第四章 不可壓縮流體的有旋流動和二維無旋流動

第一節(jié)流體微團運動分析第二節(jié)有旋流動和無旋流動第三節(jié)無旋流動的速度勢函數第四節(jié)二維平面流動的流函數第五節(jié)基本的平面有勢流動第六節(jié)平面勢流的疊加流動第四章不可壓縮流體的有旋流動和二維無旋流動有旋流動的基本概念及基本性質二維平面勢流理論第四章不可壓縮流體的有旋流動和二維無旋流動本章內容：本章主要討論理想流體二維流動的基本規(guī)律，為解決工程實際中類似的問題提供理論依據，也為進一步研究粘性流體二維流動奠定必要的基礎。重點：流函數、勢函數基本有勢流動及其疊加第一節(jié)流體微團的運動分析剛體:流體:具有流動性，極易變形。移動（move）

——線速度VxVyVz

轉動(rotation)——角速度ωxωy

ωz

移動（move）

——線速度VxVyVz

轉動(rotation)——角速度ωxωy

ωz

變形（reform）——線變形角變形第一節(jié)流體微團的運動分析

F點速度：u（x，y，z）

v（x，y，z）

w（x，y，z）一、表示流體微團運動特征的速度表達式F點速度：u（x，y，z），

v（x，y，z），w（x，y，z）C點速度：C點速度：C點速度：2.線變形速率3.剪切變形速率1.線速度u,v,w4.旋轉角速度在一般情況下，流體微團的運動可分解為三部分：①以流體微團中某點的速度作整體平移運動②繞通過該點軸的旋轉運動③微團本身的變形運動線速度旋轉角速度線變形速率剪切變形速率C點速度：二、流體微團運動的分解（1）平移運動：矩形ABCD各角點具有相同的速度分量u、v。導致矩形ABCD平移udt,上移vdt,ABCD的形狀不變。（2）線變形運動：x方向的速度差y方向的速度差AB、DC在dt時間內伸長AD、BC在dt時間內縮短定義:單位時間內單位長度流體線段的伸長或縮短量為流體微團的線變形速率沿x軸方向的線變形速率為沿y軸、z軸方向的線變形速率為對于不可壓縮流體，上式等于零，是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團在運動中體積不變。三個方向的線變形速率之和所反映的實質是流體微團體積在單位時間的相對變化，稱為流體微團的體積膨脹速率。因此，不可壓縮流體的連續(xù)性方程也是流體不可壓縮的條件。（3）角變形運動兩正交微元流體邊的夾角在單位時間內的變化量該夾角變化的平均值在單位時間內的變化量角變形速度的平均值角變形速度剪切變形速率（4）旋轉運動則流體微團只發(fā)生角變形則流體微團只發(fā)生旋轉，不發(fā)生角變形流體微團在發(fā)生角變形的同時，還要發(fā)生旋轉運動沿z軸流體微團的旋轉角速度分量：

旋轉角速度：過流體微團上A點的任兩條正交微元流體邊在其所在平面內旋轉角速度的平均值，稱作A點流體微團的旋轉角速度在垂直該平面方向的分量。在一般情況下，流體微團的運動可分解為三部分：①以流體微團中某點的速度作整體平移運動②繞通過該點軸的旋轉運動③微團本身的變形運動線速度旋轉角速度線變形速率剪切變形速率C點速度：第二節(jié)有旋流動和無旋流動

一、根據流體微團在流動中是否旋轉，可將流體的流動分為兩類：有旋流動和無旋流動。

數學條件：當當無旋流動有旋流動如果在整個流場中各處的流體微團均不繞自身軸線的旋轉運動，則稱為無旋流動。流體在流動中，如果流場中有若干處流體微團具有繞通過其自身軸線的旋轉運動，則稱為有旋流動。有旋流動無旋流動（a）

（b）

即當流場速度同時滿足：流動無旋需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團本身是否發(fā)生旋轉來決定，而與流體微團本身的運動軌跡無關。

