新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題3.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（講）解析版

專題3.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)新課程考試要求1.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算，會用換底公式.2．理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.3.了解對數(shù)函數(shù)的變化特征.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算（例1.2等）、邏輯推理（例7.8.9.10）、直觀想象（例3.4.5）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測1.對數(shù)運算；2.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用；3.除單獨考查外，在大題中考查對數(shù)運算、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用是熱點.常常與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合考查對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，如比較函數(shù)值的大小、探究函數(shù)的圖象等.【知識清單】1．對數(shù)及其運算1.對數(shù)的概念（1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).（2）對數(shù)的性質(zhì)：①負(fù)數(shù)和零沒對數(shù)；②；=3\*GB3③；（3）對數(shù)恒等式alogaN＝N2.對數(shù)的運算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)對數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.=3\*GB3③logaab＝b(a>0，且a≠1)2．對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)3.反函數(shù)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)和指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．【考點分類剖析】考點一：對數(shù)的化簡、求值【典例1】（2021·江西高三其他模擬（文））若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由指數(shù)與對數(shù)關(guān)系可表示出SKIPIF1<0，根據(jù)對數(shù)運算法則化簡可求得結(jié)果.【詳解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2020·全國高考真題（理））已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【解析】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.【規(guī)律方法】1.對數(shù)性質(zhì)在計算中的應(yīng)用(1)對數(shù)運算時的常用性質(zhì)：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用對數(shù)的性質(zhì)時，有時需要將底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形后才能運用；對于多重對數(shù)符號的，可以先把內(nèi)層視為整體，逐層使用對數(shù)的性質(zhì)．2.對數(shù)運算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并．(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算．【變式探究】1．（2021·浙江高三其他模擬）已知實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化關(guān)系表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)換底公式和對數(shù)的運算法則即可得結(jié)果．【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C2.【多選題】（2021·遼寧高三月考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】先判斷SKIPIF1<0，即可判斷A；利用SKIPIF1<0判斷B；利用B的結(jié)論判斷C；利用C的結(jié)論判斷D.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即A不正確；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即B正確；由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，C正確；由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即D正確．故選：BCD.【易錯提醒】(1)對數(shù)的運算性質(zhì)以及有關(guān)公式都是在式子中所有的對數(shù)符號有意義的前提下才成立的，不能出現(xiàn)log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的錯誤．(2)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．考點二：對數(shù)函數(shù)的概念與圖象【典例3】（2019浙江高考真題）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，D選項符合；當(dāng)時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，各選項均不符合.綜上，選D.【典例4】（2020·上海高一課時練習(xí)）函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系的圖像只可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)的值為負(fù).無滿足條件的圖像.當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)的值為正.C滿足.故選：C【典例5】（2021·浙江金華市·高三期末）在同直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性排除選項，以及根據(jù)函數(shù)SKIPIF1<0的圖象判斷SKIPIF1<0，再利用函數(shù)SKIPIF1<0的對稱性排除選項.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性與SKIPIF1<0的單調(diào)性一致，兩段區(qū)間都是單調(diào)遞增，故排除BC，AD選項中，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0關(guān)于點SKIPIF1<0對稱，因為SKIPIF1<0，故排除D.故選：A【總結(jié)提升】1.對數(shù)函數(shù)的解析式同時滿足：①對數(shù)符號前面的系數(shù)是1；②對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正實數(shù)(常數(shù))；③對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.2.(1)不管a>1還是0<a<1，底大圖低；(2)在第一象限內(nèi)，依圖象的分布，逆時針方向a逐漸變小，即a的值越小，圖象越靠近y軸．3.熟記函數(shù)圖象的分布規(guī)律，就能在解答有關(guān)對數(shù)圖象的選擇、填空題時，靈活運用圖象，數(shù)形結(jié)合解決．4．對數(shù)值logax的符號(x>0，a>0且a≠1)規(guī)律：“同正異負(fù)”．(1)當(dāng)0<x<1,0<a<1或x>1，a>1時，logax>0，即當(dāng)真數(shù)x和底數(shù)a同大于(或小于)1時，對數(shù)logax>0，即對數(shù)值為正數(shù)，簡稱為“同正”；(2)當(dāng)0<x<1，a>1或x>1,0<a<1時，logax<0，即當(dāng)真數(shù)x和底數(shù)a中一個大于1，而另一個小于1時，也就是說真數(shù)x和底數(shù)a的取值范圍“相異”時，對數(shù)logax<0，即對數(shù)值為負(fù)數(shù)，簡稱為“異負(fù)”．