2021年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)模擬試卷（四）（附答案詳解）

2021年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)模擬試卷（四）

1.一3的相反數(shù)是（）

11

A.3B.~C.-3D.--

2.2020年12月6日6時12分，嫦娥五號在38萬公里外的月球軌道上，成功完成了

人類首次月球軌道無人自動交會對接和樣品轉(zhuǎn)移用科學(xué)記數(shù)法表示“38萬”為

()

A.0.38x106B.3.8x105C.38x104D.3.8x104

3.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.B.

4.下列計算正確的是（）

A.%+%2=%3B.%24-%2=X

C.(X+y)2=/+y2D.(—33)2=9x6

5.

6.

則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

（—2.x+5之3

7.不等式組七1<X的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

I2”3

A.B.

-2-101234-2-101234

C.?1?J1I?D.

-2-101234-2-101234

8.已知函數(shù)y=2+合，點P（%y）在該函數(shù)的圖象上.那么，點P（x,y）應(yīng)在直角坐標(biāo)

平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.如圖，。。的弦A3垂直平分半徑0C,若弦AB=2百，則。。

的半徑為（）

A.V2

B.2V2

C.V3

D.2

10.隨著市場對新冠疫苗需求越來越大，為滿足市場需求，某大型疫苗生產(chǎn)企業(yè)更新技

術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)10萬份疫苗，現(xiàn)在生

產(chǎn)500萬份疫苗所需的時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬份疫苗所需時間相同，設(shè)更新

技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬份，依據(jù)題意得（)

.400500c400500―400500

AB.—=——(---=-----

-^=vxx+10?xx-10

11.如圖，在菱形A8CO中，Z.CB。=75。,分別以A,B為圓

心，大于長為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線分別交

AB.AO于E、F兩點，則4DBF的度數(shù)為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

2

12.如圖，拋物線G：yx=a（x+I）+2與拋物線H：y2=

-（x-2）2-1交于點8（1,-2）,且它們分別與y軸交

于點。、E.過點B作x軸的平行線，分別與兩拋物線

交于點A、C,則以下結(jié)論:

①無論無取何值，力總是負數(shù);

②拋物線，可由拋物線G向右平移3個單位，再向下

平移3個單位得到;

③當(dāng)一3<X<1時，隨著X的增大，%-丫2的值先增大后減小;

④四邊形AEC。為正方形.

其中正確的是（）

A.①②B.①②④C.③④D.①②③

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13.臨近中考，報考體育專項的同學(xué)利用課余時間緊張地訓(xùn)練，甲、乙兩名同學(xué)最近

20次立定跳遠成績的平均值都是2.58m,方差分別是：=0.075,S1=0.04,

這兩名同學(xué)成績比較穩(wěn)定的是(填“甲”或“乙”).

14.已知7n+n=mn,貝?。?zn—l)(n—1)=.

15.在學(xué)校開展的手工制作比賽中，小明用紙板制作了一個圓錐模型，它的三視圖如圖

所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求出這個模型的側(cè)面積為.

7T

主視圖左視圖

16.如圖，在正方形ABC。中，4B=2.G為對角線BO的延長線上一點，E為線段CQ

的中點，BF1AE,連接。用已知=15。，下列說法正確的是.(將正確

答案的序號填寫下來)

①2G=BD；@BF=V3;③黑=3?^P0F=i；⑤若E點為線段CD上一動

點，當(dāng)ZE=EC+CQ時，AQ=4.

17.計算：（兀一3）°-2cos45。-71^+|1—夜|.

J8.先化，再求值：含+(-+)，中加=一2.

19.學(xué)校進行實踐活動，喜歡數(shù)學(xué)的小偉沿筆直的河岸BC進行數(shù)學(xué)實踐活動，如圖,

河對岸有一碼頭A,小偉在河岸B處測得NABC=45。，沿河岸到達C處，在C處

測得乙4cB=30。，已知河寬為20米，求8、C兩點之間的距離.

20.為幫助學(xué)生在體育鍛煉中享受樂趣、增強體質(zhì)、健全人格、錘煉意志，某校開展了

“一人一球”的體育選修課活動.學(xué)生根據(jù)自己的喜好選擇一門球類項目(4籃球,

B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球)，王老師隨機對該校部分學(xué)生的選課

情況進行調(diào)查后；制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖所示).

