2023年內(nèi)蒙古呼和浩特開來高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)，(x)=(2a+2)lnx+2Q：2+5.設。＜一1,若對任意不相等的正數(shù)x2,恒有「"二八”？8,

須一工2

則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-3,-1)B.(—2,-1)

C.(-℃,—3]

2.某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該三棱錐外接球的表面積為()

A.277rB.28萬C.29〃D.30乃

3.幻方最早起源于我國，由正整數(shù)1,2,3.........這〃2個數(shù)填入"X"方格中，使得每行、每列、每條對角線上

的數(shù)的和相等，這個正方形數(shù)陣就叫〃階幻方.定義/(〃)為〃階幻方對角線上所有數(shù)的和，如八3)=15,則/(10)=

()

B.500C.505D.5050

4.甲乙丙丁四人中，甲說：我年紀最大，乙說：我年紀最大，丙說：乙年紀最大，丁說：我不是年紀最大的，若這四

人中只有一個人說的是真話，則年紀最大的是()

A.甲C.丙D.T

5.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有一問題：“今有鱉膈(歷下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺.問積

幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為（

4

A.907平方尺B.180萬平方尺

C.360〃平方尺D.135疝二平方尺

22

6.已知雙曲線■—與=1（。＞0,。＞0）的一條漸近線為/,圓。：。一。）2+丁=4與/相切于點A，若叢片工的

a1b~

面積為2g，則雙曲線廠的離心率為（）

AC2A/3?7727

A?2BR?-----C?D?-----

333

7.如圖所示點尸是拋物線產(chǎn)="的焦點，點A、〃分別在拋物線：/=8x及圓f+yZ-?—12=0的實線部分上

運動，且A3總是平行于“軸，則的周長的取值范圍是（）

A.(6,10)B.(8,12)C.[6,8]D.[8,12]

8.已知平面向量a,瓦c,滿足|5|=2,|a+B|=l,c=+且丸+2〃=1,若對每一個確定的向量記|c|的最

小值為加，則當Z變化時，〃?的最大值為（）

UUUU1UUL1---------------------------------

9.在AABC中，點O是線段8c上任意一點，2AM=A￡＞，BM=AAB+^iAC,則，+〃=()

10.據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年U月全國CP/（居民消費價格指數(shù)），同比上漲4.5%,CP/上漲的主要因素是

豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CH上漲3.27個百分點.下圖是2019年11月CP/一籃子商品權(quán)重，根據(jù)該

圖，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.CP/一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住

B.CP/一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%

C.豬肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在C/7一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%

11.函數(shù)〃x）=xcos2N的圖象可能為（）

12.函數(shù)/（x）=W的圖象大致為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

r~v25

13.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線二一4=1（。＞0,方＞0）的離心率為一，則該雙曲線的漸近線方程為

a2b~4

14.已知兩圓相交于兩點A（a,3）,3（—1,1）,若兩圓圓心都在直線x+y+b=0上，則a+0的值是.

15.已知實數(shù)x,y滿足v—v'則X+）面取值范圍是______.

I”0,

22

16.設雙曲線C:「-2=1（。＞0力＞0）的左焦點為過點尸且傾斜角為45。的直線與雙曲線C的兩條漸近線順次交

于A,5兩點若麗=3而，則。的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁

瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動就業(yè)人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,

得到其辦理手續(xù)所需時間（天）與人數(shù)的頻數(shù)分布表：

時間[0,2)[24)[4⑹[6,8)[8,10)[10,12)

人數(shù)156090754515

（1）若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60

人，請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間

與是否流動人員”有關.

列聯(lián)表如下

流動人員非流動人員總計

辦理社保手續(xù)所需

時間不超過4天

辦理社保手續(xù)所需

60

時間超過4天

總計21090300

（2）為了改進工作作風，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為［8/2）流動人員中利用分層抽樣，抽取12名流動

人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為［10,12）的人數(shù)為求出J分布列及期望值.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

p-k。)0.100.050.0100.005

k。2.7063.8416.6357.879

31

18.(12分)在AABC中，角A,8,C的對邊分別為a/,c,且cosA=—,tan(8-A)=—.

53

(1)求tan3的值；

(2)若c=13,求AABC的面積.

19.(12分)已知數(shù)列｛4｝為公差為d的等差數(shù)列，d>0,4=4,且％,生，為依次成等比數(shù)列，2=2"".

