何體直觀圖的畫法(1)與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸；(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面；(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．2．空間幾何體的直觀圖唯一嗎？[提示]不唯一．作直觀圖時，由于選軸的不同，畫出的直觀圖也不同．5．已知一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，長方體的長、寬、高分別為20m,5m,10m，四棱錐的高為8m．如果按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長方體的長、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,C．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．4cm,0.5cm,1cm,0.8cmC[由比例尺可知，長方體的長、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為4cm,1cm,2cm和1.6cm，再結(jié)合直觀圖的畫法，知長方體的長、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為4cm，0.5cm，2cm,1.6cm．]類型1畫平面圖形的直觀圖【例1】(對接教材P108例1)(1)如圖所示，一個水平放置的正方形ABCD，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點B的坐標(biāo)為(2,2)，則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖A′B′C′D′中，頂點B′到x′軸的距離為________．(2)用斜二測畫法畫出圖中五邊形ABCDE的直觀圖．(1)eq\f(\r(2),2)[正方形的直觀圖A′B′C′D′如圖：因為O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以頂點B′到x′軸的距離為1×sin45°＝eq\f(\r(2),2)．](2)[解]畫法：①在下圖①中作AG⊥x軸于G，作DH⊥x軸于H．②在圖②中畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°．③在圖②中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD；④連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖③)．①②③畫平面圖形的直觀圖的技巧(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上，以便于畫點．(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變)，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．[解](1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖①②所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過點D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC．連接B′C′，如圖②．(3)擦去輔助線，所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③．類型2畫空間幾何體的直觀圖【例2】畫正六棱柱(底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面)的直觀圖．(底面邊長尺寸不作要求，側(cè)棱長為2cm)[解]畫法：(1)畫軸．畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．(2)畫底面．根據(jù)x′軸，y′軸，畫正六邊形的直觀圖ABCDEF．(3)畫側(cè)棱．過A，B，C，D，E，F(xiàn)各點分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，F(xiàn)F′都等于側(cè)棱長2cm．(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正六棱柱的直觀圖．畫空間幾何體時，首先按照斜二測畫法規(guī)則畫出幾何體的底面直觀圖，然后根據(jù)平行于z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，畫出幾何體的各側(cè)面，所以畫空間多面體的步驟可簡單總結(jié)為：eq\x(畫軸)→eq\x(畫底面)→eq\x(畫側(cè)棱)→eq\x(成圖)eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．一個幾何體，它的下面是一個圓柱，上面是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3cm，高(兩底面圓心連線的長度)為4cm，圓錐的高(頂點與底面圓心連線的長度)為3cm，畫出此幾何體的直觀圖．[解](1)畫軸．如圖①所示，畫x軸、z軸，使∠xOz＝90°．(2)畫圓柱的下底面．在x軸上取A，B兩點，使AB＝3cm，且OA＝OB，選擇橢圓模板中適當(dāng)?shù)臋E圓且過A，B兩點，使它為圓柱的下底面．(3)在Oz上截取OO′＝4cm，過點O′作平行于軸Ox的軸O′x′，類似圓柱下底面的畫法畫出圓柱的上底面．(4)畫圓錐的頂點．在Oz上取點P，使PO′＝3cm．(5)成圖．連接A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉輔助線，將被遮擋部分改成虛線)得到此幾何體的直觀圖，示意圖如圖②所示．①②類型3直觀圖的還原與計算【例3】(1)如圖①，Rt△O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，若O′B′＝eq\r(2)，則這個平面圖形的面積是()A．1B．eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)①②(2)如圖②所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1．試畫出原四邊形，并求原圖形的面積．1．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二測畫法的直觀圖，能否判斷△ABC的形狀？[提示]根據(jù)斜二測畫法規(guī)則知：∠ACB＝90°，故△ABC為直角三角形．2．若嘗試與發(fā)現(xiàn)1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10．3．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是哪個？[提示]由直觀圖可知△ABC是以∠B為直角的直角三角形，所以斜邊AC最長．(1)C[由題圖知，平面圖形△OAB為直角三角形．∵O′B′＝eq\r(2)，∠A′O′B′＝45°，∴A′B′＝eq\r(2)，O′A′＝2．∴在原△OAB中，OB＝eq\r(2)，OA＝4，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×4＝2eq\r(2)．選C．](2)[解]如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2．在過點D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1在過點A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2．連接BC，便得到了原圖形(如圖)．由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2．所以面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5．1．本例(1)中直觀圖中△O′A′B′的面積與原圖形面積之比是多少？[解]由(1)中直觀圖可得S△O′A′B′＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，原圖形面積為S△OAB＝2eq\r(2)．所以eq\f(S△O′A′B′,S△OAB)＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)．2．本例(2)中的條件改為如圖所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原圖形的面積．[解]如圖①，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝eq\f(\r(2),2)．而四邊形AECD為矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1．所以BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1．由此可還原原圖形如圖②，是一個直角梯形．①②在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，所以原圖形的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2)．如何將直觀圖還原為平面圖形？直觀圖與原圖形面積之間有什么關(guān)系？[提示]1．直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．2．直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′．利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．如圖所示，正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是()A．8cm B．6cmC．2(1＋eq\r(3))cm D．2(1＋eq\r(2))cmA[根據(jù)直觀圖的畫法，可得原幾何圖形如圖所示，四邊形OABC為平行四邊形，且OB＝2eq\r(2)cm，OA＝1cm，AB＝3cm，從而四邊形OABC的周長為8cm．]1．利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是()ABCDC[正方形的直觀圖應(yīng)是一個內(nèi)角為45°的平行四邊形，且相鄰的兩邊之比為2∶1，故選C．]2．如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊上的一點，且D′C′<D′B′，又A′D′∥y′軸，那么原△ABC的AB，AD，AC三條線段中()A．最長的是AB，最短的是ACB．最長的是AC，最短的是ABC．最長的是AB，最短的是ADD．最長的是AD，最短的是ACC[由題意得，原△ABC的平面圖如圖所示，其中，AD⊥BC，BD>DC，∴AB>AC>AD，∴△ABC的AB，AD，AC三條線段中，最長的是AB，最短的是AD．故選C．]3．如圖所示，四邊形OABC是上底為1，下底為3，底角為45°的等腰梯形，由斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖O′A′B′C′，則梯形O′A′B′C′的高為()A．eq\f(\r(2),4)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(2),2