因此對數(shù)的符號簡稱為“同正異負(fù)”．5．指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的討論，常常要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題．【變式探究】1．（2019·四川省眉山第一中學(xué)高三月考（文））函數(shù)y=ax2+bx與y=A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A、B兩圖，|ba|＞1，而ax2+bx=0的兩根為0和?ba，且兩根之和為?ba，由圖知0＜?ba2．（2021·四川高三三模（理））函數(shù)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的圖象可能為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】討論SKIPIF1<0、SKIPIF1<0確定SKIPIF1<0的單調(diào)性和定義域、SKIPIF1<0在y軸上的截距，再討論SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的可能圖象.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增且定義域為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0與y軸的截距在SKIPIF1<0上，排除C.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞減且定義域為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0與y軸的截距在SKIPIF1<0上.∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故只有B符合要求.故選：B.3．（2021·四川高三三模（理））函數(shù)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的圖象可能為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】討論SKIPIF1<0、SKIPIF1<0確定SKIPIF1<0的單調(diào)性和定義域、SKIPIF1<0在y軸上的截距，再討論SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的可能圖象.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增且定義域為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0與y軸的截距在SKIPIF1<0上，排除C.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞減且定義域為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0與y軸的截距在SKIPIF1<0上.∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故只有B符合要求.故選：B.【總結(jié)提升】應(yīng)用對數(shù)型函數(shù)的圖象可求解的問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．考點三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【典例6】（2020·全國高考真題（理））若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則為增函數(shù)，因為所以，所以，所以.，當(dāng)時，，此時，有當(dāng)時，，此時，有，所以C、D錯誤.故選：B.【典例7】（2021·千陽縣中學(xué)高三其他模擬（文））設(shè)SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)運算與對數(shù)運算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0即可判斷SKIPIF1<0，進(jìn)而得答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：A【典例8】（2019·北京高考模擬（理））若函數(shù)則函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】畫出函數(shù)的圖像如下圖所示，由圖可知，函數(shù)的值域為，故選A.【典例9】滿足，且在單調(diào)遞減，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】為偶函數(shù).，，.在單調(diào)遞減，，即.故選：.【典例10】【多選題】（2021·山東日照市·高三二模）若實數(shù)SKIPIF1<0，則下列不等式中一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，由SKIPIF1<0可推得A正確，由SKIPIF1<0可推得B正確，當(dāng)SKIPIF1<0時，作差比較可知C錯：作差，利用換底公式變形，再根據(jù)基本不等式判斷符號，可得D正確.【詳解】對A，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；對B，由A知，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確：對C選項，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C錯：對D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD【典例11】（2020·上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】由題意可知，解得．【典例12】（2021·浙江高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增區(qū)間為__________；若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)，則a的取值范圍為__________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)定義域得到單調(diào)增區(qū)間；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得答案.【詳解】SKIPIF1<0，函數(shù)的定義域滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0的單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0．函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，定義域滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，無解．故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【易錯提醒】解答對數(shù)函數(shù)型問題，易忽視函數(shù)的定義域而導(dǎo)致錯誤.【變式探究】1.（2018·全國高考真題（理））設(shè)，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】求出，得到的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解：.,即又即故選B.2.（2019·山東高考模擬（文））已知，若正實數(shù)滿足，則的取值范圍為（）A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】因為與都是上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，又因為所以等價于，由，知,當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故，從而；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故，從而，綜上所述，的取值范圍是或，故選C.3.（2019·山東高考模擬（文））已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對稱，若實數(shù)a滿足，則a的取值范圍