(1)求數(shù)列也｝的前〃項和s“；

2h,1

(2)若％=；,求數(shù)列｛%｝的前“項和為

??+1

20.(12分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面48。平面由。，AD//BC,AB=BC=AP=-AD,ZADP=30，

2

ZBAD=9Q,E是的中點.

(1)證明：PDrPBt

(2)設AD=2,點M在線段PC上且異面直線8M與CE所成角的余弦值為平，求二面角M-AB—P的余弦值.

21.(12分)設點廠(1,0),動圓P經(jīng)過點F且和直線x=-l相切.記動圓的圓心P的軌跡為曲線W.

(1)求曲線W的方程；

(2)過點M(0,2)的直線/與曲線W交于A、8兩點，且直線/與x軸交于點C,設施=a〃，MB=(3BC,

求證：。+尸為定值.

22.(10分)已知函數(shù)戶X*=】nN-ox(aeR).

(I)求函數(shù).f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當。>0時，求函數(shù)”幻在[1,2]上最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

求解/(X)的導函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)4%,構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.

【詳解】

/(%)的定義域為(0,+8),廣⑴:處Z+—2(2"+"+]),

XX

當a<T時,r(x)<0,故/(x)在(0,+?)單調(diào)遞減；

不妨設玉<々，而4<-1,知/(X)在(0,+8)單調(diào)遞減，

從而對任意再、馬(。,+8)，恒有"'卜/㈤>8,

7

1-X2

即|/(百)-〃々)性8年-%2|,

/(X)一〃芍)28(%2—%),“占)+8占>f(x2)+8x2,

令g(x)=/(x)+8x,貝!]g，(x)="2+4ax+8,原不等式等價于g(x)在(0,+紇)單調(diào)遞減，即

^^-+2ax+4<0,

X

從而。<豐1=色，匚—2,因為色』—22—2，

2x+12x+12x~+l

所以實數(shù)a的取值范圍是(-哈-2]

故選：D.

【點睛】

此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.

2.C

【解析】

作出三棱錐的實物圖P-AC。，然后補成直四棱錐P-A3C。，且底面為矩形，可得知三棱錐P-AC。的外接球和

直四棱錐P-A3CD的外接球為同一個球，然后計算出矩形ABC。的外接圓直徑AC,利用公式2R=JpD+AC?

可計算出外接球的直徑2H,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.

【詳解】

三棱錐P-ACD的實物圖如下圖所示：

將其補成直四棱錐。一ABC。，底面ABC。，

可知四邊形A3CD為矩形，且4?=3,BC=4.

矩形ABCD的外接圓直徑4c=JAB。+5C?=5，且PB=2.

所以，三棱錐P-ACD外接球的直徑為2R=IPB?+AC?=J西,

因此，該三棱錐的外接球的表面積為4%代=%x（2R）2=29%.

故選：C.

【點睛】

本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型

進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

3.C

【解析】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，可得八〃）=1+'+”_即得解.

【詳解】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,

所以〃階幻方對角線上數(shù)的和/(〃)就等于每行(或每列)的數(shù)的和,

又〃階幻方有〃行(或〃列),

1+2+3+…+〃2

因此，/(〃)=

n

1+2+3+…+99+100

于是/(10)=---J。二?=505.

故選：C

【點睛】

本題考查了數(shù)陣問題，考查了學生邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

4.C

【解析】

分別假設甲乙丙丁說的是真話，結(jié)合其他人的說法，看是否只有一個說的是真話，即可求得年紀最大者，即可求得答

案.

【詳解】

①假設甲說的是真話，則年紀最大的是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話,

故甲說的不是真話，年紀最大的不是甲；

②假設乙說的是真話，則年紀最大的是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故

乙說謊，年紀最大的也不是乙；

③假設丙說的是真話，則年紀最大的是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，

故丙在說謊，年紀最大的也不是乙；

④假設丁說的是真話，則年紀最大的不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是年紀最大

的，同時乙也說謊，說明乙也不是年紀最大的，年紀最大的只有一人，所以只有丙才是年紀最大的，故假設成立，年

紀最大的是丙.

綜上所述，年紀最大的是丙

故選：C.

【點睛】

本題考查合情推理，解題時可從一種情形出發(fā)，推理出矛盾的結(jié)論，說明這種情形不會發(fā)生，考查了分析能力和推理

能力，屬于中檔題.