(1)王老師調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是,請將條形統(tǒng)計圖補充完整；

(2)若該校共有學(xué)生1500名，請估計有多少學(xué)生選修乒乓球？

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(3)現(xiàn)有4名學(xué)生，2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球，王老師要從這4

人中任選2人了解他們對體育選修課的看法，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出所

21.如圖，AHBC中，AB=AC,NB的平分線交AC于。，4E〃BC交8。的延長線于點

E,AF1AB交BE于點F.

⑴若4BAC=40。，求乙1FE的度數(shù);

(2)若40=DC=2,求AF的長.

B

22.如圖，A3是00的直徑，點C是。0上一點，/.CAB

的平分線AO交比于點。，過點。作DE〃8c交AC

的延長線于點E.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)過點。作OF1AB于點F,連接BD.若OF=1,

BF=2,求sin/ZMB.

23.疫情期間，按照防疫要求，學(xué)生在進校時必須排隊接受體溫檢測.某校統(tǒng)計了學(xué)生

早晨到校情況，發(fā)現(xiàn)從7：00開始，在校門口的學(xué)生人數(shù)y(單位：人)隨時間雙單

位：分鐘)的變化情況的圖象是二次函數(shù)的一部分，如圖所示.

(1)求y與x之間的函數(shù)解析式；

(2)從7：00開始，需要多少分鐘校門口的學(xué)生才能全部進校？

(3)現(xiàn)學(xué)校通過調(diào)整校門口的入校通道，提高體溫檢測效率.經(jīng)過調(diào)整，現(xiàn)在每分鐘

可以多通過2人，請問所有學(xué)生能夠在7點30分完成進校嗎？請說明理由.

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24.對于平面直角坐標(biāo)系上的點5與圖形0,給出如下定義：若圖形。上有一點T,使得

ST=4,且以T為旋轉(zhuǎn)中心，把點S順時針旋轉(zhuǎn)90。后的對應(yīng)點S'也在圖形。上，則

稱點S為圖形O的“初心點”；

例如：如圖1,給出點S(l,-4)與x軸，過點S作STlx軸于點T,則可得點T的坐

標(biāo)為(1,0),此時ST=4,且使點S繞點T順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的對應(yīng)點S'(-3,0)也

在x軸上，因此點S為x軸的“初心點”.

(1)如圖2,己知點4(4,0),B(—5,0),C(-l,—4),。(0,4),E(5,-4),尸(4,一4),G(l,4),

W(-5,4).

①點C,D,E,F,G,，中，為線段AB的“初心點”的是；

②已知反比例函數(shù)y=%若該反比例函數(shù)圖象上只有1個點為線段A8的“初心

點”，求〃的取值范圍；

(2)如圖3,已知點N(n,0)為x軸上的一個動點，以N為圓心的ON半徑長為2遮,

以P(3,0),Q(0,4)為端點的線段PQ上同時存在2個點為ON的“初心點”，求〃

的取值范圍.

y

圖1圖2

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=。/+以+。(<1>0)的頂點為加，經(jīng)過

C(l,l),且與x軸正半軸交于4,B兩點.

(1)如圖1,連接0C,將線段0C繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，使得C落在y軸的負半軸上,

求點C的路徑長；

(2)如圖2,延長線段0C至N,使得ON=6,若乙OBN="M4,且tan4ABM=等,

求拋物線的解析式；

(3)如圖3,拋物線y=aM+匕工+c的對稱軸為直線x=去與y軸交于(0,5),經(jīng)過

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點C的直線I：y=kx+m(k>0)與拋物線交于點C、D,若在x軸上存在P1、P2,

使NCPi。=ZCP2D=90°,求k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：?.?互為相反數(shù)相加等于0，

二一3的相反數(shù)是3.

故選：A.

根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可.

此題主要考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號；一個

正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.

2.【答案】B

【解析】解：38萬=380000=3.8x105,

故選：B.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1S|a|<10,”為整數(shù).確定n的值時，

要看把原數(shù)變成〃時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對值210時，”是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，〃是負整數(shù).

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axIO"的形式，其中iw

|a|<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

3.【答案】D

【解析】解：4是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

8.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

。.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形

兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

4.【答案】D

【解析】解：4x與/不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；

B、合+/=1,故本選項不合題意；

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C、(x+y)2=x2+2xy+y2,故本選項不合題意；

D、(一3/)2=9”，故本選項符合題意.

故選：D.