如圖7-5（a），流體微團的運動為旋轉的圓周運動，其微團自身不旋轉，流場為無旋流動；圖7-5（b）流體微團的運動盡管為直線運動，但流體微團在運動過程中自身在旋轉，所以，該流動為有旋流動。無旋流動有旋流動【解】由于所以該流動是有旋運動。【例7-2】某一流動速度場為，，其中是不為零的常數，流線是平行于軸的直線。試判別該流動是有旋流動還是無旋流動。二、速度環(huán)量和旋渦強度式中——在封閉曲線上的速度矢量；

——速度與該點上切線之間的夾角。在流場中任取封閉曲線k，如圖4-5所示。速度沿該封閉曲線的線積分稱為速度沿封閉曲線k的環(huán)量，簡稱速度環(huán)量，用表示，即速度環(huán)量為了進一步了解流場的運動性質，引入流體力學中重要的基本概念之一——速度環(huán)量。定義：速度環(huán)量是個標量，但具有正負號。圖4-5沿封閉曲線的速度環(huán)量在封閉曲線k上的速度矢量速度與該點上切線之間的夾角速度環(huán)量的正負不僅與速度方向有關，而且與積分時所取的繞行方向有關。通常規(guī)定逆時針方向為K的正方向，即封閉曲線所包圍的面積總在前進方向的左側，如圖4-5所示。當沿順時針方向繞行時，式（4-9）應加一負號。實際上，速度環(huán)量所表征的是流體質點沿封閉曲線K運動的總的趨勢的大小，或者說所反映的是流體的有旋性。

沿封閉曲線反時針方向ABCDA的速度環(huán)量旋渦強度沿封閉曲線反時針方向ABCDA的速度環(huán)量將速度各值代入上式略去高于一階的無窮小各項再將旋轉角速度公式代入對面積積分旋渦強度I斯托克斯定理：速度環(huán)量與旋轉角速度關系——在微元面積dA的外法線上的分量

這一定理將旋渦強度與速度環(huán)量聯系起來，給出了通過速度環(huán)量計算旋渦強度的方法。

dA渦量——以Ω表示之。它定義為單位面積上的速度環(huán)量，是一個矢量。在有旋流動中，流體運動速度的旋度稱為渦量。如果在一個流動區(qū)域內各處的渦量或它的分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線的速度環(huán)量都等于零，則在這個區(qū)域內的流動一定是無旋流動。在流體流動中，如果渦量的三個分量中有一個不等于零，即為有旋流動?！纠?-1】一個以角速度按反時針方向作像剛體一樣的旋轉的流動，如圖4-7所示。試求在這個流場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并證明它是有旋流動.(解)【例4-2】一個流體繞O點作同心圓的平面流動，流場中各點的圓周速度的大小與該點半徑成反比，即，其中C為常數，如圖4-8所示。試求在流場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動情況。(解)【解】在流場中對應于任意兩個半徑和的圓周速度各為和，沿圖中畫斜線扇形部分的周界ABCDA的速度環(huán)量可見，在這個區(qū)域內是有旋流動。又由于扇形面積于是

上式正是斯托克斯定理的一個例證。

以上結論可推廣適用于圓內任意區(qū)域內。返回例題圖4-7有旋流動中速度環(huán)量的計算圖4-8無旋流動中速度環(huán)量的計算返回例題

【解】沿扇形面積周界的速度環(huán)量可見，在這區(qū)域內是無旋流動。這結論可推廣適用于任何不包圍圓心O的區(qū)域內，例如。若包有圓心()，該處速度等于無限大，應作例外來處理?，F在求沿半徑的圓周封閉曲線的速度環(huán)量

上式說明，繞任何一個圓周的流場中，速度環(huán)量都不等于零，并保持一個常數，所以是有旋流動。但凡是繞不包括圓心在內的任何圓周的速度環(huán)量必等于零，故在圓心O點處必有旋渦存在，圓心是一個孤立渦點，稱為奇點。返回例題在不可壓縮流體的平面流動中，速度場必須滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程第四節(jié)二維平面流動的流函數對于流體的平面流動，其流線的微分方程為,將其改寫成下列形式表示該函數一、流函數的引入成為某函數全微分的充分必要條件函數Ψ稱為流場的流函數

Ψ=常數，可得流線微分方程式由此可見,Ψ=常數的曲線即為流線，若給定一組常數值，就可得到流線簇?；蛘哒f，只要給定流場中某一固定點的坐標（x0，y0）代入流函數Ψ