5.A

【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐，將三棱錐補充成一個長方體，此長方體的外接球就是該三棱錐的外

接球，由球的表面積公式計算可得選項.

【詳解】

由三視圖可得，該幾何體是一個如圖所示的三棱錐ABC,。為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此

三棱錐所在的長方體的外接球，所以。為PC的中點，設球半徑為R,則

；(AB2+BC2+PA2)=1(42+52+72)=y，所以外接球的表面積S=4萬R2=4萬*m=90萬,

R2

故選：A.

【點睛】

本題考查求幾何體的外接球的表面積，關鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半

徑，屬于中檔題.

6.D

【解析】

由圓。：(》一。)2+丁=4與/相切可知，圓心C(c,O)至”的距離為2,即h=2.又5?產(chǎn)2=2S“°,3="=26，由

此求出。的值，利用離心率公式，求出e.

【詳解】

由題意得分=2,5AM尸2=。"=26,

故選：D.

【點睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.

7.B

【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標和準線方程，結(jié)合定義表示出|A丹；根據(jù)拋物線與圓的位置關系和特點，求得8點橫坐

標的取值范圍，即可由AE48的周長求得其范圍.

【詳解】

拋物線.F=8x,則焦點E（2,0）,準線方程為x=—2,

根據(jù)拋物線定義可得14月=%+2,

圓（x-2）2+V=i6,圓心為（2,0）,半徑為4，

點A、B分別在拋物線y2=8x及圓V+y2-4x-12=0的實線部分上運動，解得交點橫坐標為2.

點A、8分別在兩個曲線上，AB總是平行于x軸，因而兩點不能重合，不能在x軸上,則由圓心和半徑可知/式2,6）,

則的周長為|AF|+|鉆|+忸目=%+2+》8+4=6+》8,

所以6+4?8/2）,

故選：B.

【點睛】

本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應用，圓的幾何性質(zhì)應用，屬于中檔題.

8.B

【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標系.令麗=￡,礪==為。8中點.由a+b=1即可求得p點的軌跡方程.將

c^Aa+^b變形，結(jié)合幾+2〃=1及平面向量基本定理可知P,C,E三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知|c|的最小值m即

為。到直線PE的距離最小值，且當PE與圓M相切時，加有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得

直線方程，進而求得原點到直線的距離,即為根的最大值.

【詳解】

根據(jù)題意,|6|=2,設礪=1=（樂了）,礪=石=（2,0）,反=工,￡（1,0）

則詼=6

2

由1+q=1代入可得J（x+2/+y2=1

即P點的軌跡方程為（X+2）2+y2=1

又因為2=&/+45,變形可得，=筋+2〃-，即1=4而+2從赤，且2+2〃=1

所以由平面向量基本定理可知P,C,E三點共線,如下圖所示:

所以I2|的最小值m即為0到直線PE的距離最小值

根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知，當PE與圓M相切時，機有最大值

設切線PE的方程為曠=%（》一1）,化簡可得乙一y—k=0

\-2k-k\

由切線性質(zhì)及點聞到直線距離公式可得1,化簡可得弘2=1

“2+1

^k=+—

4

所以切線方程為立x—y—走=0或巫x+y-正=0

4444

_V|

41

所以當Z變化時，。到直線PE的最大值為m=~

+(±1)2

4J

即加的最大值為，

3

故選:B

【點睛】

本題考查了平面向量的坐標應用,平面向量基本定理的應用，圓的軌跡方程問題，圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的

應用，綜合性強，屬于難題.

9.A

【解析】

設BE=kBCj，用血,恁表示出兩，求出乙〃的值即可得出答案.

【詳解】

設麗=%配=攵前—Z而

2+〃=-/.

故選：A

【點睛】

本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎題.

10.D

【解析】

A.從第一個圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.

食品占19.9%,再看第二個圖，分清2.5%是在CP/一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CP/

一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.

【詳解】

A.C/7一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的，故正確.

B.C/V一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過50%,故正確.

C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯誤.

故選：D

【點睛】

本題主要考查統(tǒng)計圖的識別與應用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.

11.C

【解析】

先根據(jù)/(X)是奇函數(shù)，排除A,B,再取特殊值驗證求解.