分別根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)塞的除法法則，完全平方公式以及積的乘方運算法則

逐一判斷即可.

本題主要考查了合并同類項，同底數(shù)累的除法，完全平方公式以及累的乘方與積的乘方,

熟記相關(guān)公式與運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】解："k=1,b~—2,

二函數(shù)y=x—2的圖象經(jīng)過第一、三、四象限.

故選：B.

先判斷出晨6的值，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可畫出函數(shù)的大致圖象.

一次函數(shù)y=kx+b的圖象有四種情況：

①當(dāng)A>0,b>0,函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；

②當(dāng)k>0,b<0,函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；

③當(dāng)k<0,b>0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；

④當(dāng)k<0,b<0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限.

6.【答案】A

【解析】解：由題意知，另外一個數(shù)為2x4-(2+1+4)=1,

所以這組數(shù)據(jù)為1、1、2、4,

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1,

故選：A.

先根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的概念求出另外一個數(shù)，再由眾數(shù)的定義求解即可.

本題主要考查眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的定義.

7.【答案】B

—2%+5N3①

【解析】解:x-lX

—<—②'

23

由不等式①，得

X<1,

由不等式②，得

%<3,

故原不等式組的解集是XW1,

在數(shù)軸上表示如下所示，

III1IIIA

-2-101234

故選：B.

根據(jù)解一元一次不等式組的方法，可以解答本題.

本題考查解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示不等式的解集，解答本題的關(guān)鍵是明確解

一元一次不等式組的方法.

8.【答案】B

【解析】解：由函數(shù)y=2+力知：-x>0,y>0.

???x<0,y>0,

二點P(x,y)在第二象限，

故選：B.

由函數(shù)y=2+合知：-x>0,y>0,即可判斷出點P(x,y)在第幾象限.

本題考查了函數(shù)關(guān)系式及點的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷x,y的正

負.

9.【答案】D

???弦AB垂直平分半徑OC,

OE-|OC=AE—BE-V3>

在RtAAOE中，由勾股定理得：r2=(1r)2+(V3)2,

解得r=2或一2(舍棄).

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故選：D.

連接0A，設(shè)04=0C=r,利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可.

本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

10.【答案】B

【解析】解：設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬份疫苗，則更新技術(shù)后每天生產(chǎn)（尤+10）萬份

疫苗，

-A*4口400500

依題意得：—.

故選：B.

更新技術(shù)后每天生產(chǎn)Q+10）萬份疫苗，根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)500萬份疫苗所需時間與更新技

術(shù)前生產(chǎn)400萬份疫苗所需時間相同，即可得出關(guān)于x的分式方程.

此題主要考查了列分式方程應(yīng)用，利用本題中“現(xiàn)在生產(chǎn)500萬份疫苗所需的時間與更

新技術(shù)前生產(chǎn)400萬份疫苗所需時間相同”這一個隱含條件得出方程是解題的關(guān)鍵.

1I.【答案】B

【解析】解：?.?四邊形A8C。是菱形，

???Z.CDB=乙ADB=4ABD=Z.CBD=75°,

???NA=180°-75°-75°=30°,

由作圖可知，E尸垂直平分線段AB,

???FA=FB,

Z.FBA=Z.A=30°,

???乙DBF=/LABD-/.ABF=45°,

故選：B.

求出乙4BD,乙4BF,再利用角的和差定義即可解決問題.

本題考查作圖-基本作圖，菱形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

12.【答案】B

【解析】解：①（》-2）2>0.

-（%—2）2<0,

y-1———（x—2）2—1<—1<0>

.?.無論X取何值，丫2總是負數(shù)；

故①正確；

②???拋物線G：yi=a(x+1)2+2與拋物線H：也=一族一2尸一1交于點8(1,-2),

二當(dāng)x-1時，y=—2,

即一2=a(l+l)?+2,

解得：a=-1；

%=—(X+1)2+2,

H可由G向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；

故②正確；

③先一月=~(x+I)?+2-[-(x-2產(chǎn)-1]=-6x+6,

二隨著X的增大，乃-%的值減??；

故③錯誤；

④設(shè)4c與OE交于點尸，

???當(dāng)y=-2時，一(％+1)2+2=—2,

解得：x=-3或x=1,

.??點4(-3,-2),

當(dāng)y——2時,—(x—2)2—1=-2,

解得：x=3或x=1,

???點C(3,-2),

AF=CF=3,AC=6,

當(dāng)％=0時，％=1,y2=—5,

/.DE=6,DF=EF=3,

，四邊形AECD為平行四邊形，

???AC=DE,

???四邊形AECD為矩形，

vAC1DE,

??.四邊形AEC。為正方形.