，便可得到一條過該點的確定的流線。因此，借助流函數可以形象地描述不可壓縮平面流場。對于極坐標系，可寫成在已知速度分布的情況下，流函數的求法與速度勢函數一樣，可由曲線積分得出在不可壓縮平面流動中，只要求出了流函數，就可求出速度分布。反之，只要流動滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程，不論流場是否有旋，流動是否定常，流體是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數。等流函數線與流線等同，僅在平面流動時成立。對于三維流動，不存在流函數，也就不存在等流函數線，但流線還是存在的。（1）對于不可壓縮流體的平面流動，流函數Ψ永遠滿足連續(xù)性方程。二、流函數的性質不可壓縮流體平面無旋流動的流函數也滿足拉普拉斯方程，也是一個調和函數。在平面不可壓縮流體的有勢流場中的求解問題，可以轉化為求解一個滿足邊界條件的Ψ的拉普拉斯方程.（2）對于不可壓縮流體的平面勢流，流函數Ψ滿足拉普拉斯方程，流函數也是調和函數。對于平面無旋流動平面流動中兩條流線間通過的流量等于這兩條流線上的流函數之差。（3）平面流動中，通過兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的流函數之差。這就是流函數的物理意義。在兩流線間任一曲線AB，則通過單位厚度的體積流量為三、和的關系當勢函數φ和流函數Ψ二者知其一時，另一個則可利用式（4-27）的關系求出，而至多相差一任意常數。（1）滿足柯西-黎曼條件如果是不可壓縮流體的平面無旋流動，必然同時存在著速度勢和流函數，可得到速度勢函數和流函數之間存在的如下關系柯西-黎曼條件

φ和Ψ互為共軛調和函數，這就有可能使我們利用復變函數這樣一種有力的工具求解此類問題。是等勢線簇[常數]和流線簇[常數]互相正交的條件，若在同一流場中繪出相應的一系列流線和等勢線，則它們必然構成正交網格，稱為流網。（2）流線與等勢線正交

【例4-3】有一不可壓流體平面流動的速度分布為。①該平面流動是否存在流函數和速度勢函數；②若存在，試求出其表達式；③若在流場中A（1m，1m）處的絕對壓強為1.4×105Pa，流體的密度1.2kg/m3，則B（2m，5m）處的絕對壓強是多少？

【解】（1）由不可壓流體平面流動的連續(xù)性方程該流動滿足連續(xù)性方程，流動是存在的，存在流函數。由于是平面流動該流動無旋，存在速度勢函數。（2）由流函數的全微分得：積分由速度勢函數的全微分得：積分（3）由于，因此，A和B處的速度分別為

由伯努里方程可得第五節(jié)

基本的平面有勢流動

一、均勻直線流二、平面點源和點匯

三、點渦一、均勻直線流動定義：流速的大小和方向沿流線不變的流動為均勻流若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。

