新教材高中數(shù)第8章立體幾何初步863第課時平面與平面垂直的性質(zhì)案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE9-第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理，學(xué)會用定理證明垂直關(guān)系．(重點)2．熟悉線線垂直、線面垂直、面面垂直間判定和性質(zhì)的轉(zhuǎn)化．(難點)1．通過學(xué)習(xí)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．借助垂直關(guān)系的證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理的核心素養(yǎng)．知識點平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α,a⊥l))?a⊥β圖形語言作用①面面垂直?線面垂直②作面的垂線如果α⊥β，則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線嗎？[提示]正確．若設(shè)α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，則a⊥b，故β內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于α內(nèi)的任意直線．1．已知平面α，β和直線m，l，則下列命題中正確的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βD[A項中缺少了條件l?α，故A錯誤．B項中缺少了條件α⊥β，故B錯誤．C項中缺少了條件α∩β＝m，l⊥m，故C錯誤．D項具備了面面垂直的性質(zhì)定理中的全部條件，故D正確．]2．(多選題)如圖，點P為四邊形ABCD外一點，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點，則下列結(jié)論不一定成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PADABC[因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B結(jié)論一定成立．又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C結(jié)論一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，則AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此關(guān)系不一定成立，故選ABC．]類型1面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例1】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥AB．[證明]如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，∴AD⊥平面PBC．又BC?平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB．又AB?平面PAB，∴BC⊥AB．1．證明或判定線面垂直的常用方法(1)線面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質(zhì)定理；(3)若a∥b，a⊥α，則b⊥α(a，b為直線，α為平面)；(4)若a⊥α，α∥β，則a⊥β(a為直線，α，β為平面)．2．兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法是在其中一個面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．求證：平面VBC⊥平面VAC．[證明]∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面VAB．又VA?平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA?平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC．類型2線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用【例2】如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．試總結(jié)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．[提示]垂直問題轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示：[解](1)設(shè)BD＝a，如圖，作DF∥BC交CE于F，則CF＝DB＝a．因為CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝eq\r(EF2＋DF2)＝eq\r(5)a．又因為DB⊥平面ABC，所以DA＝eq\r(DB2＋AB2)＝eq\r(5)a，所以DE＝DA．(2)取CA的中點N，連接MN，BN，則MNeq\f(1,2)CEDB．所以四邊形MNBD為平行四邊形，所以MD∥BN．又因為EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD．又DE＝DA，M為EA的中點，所以DM⊥AE．又AE∩EC＝E，所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA．(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．本例條件不變，試求平面ADE與平面ABC所成二面角的大小．[解]如圖延長ED交CB延長線于點N，連接AN，設(shè)BD＝a，由例題知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a在△CEN中，由eq\f(BD,CE)＝eq\f(1,2)，知B為CN中點，∴CB＝BN＝2a∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA．又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，且AN為平面ADE與平面ABC的交線．∴∠CAE為平面ADE與平面ABC所成二面角的平面角，在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°．所以平面ADE與平面ABC所成二面角為45°．垂直關(guān)系的互化及解題策略空間問題化成平面問題是解決立體幾何問題的一個基本原則，解題時，要抓住幾何圖形自身的特點，如等腰(邊)三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對角線互相垂直等．還可以通過解三角形，產(chǎn)生一些題目所需要的條件，對于一些較復(fù)雜的問題，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．如圖，M是半圓弧eq\o(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點，四邊形ABCD是矩形，P為AM中點．(1)證明：MC∥平面PBD；(2)若矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，證明：平面AMD⊥平面BMC．[證明](1)連接AC，交BD于O，因為四邊形ABCD是矩形，所以O(shè)是AC中點，連接OP，因為P是AM中點，所以MC∥OP，因為MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD．(2)平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD，因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM，因為M為eq\o(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM，又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC，而DM?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC．1．已知m，n為直線，α，β為空間的兩個平面．給出下列命題：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥n))?n∥α；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?α，,n?β，,α∥β))?m∥n；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥β))?α∥β，④eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥β，,n⊥β))?m∥n．其中正確的命題為________．(填序號)③④[對于①，會有n?α的情況，因此不正確；對于②，會有m，n異面的情況，因此不正確；容易驗證③④都是正確的．]2．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(不含邊界)，若平面A1B1CD⊥平面AEP，則線段AP(eq\r(5)，3)[連接BC1，依題意可得BC1⊥平面A1B1CD，故只需EP∥BC1即可，取CC1中點為F，故P在線段EF上(不含端點)．AE＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，AF＝eq\r(22＋22＋12)＝3，所以線段AP長度的取值范圍是(eq\r(5)，3)．]3．如圖，已知△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形，AB⊥BD．平面ABC⊥平面ABD，點E與點D在平面ABC的同側(cè)，且CE∥BD，BD＝2CE．點F為AD中點，連接EF．求證：平面AED⊥平面ABD．[證明]取AB中點O，連接OC，OF．∵O，F(xiàn)分別為AB，AD中點，則OF∥BD且BD＝2OF．又∵CE∥BD且BD＝2CE，∴CE∥OF且CE＝OF，∴四邊形OCEF為平行四邊形，∴EF∥O