故④正確.

故選：B.

①由非負數(shù)的性質(zhì)，即可證得刈=-0-2)2-1式一1<0,即可得無論x取何值，y2

總是負數(shù)；

②由拋物線小、1=磯刀+1)2+2與%：丫2=-0-2)2-1交于點8(1,-2),可求得a

第14頁，共31頁

的值，然后由拋物線的平移的性質(zhì)，即可得，2可由，1向右平移3個單位，再向下平移3

個單位得到；

x2

③由丫1-丫2=~(+I)+2-[-(X-2)2-1]=-6x+6,可得隨著X的增大,yi-y2

的值減??；

④首先求得點A，C,D,E的坐標(biāo)，即可證得4F=CF=DF=EF,又由AC1DE,即

可證得四邊形AECD為正方形.

此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、非負數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的平移以及正方

形的判定.此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

13.【答案】乙

【解析】解：??7%=0.075,=0.04

s'>S：

???乙的波動比較小，乙比較穩(wěn)定

故答案為：乙.

根據(jù)方差表示數(shù)據(jù)波動的大小，比較方差的大小即可求解.

本題考查了方差：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離

散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

14.【答案】I

【解析】解：(m-l)(n-1)=mn-(m+n)+1,

m+n=mn,

(m—l)(n—1)=mn—(m+n)+1=1,

故答案為1-

先根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則去掉括號，然后整體代值計算.

本題主要考查了整式的化簡求值的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握多項式乘以多項式的運

算法則，此題難度不大.

15.【答案】15兀

【解析】解：由三視圖可知圓錐的底面半徑為6+2=3,高為4,所以母線長為5,

所以這個模型的側(cè)面積為TrrZ=3x5〃=15兀，

故答案為：157r.

從主視圖以及左視圖都為一個三角形，俯視圖為一個圓形看，可以確定這個幾何體為一

個圓錐，由三視圖可知圓錐的底面半徑為3,高為4,故母線長為5,據(jù)此可以求得其

側(cè)面積.

本題主要考查了由三視圖確定幾何體和求圓錐的側(cè)面積.牢記公式是解題的關(guān)鍵，難度

不大.

16.【答案】①③⑤

【解析】解：①???Z.DAG=15°,

Z.GAO=Z-DAG+Z-DAO=60°,

:.乙G=30°,AG=240,

???BD=24。，

???AG=BD,

①正確，符合題意.

②為8中點，

???DE=2-CD,

v乙DAE+Z-BAF=90°,乙BAF+(ABF=90°,

???乙BAF=Z-DAE,

tan/BAF=tan^DAE=-AD=—BF=2

???BF=2AF,

在RtA4BF中，由勾股定理得：

AB=y]AF2+BF2=\[SAF=2,

AF=—,BF=2AF=—,

55

.??②錯誤，不符合題意.

③rE為C￡＞中點，ECHAB,

二EC為△力BQ的中位線，C為BQ中點，

???BQ=2BC=2AD,

■■■AD//BQ,

???△ADP^LQBP,

DPAD1

一=-=

BPQB2

.DP_1

"BD-DP-2’

第16頁，共31頁

???DP=”D，OP=OD-DP=\BD-\BD=\BD,

OPOPyOD

'.布一而一場一王

.?.③正確，符合題意.

④VAB=2,BQ=2AB=4,

???AQ=yjAB2+BQ2=2V5>

AP_AD_1

?PQBQ-2’

AP一證一s'

??-一i----—,

AP55

即S"0尸=gSfop,

??OP_1

,=一,

OA3

S"OP=gS^AOD=3X*正方形ABCD=3）

.?.④錯誤，不符合題意.

⑤設(shè)ED=x,EC=2-x,

,4-2x4-X

???AE=EC-^-CQ=2—X-\----------=-------

在RtaaCE中，由勾股定理得:

AE=TAD?+DE2=V4+x2-

2

X―V4+x>

解得X=竽或％=一舒（舍）.

???AE=V4+x2=

3

,:AD“BQ,

：?乙DAE=乙BQA,

???sinzD/lE=sin^BQA=^DF=|1,

:.AQ=2AB=4,

??.⑤正確，符合題意.