積分常數C1和C2可以任意選取，而不影響流體的流動圖形（稱為流譜）數學表達式Φ、Ψ即得均勻直線流動的速度勢和流函數各為令各流線與x軸的夾角等于等勢線簇和流線簇互相垂直均勻直線流動在水平面上流體為氣體流場中壓強處處相等壓力分布各流線與x軸的夾角等于二、平面點源和點匯現將極坐標的原點作為源點或匯點，則如果在無限平面上流體不斷從一點沿徑向直線均勻地向各方流出，則這種流動稱為點源，這個點稱為源點若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點，則這種流動稱為點匯，這個點稱為匯點這兩種流動的流線都是從原點O發(fā)出的放射線，即從源點流出和向匯點流入都只有徑向速度。定義特點點源點匯Φ、Ψ根據流動的連續(xù)性條件，流體每秒通過任一半徑為r的單位長度圓柱面上的流量qv都應該相等＋qv——點源——流出（vr與r同向）－qv——點匯——流入（vr與r反向）積分當r=0時，φ→∞，vr→∞，——源點和匯點都是奇點——φ、vr只有在源點和匯點以外才能應用。代入Φ、Ψ等勢線簇是同心圓簇與流線簇正交。而且除源點或匯點外，整個平面上都是有勢流動。壓力分布如果XOY平面是無限水平面，則根據伯努里方程壓強p隨著半徑r的減小而降低。三、點渦定義以渦束旋轉所誘導出的平面流動稱為渦流若直線渦束的半徑→0，則成為一條渦線垂直于該渦束的平面內的流動稱為點渦或自由渦流，渦流中心稱為渦點。數學表達式渦點是一個奇點，該式僅適用于r>0的區(qū)域Φ、Ψ當Γ>0時，環(huán)流為反時針方向；當時Γ<0時，環(huán)流為順時針方向。由式（4-36）和式（4-37）可知，點渦的等勢線簇是經過渦點的放射線，而流線簇是同心圓。而且除渦點外，整個平面上都是有勢流動。壓力分布設渦束的半徑為r0，渦束邊緣上的速度為，壓強為p0r→∞時，速度為零，壓強為p∞。代入伯努里方程，得渦束外區(qū)域內的壓強渦束外區(qū)域內的壓強隨著半徑的減小而降低，渦束外緣上的壓強為在r→0處，壓強p→-∞，顯然這是不可能的。所以在渦束內確實存在如同剛體一樣以等角速度旋轉的旋渦區(qū)域，稱為渦核區(qū)?？傻脺u核的半徑由于渦核內是有旋流動，故流體的壓強可以根據歐拉運動微分方程求得。平面定常流動的歐拉運動微分方程為將渦核內任一點的速度和代入上兩式，得以和分別乘以上兩式，然后相加，得或積分得在處，，代入上式，得最后得渦核區(qū)域內的壓強分布為（4-40）或（4-40a）于是渦核中心的壓強而渦核邊緣的壓強所以可見，渦核內、外的壓強降相等，都等于用渦核邊緣速度計算的動壓頭。渦核內、外的速度分布和壓強分布如圖4-15所示。圖5-14渦流中渦核內、外的速度和壓強分布第六節(jié)平面勢流的疊加流動

一、點渦和點匯疊加的流動——螺旋流

二、點源和點匯疊加的流動——偶極流

幾個簡單有勢流動疊加得到的新的有勢流動，其速度勢函數和流函數分別等于原有幾個有勢流動的速度勢函數和流函數的代數和，速度分量為原有速度分量的代數和。

將簡單的勢流疊加起來，得到新的復雜流動的流函數和勢函數，可以用來求解復雜流動。勢流疊加原理意義：一、勢流疊加原理重要結論：疊加兩個或多個不可壓平面勢流流動組成一個新的復合流動，只要把各原始流動的勢函數或流函數簡單地代數相加，就可得到該復合流動的勢函數或流函數。該結論稱為勢流的疊加原理。1、2、3、二、點渦和點匯疊加的流動——螺旋流點匯點渦等勢線方程流線方程等勢線簇和流線簇是兩組互相正交的對數螺旋線簇，稱為螺旋流。流體從四周向中心流動。研究螺旋流在工程上有重要意義。例如旋流燃燒室、旋風除塵設備及多級離心泵反導葉中的旋轉氣流即可看成是這種螺旋流。螺旋流的速度分布代入伯努里方程，得流場的壓強分布A點（－a，0）——點源B點（a，0）——點匯疊加點匯點源疊加三、點源和點匯疊加的流動——偶極流偶極流定義點源和點匯無限接近的同時，流量無限增大(即2a→0，qv

→∞)以至使2aqv保持一個有限常數值M的極限情況。在這種極限情況下的流動稱為偶極流，M稱為偶極矩或偶極強度偶極流是有方向的，一般規(guī)定由點源指向點匯的方向為正向常數常數偶極流速度勢φ偶極流流函數ΨBC為從B點向AP所作的垂線偶極流流線方程偶極流等勢線方程單獨的偶極流沒有什么實際意義，但是它與直線均勻流疊加的復合勢流非常有用。四、繞圓柱體無環(huán)量流動均勻直線流與偶極流疊加均勻直線流偶極流流函數流線方程零流線方程四、繞圓柱體無環(huán)量流動均勻直線流與偶極流疊加零流線方程流函數勢函數以上兩式中，r≥r0，這是因為r<r0的圓柱體內的流動沒有實際意義。速度分布極坐標速度分布在，