【詳解】

因為/'(—x)=—xcos2T=-xcos--f(x),

所以是奇函數(shù)，故排除A,B,

又/⑴=cos2<0,

故選：C

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的圖象，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.

12.A

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(X)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯誤選項，從而得出正確選項.

【詳解】

因為“一可=/(力，所以“X)是偶函數(shù)，排除c和D.

x3+21nx-l

當x>()時，f(X)=X...-,r(x)=

令尸(x)<0,得0<x<l,即/(x)在(0,1)上遞減；令/'(x)>0,得x>l,即“X)在(1,+向上遞增.所以/(x)

在x=l處取得極小值，排除B.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.y=?—X

4

【解析】

利用=1+(2)=(：)，解出：，即可求出雙曲線的漸近線方程?

【詳解】

???-=1+-=-,且a>0,b>0,

yaJ

b3

a4

3

，該雙曲線的漸近線方程為：y=?-x.

4

3

故答案為：y=7-x.

4

【點睛】

本題考查了雙曲線離心率與漸近線方程，考查了雙曲線基本量的關系，考查了運算能力，屬于基礎題.

14.-1

【解析】

根據(jù)題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得AB與直線x+y+0=O垂直，且的中點在這條直線

x+y+b=O±.,列出方程解得即可得到結(jié)論.

【詳解】

由設AB的中點為聞(9,2)，

根據(jù)題意，可得巴1+2+6=0,且&8=生1=1,

2(2+1

解得，a=},b=-2,故a+Z?=—1.

故答案為：一1.

【點睛】

本題考查相交弦的性質(zhì)，解題的關鍵在于利用相交弦的性質(zhì)，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎題.

15.1,V2J

【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，即可由直線的平移方法求得x+＞的取值范圍.

【詳解】

由題意，畫出約束條件表示的平面區(qū)域如下圖所示,

令2=》+丫，則y=r+z

如圖所示，圖中直線所示的兩個位置為y=-x+z的臨界位置，

根據(jù)幾何關系可得y=—x+z與》軸的兩個交點分別為(0,-1),(o,V2),

所以x+y的取值范圍為［-1,、歷］.

故答案為：

【點睛】

本題考查了非線性約束條件下線性規(guī)劃的簡單應用，由數(shù)形結(jié)合法求線性目標函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

16.75

【解析】

h

設直線AB的方程為％=y一。，與y=±一尤聯(lián)立得到A點坐標，由麗=3而得，力=3%，代入可得8=2。，即

a

得解.

【詳解】

b

由題意，直線的方程為工二y一。，與y=±—x

a

聯(lián)立得以=-^，＞B=3-，

由方=3可得，%=3%，

“hbe3bc

從而-----=-----,

b-ab+a

即b=2Q,

從而離心率e=￡=石.

a

故答案為：亞

【點睛】

本題考查了雙曲線的離心率，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3

17.(1)列聯(lián)表見解析，有；(2)分布列見解析，一.

4

【解析】

(1)根據(jù)題意，結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表，計算出K?的觀測值，即可進行判斷；

(2)先計算出時間在［8,10)和［10,12)選取的人數(shù)，再求出4的可取值，根據(jù)古典概型的概率計算公式求得分布列，

結(jié)合分布列即可求得數(shù)學期望.

【詳解】

(1)因為樣本數(shù)據(jù)中有流動人員210人，非流動人員90人，所以辦理社保手續(xù)

所需時間與是否流動人員列聯(lián)表如下:

辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表

流動人員非流動人員總計

辦理社保手續(xù)所需

453075

時間不超過4天

辦理社保手續(xù)所需

16560225

時間超過4天

總計21090300

2

結(jié)合列聯(lián)表可算得K=300X445X60-30X165)：=100^4加＞3,841.

75x225x210x9021

有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關.

(2)根據(jù)分層抽樣可知時間在［8,10)可選9人，時間在［10,12)可以選3名,

故“0,1,2,3,

C321C2C'27

則PC=o)=7f=京,PG=I)=,=一

27鴻一1

尸(一2)-a'O‘不一"-a‘O’

可知分布列為

40123

2127271

P

5555220220

m、,、21,27c27cl3

可知E(J)=0x--h1x---F2x----F3x------.

55552202204

【點睛】

本題考查獨立性檢驗中K?的計算，以及離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，涉及分層抽樣，屬綜合性中檔題.