故答案為：①③⑤.

根據(jù)正方形的性質(zhì)與解直角三角形的方法逐個解題求解.①根據(jù)4DAG=15。可得含60。

角的直角三角形4OG,求出4G=240.

②由ND4E+NBAF=90°,Z.BAF+^ABF=90°^ABAF=ADAE,tan^BAF=

tan/ZME=第=喘=g通過解直角三角形求出"長度.

ADBF2

③將OP：OA轉(zhuǎn)化為OP：OD,通過△ADP7QBP求解.

④先通過0尸：OD=1：3求出三角形OAP的面積，再通過尸F(xiàn)與AP的比值求出三角

形P。尸的面積.

⑤設(shè)ED=x,EC=2-x,通過相似三角形與勾股定理求出x的值從而求出AQ.

本題考查正方形與三角形的綜合問題，解題關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)與解直角三角

形的方法.

17.【答案】解：原式=i—2x立一4+e—1

2

——1—V2—4+V2-1

=—4.

【解析】直接利用零指數(shù)基的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值和絕對值的性質(zhì)、絕對值的

性質(zhì)分別化簡得出答案.

此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

18?【答案】解：原式=3、黑J=土，

當(dāng)m-2時，原=±=-，

【解析】先對號的分通分，算出結(jié)果，然后除法化成法，括號外的分式進行計算，后把

m的值代入計可.

題考了分式的化簡求分式混合運算要去括號；分子、分母因式分解先因式分除法要統(tǒng)一

為乘法運算.

19.【答案】解：如圖，作4DJL8C于點。，

第18頁，共31頁

乙ABD=/.BAD=45°,乙4co=30°.

在RtZkABD中，BD=2D=20米.

在RtZkACC中，CD=V^4D=20次(米).

BC=BD+CD=(20+20g)米.

答：BC之間的距離為(20+20b)米.

【解析】根據(jù)由圖可知4。_LBC,于是乙4BD=ZBAD=45。，以及乙4CD=30。，利用

特殊角三角函數(shù)求出即可.

此題主要考查了解直角三角形主要是方向角問題，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題

的關(guān)鍵.

20.【答案】50

【解析】解：(1)該班總?cè)藬?shù)=10+20%=50(人).

故答案為：50；補全條形圖如圖.

(2)1500x^=240(人)，

答:估計有240學(xué)生選修乒乓球.

(3)畫樹狀圖為：A：籃球，B：足球，C：排球.

開始

所以選出的2人至少有1人選修羽毛球概率=5=3

1Zo

(1)由4有10人，占20%,即可求得該班的總?cè)藬?shù)，繼而求得。的人數(shù)，即可補全頻數(shù)

分布直方圖；

(2)用1500XE的占比即可解決問題；

(3)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選出的2人都是

籃球的情況，再利用概率公式即可求得答案.

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率以及扇形統(tǒng)計圖與頻數(shù)分布直方圖的知識.用

到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.【答案】解：(1)YAB=AC,/.BAC=40°,

乙ABC="180。-40°)=|x140°=70°,

V8D平分44BC,

."ABD=乙DBC=-^ABC=2x70。=35。，

22

vAF1AB,

:.Z-BAF=90°,

???Z.AFE=Z-ABD+乙BAF=35°+90°=125°；

(2)-AE//BC,

:.LE—Z.DBC,

在△4DE和ACDB中，

=乙DBC

\^ADE=乙CDB,

\AD=DC

???△ADEWACDB(A4S),

???AE=BC,

乙E=Z-DBC,乙ABD=乙DBC,

:.Z-E=乙ABD,

???AB=AE,

第20頁，共31頁

:，AB=BC,

-AB=AC,

:.AB=AC=BC,

.?.△ABC是等邊三角形，

???Z.ABC=60°,

:./-ABF=30°,

AD=DC=2,

:.AB=AC=4,

在Rt△ABF中，AF=AB-tan/ABF=4xtan30°=4x—.

33

【解析】（1）求出N4BC=70。，由平分線的性質(zhì)得乙4BD=NDBC=35。，由

得4B4尸=90。，由三角形外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；

（2）易證△力DEWACDBG4AS）,得出4E=BC,易證，E=NABD,得出4B=4E,則△ABC

是等邊三角形，得乙4BF=30。，在RtAZB尸中，AF=AB-tanz.ABF,即可得出結(jié)果.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與

性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角函數(shù)定義等知識；證明

三角形全等是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：（1）連接OQ,如圖：

OA=OD,

：.Z.OAD=Z.ADO,

???/W平分NC4B,

Z.DAE=Z.OAD,

Z.ADO=Z.DAE,

OD//AE,

■:DE//BC,

：,乙E=90°,

AZODF=180°-ZF=90°,

???OE是。。的切線；

(2)???48是0。的直徑，

???Z.ADB=90°,

?.?OF=1,BF=2,

???OB=3,

AAF—4,BA=6.

???DF1AB,

???乙DFB=90°,

???Z.ADB=乙DFB,

又乙DBF=乙48。,

??.△DBFABDf

BD_BF

BA-BD

.-.BD2=BF-BA=2x6=12.

???BD=2同

s\.nZ,-D八八ABD=—BD=—2V3=V—3

AB63

【解析】（1）連接O。，由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出乙4D0=NZME,從

而0D〃4E,由DE〃BC得NE=90。，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出NODE=90。,

由切線的判定定理得出答案；

（2）先由直徑所對的圓周角是直角得出NAOB=90°,再由。尸=1,BF=2得出。8的值,

進而得出4尸和BA的值，然后證明△DBFsaABD,由相似三角形的性質(zhì)得比例式，從

而求得BD?的值，求算術(shù)平方根即可得出8。的值，即可得到結(jié)論.

本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握圓的切線

的判定與性質(zhì)及圓中的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=a/+bx+c,

'16a+4b+c=90

根據(jù)題意得：卜：34,

—2=16

v2a

解得J：。,

Ic=34

第22頁，共31頁

???y——|x2+16x+34；

(2)令y=0,得：-gx2+i6x+34=o,

解得：x1=-2(舍),x2=34.；

.??從7：00開始，需要34分鐘校門口的學(xué)生才能全部進校;

(3)設(shè)第x分鐘時的排隊等待人數(shù)為卬人，

由題意得：w=y-2%

=--X2+14x+34,

2

當(dāng)久=30時，w=4>0.

???7點30分時所有學(xué)生不能全部完成進校.

【解析】(1)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)令y=0,得：一1x2+i6x+34=0,解方程并作出取舍即可；

(3)設(shè)第x分鐘時的排隊等待人數(shù)為w人，則卬=丫-2x,從而可得w關(guān)于x的二次函

數(shù)，計算當(dāng)x=30時的w值，則可得答案.

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式和二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，熟練掌握待定

系數(shù)法、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系及二次函數(shù)的函數(shù)值等知識點是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】C,D,F,H

【解析】解：(1)①C,

.?.該反比例函數(shù)圖象”與線段?！ê途€段CF只有一個公共點，

分兩種情況：

（1）當(dāng)<1>0時，如圖1所示，

由①可知在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y=?的圖象上不存在線段AB的“初心點”，

在第三象限內(nèi)，當(dāng)反比例函數(shù)y=三的圖象過點C（一1,一4）,

此時的。是使得反比例函數(shù)圖象上存在線段A3的“初心點”的最大值，

把點C（-l,一4）代入y=（得a-4,

???該反比例函數(shù)y=?圖象上只有1個點為線段AB的“初心點”，

?1.a的取值范圍是0<aS4；

（II）當(dāng)a<0時，如圖2所示，

在第二象限內(nèi)，當(dāng)反比例函數(shù)y=￡圖象過點”（一5,4）,

此時a=-20,且此時的〃是使得反比例函數(shù)圖象上存在線段AB的“初心點”的最小

值；

在第四象限內(nèi)，當(dāng)反比例函數(shù)y=￡圖象過點日（4,一4）,

此時a=-16,且此時的“是使得反比例函數(shù)圖象上存在線段A8的“初心點”的最大

值，

?反比例函數(shù)y=2圖象上只有一個點為線段AB的”初心點“，

?1.a的取值范圍是：一20<a<-16；

綜上，a的取值范圍是0<aW4或一20<a<-16；

第24頁，共31頁

y

圖5

v

——"——r、

X、>

?、、

Z、

、

z'Q\

/\

/\

f、

/\

/7\

//

1/

1S

1/1

1?卜

1

.二*

1□P

1N

\f

/

\

\

\/

!