18.(1)3(2)78

【解析】

r/、-]tan(B-tanA

試題分析：(1)由兩角和差公式得到tan8=tan](8-4)+A]=13K訴由三角形中的數(shù)值關系得到

tanA=-=-,進而求得數(shù)值；(2)由三角形的三個角的關系得到sinC=M0,再由正弦定理得到b=15,故面

cosA350

積公式為S=78.

解析:

2.__

(1)在AABC中，由cosA=g,得A為銳角，所以sinA=J匚

5

b”.sinA4

所以tanA=-------=—

cosA3

「/、-1tan(8-A)+tarb4

所以，2的”[(8叫+4]慚(5-“匕4

14

-+-

_33一

\14~

1——X—

33

(2)在三角形A8C中，由tanB=3,

所以sinB=亞,cosB=?

由sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=

1010

bJ得人X=TS-=i5,

由正弦定理^

sin￡?sinCsinC13V10

50

114

所以AABC的面積S=—bcsinA=—xl5xl3x—=78.

225

19.(1)S?=2,,+1-2(2)-——1—

"22"+2-2

【解析】

(1)利用等差數(shù)列的通項公式以及等比中項求出公差d=l,從而求出勿=2%=2",再利用等比數(shù)列的前〃項和公

式即可求解.

(2)由(D求出c“，再利用裂項求和法即可求解.

【詳解】

(1)4=4,且%,a3,%依次成等比數(shù)列，.?.“；=a/%，

即：(4一=(4—3d)(4+5d),vJ>0,:.d=l,

n

，bn=T=2",

[I)

--------z-z?

1—2

>c=2a一心i

。liiiiiiiii

.?.3=------------1--------------FLH--------------=-------------=-----------；-----

S|S2S2S3S?5?+lS,S?+122"+2_2

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前〃項和公式、裂項求和法，需熟記公式，屬于基礎題.

20.(1)見解析；(2)2互

7

【解析】

(1)由平面ABCD_L平面PAD的性質(zhì)定理得平面RLD，.?.43_1_77).在蛇4。中，由勾股定理得

PDLAP,；.PD上平面PAB,即可得必；

(2)以P為坐標原點建立空間直角坐標系，由空間向量法和異面直線8M與CE所成角的余弦值為丫生，得點M的

5

坐標，從而求出二面角4-A6-P的余弦值.

【詳解】

(1)???平面ABCD_L平面尸AO，平面ABC￡>n平面PAZ>=AO，ZBAD=90?所以A8_LAD.由面面垂直的

性質(zhì)定理得48,平面.?.A3J.P。，在A/W)中，?.?AP=2A。，NAOP=30，，由正弦定理可得：

2

sin/A￡)P」sin/A尸。，

2

ZAPD=90°.即PDLAP,.平面：.PDLPB.

(2)以P為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則c3,5,1,

'227

11.1)

E—,0,0,設Ma,—a,a(0<fl<l),則麗=

22)

、2,7

BMCE

:.cosBM,CE-

\BM\\CE\

得"I,I，而通=(0,0,1)n-BM=0

,設平面ABN的法向量為〃=(x,y,z),由＜—可得:

n-AB=0

Gx-2y-z=0

,令x=2,則為=(2,6,0),取平面E4B的法向量沅=(1,0,0),則

z=0

cosm,n=r^rA=~j==＞故二面角M-AB-P的余弦值為名巨

|m||?|V777

【點睛】

本題考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運用，

屬于中檔題.

21.(1)V=4%；(2)見解析.

【解析】

(1)已知P點軌跡是以F為焦點，直線x=-1為準線的拋物線，由此可得曲線W的方程；

2

(2)設直線方程為＞=依+2,則設A(%，X),8(X2，%),由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應

k

用韋達定理得玉+X)9X1%2,由涼/，MB=/3BC,用橫坐標表示出。,尸，然后計算并代入玉+馬，

可得結(jié)論.

【詳解】

(D設動圓圓心p(x,y),由拋物線定義知：P點軌跡是以F為焦點，直線x=-1為準線的拋物線，設其方程為

2

y=2Px(p＞0),則5=1,解得"=2.

...曲線W的方程為y2=4x；

2

(2)證明：設直線方程為丁二"+2,k豐0,則。(一：,0),設A(x，y),8(X2，%),

K

--_

丫—KJC+2

由＜