\t

\/

、、/

、、?/

、/-

、

*——_-'

圖6

(2)對。N的所有”初心點“的可能位置進行考慮:

①ON內(nèi)不存在0N的”初心點“；

②對于ON上任意一點S,如圖3,由ON半徑為2夜可知，

以弦ST=4為直角邊，

直徑SS'為斜邊的4STS'一定是等腰直角三角形，

因此ON上任意一點都可以是0N的”初心點“；

③對于0N外一點S,若它是ON的”初心點“，

則在ON上存在點T與點S',使得ST=S'T=4,且ZS7S'=90。，如圖4,

過點N作NM1ST的延長線于點M,

則MN=MT=—NT=2,

2

■.SN=y]MN2+MS2=yj22+(2+4)2=2V10，

即點S在以點N為圓心，為半徑的圓上，

綜上，ON的所有“初心點”，在以點N為圓心，分別以2夜和2g為半徑的兩個同心

圓上，

因此，線段P。上同時存在2個點為ON的”初心點“，就是線段尸。與兩個同心圓有

兩個公共點，

從幾個臨界位置討論，

第26頁，共31頁

八

①當(dāng)大ON與PQ相切時，如圖5,切點為S,

^vE^NSP-^QOP,

*.*PN_SN,

PQOQ

...PN=H=亞生一國,

OQ42

此時n=3-|V10；

當(dāng)大ON右邊經(jīng)過點。時，

在Rt△QN。中，ON=y]QN2-QO2=J(2V10)2-42=2石，此時n=-2后，

二對應(yīng)n的取值范圍是3-gm<n<-2V6；

②如圖6,如圖7,從小ON右邊與PQ相切開始，到小ON右邊經(jīng)過點P止的過程中，

線段PQ與小ON有2個公共點，

因此線段PQ上同時存在2個點是0N的”初心點“，

同①方法計算得出對應(yīng)n的值得到對應(yīng)n的取值范圍是，3-|夜<riW3-2夜；

③如圖8,如9,從大ON左邊過點Q開始，到小0N左邊經(jīng)過點P止的這段過程中，

線段P。與兩個圓各有一個公共點，

因此線段PQ上同時存在2個點為ON的”初心點“，

同①方法計算得出對應(yīng)n的值得到對應(yīng)n的取值范圍是，2遍<nS3+2加，

二綜上,當(dāng)線段PQ上同時存在2個點為0N的”初心點"時,〃的取值范圍：3-|V1U<

n<—2遍或3—|V2<n<3—2/或2遍<n<3+2A/2.

(1)①由新定義可以得到C,。，F(xiàn),，四點符合題意；

②由①可知，AB的所有“初心點”都在線段。，和線段CF上，即該反比例函數(shù)y=?

圖象上只有1個點為線段AB的“初心點”，該反比例函數(shù)圖象”與線段。，和線段CF

只有一個公共點，分兩種情況：(1)當(dāng)。>0時，如圖1所示，由①可知在第一象限內(nèi)，

反比例函數(shù)y=?的圖象上不存在線段AB的“初心點”，在第三象限內(nèi)，當(dāng)反比例函數(shù)

y=?的圖象過點C(-l,-4),此時的“是使得反比例函數(shù)圖象上存在線段A8的“初心

點”的最大值，把點C(—l,—4)代入y=：得a=4,即。的取值范圍是0<aW4；(II)當(dāng)

a<0時，如圖2所示，在第二象限內(nèi)，當(dāng)反比例函數(shù)y=?圖象過點”(一5,4),此時a=

-20,且此時的a是使得反比例函數(shù)圖象上存在線段AB的“初心點”的最小值；此時

a=-16,且此時的a是使得反比例函數(shù)圖象上存在線段AB的“初心點”的最大值，

即可求出a的取值范圍是0<aW4或一20<a<—16；

(2)對0N的所有”初心點“的可能位置進行考慮：①0N內(nèi)不存在ON的”初心點

第28頁，共31頁

②對于ON上任意一點S,如圖3,由0N半徑為2夜可知，以弦ST=4為直角邊，直

徑SS'為斜邊的ASTS'一定是等腰直角三角形，因此。N上任意一點都可以是。N的”初

心點“：③對于ON外一點S,若它是。N的”初心點“，則在。N上存在點T與點S',

使得ST=S'T=4,且/STS'=90。,如圖4,過點N作NM1S7的延長線于點M,則MN=

MT=與NT=2,SN=V