陜西省西安市重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期四模理科數(shù)學(xué)試卷（含答案）

-2024-1月考4理科數(shù)學(xué)試題（滿分：150分，考試時間：120分鐘）必考題部分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.2.若，其中i是虛數(shù)單位，a，且，設(shè)，則為（）A.2 B. C.6 D.3.若，是不共線的兩個非零向量，則“與所成角為銳角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C.D.5.下列關(guān)于空間幾何體的敘述，正確的是（）A.圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B.有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C.一個棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺6.已知等比數(shù)列的前n項和為，且數(shù)列是等差數(shù)列，則（）A.1或 B.2或 c.2或 D.或7.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B.3 C. D.58.2023年10月26日19時34分，神舟十七號航天員湯洪波、唐勝杰、江新林和神舟十六號航天員景海鵬、朱楊柱和桂海潮順利“會師太空”，為記錄這一歷史時刻，他們準備在天和核心艙合影留念.假設(shè)6人站成一排，要求神舟十六號3名航天員互不相鄰且景海鵬不站在兩端，不同站法共有（）A.36種 B.48種 C.72種 D.144種9.最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年），該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”，其中“天池測雨”法是下雨時用一個圓臺形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，當盆中積水深九寸（注：1尺=10寸）時，平地的降雨量（降雨量是指在一定時間內(nèi)降落在地面上的某一點或某一單位面積上的水層深度）是（）A.9寸 B.6寸 C.4寸 D.3寸10.如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），它每過相同的間隔振幅就變化一次，且過點，其對應(yīng)的方程為（，其中為不超過x的最大整數(shù)，）.若該葫蘆曲線上一點N的橫坐標為、則點N的縱坐標為（）A. B. C. D.11.過x軸正半軸上一點，作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.312.關(guān)于x的不等式的解集為R，則的最大值是（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題P的否定是：“對所有正數(shù)x，”，則命題P是_______.14.拋物線繞其頂點順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到拋物線，則的準線方程為_______.15.已知函數(shù)，，的大致圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象上點的橫坐標拉伸為原來的3倍后，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為_______.16.正項數(shù)列中，為數(shù)列的前n項和，且對任意滿足.若k，，且，則的最大值為_______.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.本小題滿分12分某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查.經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖.記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格.經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計合格25優(yōu)秀10合計100（1）請完成列聯(lián)表.并判斷是否有99%的把握認為成績優(yōu)秀與體育鍛煉有關(guān)：（2）現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調(diào)查，記抽到5人中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列.附：，其中.18.本小題滿分12分在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，求點的取值范圍.19.本小題滿分12分在平面直角坐標系中，已知橢圓的左，右焦點分別為，，過點且不與x軸重合的直線l與橢圓C交于A，B兩點（點A在點T，B之間）.（1）記直線，的斜率分別為，，求的值；（2）設(shè)直線與交于點M，求的值.20.本小題滿分12分如圖，在四棱錐中，，，側(cè)面底面，底面為矩形，E為AB上的動點（與A，B兩點不重合）.（1）判斷平面與平面是否互相垂直？如果垂直，請證明：如果不垂直，請說明理由；（2）若，試求二面角余弦值的絕對值的取值范圍.21.本小題滿分12分已知函數(shù)，.（1）證明：；（2）若存在直線，其與兩條曲線和共有四個不同的交點，設(shè)從左到右的四個交點的橫坐標分別為，，，，證明：.選考題部分請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計分.22.本小題滿分10分如圖，在極坐標系中，點，曲線M是以為直徑，為圓心的半圓，點B在曲線M上，四邊形是正方形.（1）當時，求B，C兩點的極坐標；（2）當點B在曲線M上運動時，求D點軌跡的極坐標方程.23.本小題滿分10分已知關(guān)于x不等式的解集為.（1）求a，b值；（2）當，，且滿足時，求的最小值.2023-2024-1月考4理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的題號123456789101112答案DDCCBCACDDBA二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.存在正數(shù)x，；14.；15.或，…；16.18解析：1.因為，，所以A顯然錯誤：，B錯誤：，，所以錯誤；.D錯誤.故選：D.2.，則，故，解得，，所以.故選：D.3.，不共線，由題意，與所成角為銳角等價于，則，即，反之成立，則“與所成角為銳角”是“”的充分必要條件.故選：C.4.函數(shù)的定義域為，排除選項A，，則函數(shù)為偶函效、排除選項D，又時，，，則，排除選項B.故選：C.5.以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱.而以矩形的一條對角線為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；若梭柱有兩個相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時棱柱一定是直棱柱，故B正確；如圖所示，若，，滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時底面不是正三角形，故C錯誤；用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺.若截面與底面不平行，則不是梭臺，故D錯誤；6.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，，成等差數(shù)列，可得，即，化簡得，解得或.當時，；當時，.故選：C.7.作出可行域，如圖所示：因為，又因為表示可行域內(nèi)的點與點連線斜率的倒數(shù)，設(shè)，由圖可得，即，所以，所以，即的最小值為.故選：A.8.先排神舟十七號航天員，共有種排法，這三人形成4個空，要求神舟十四號3名航天員互不相鄰且景海鵬不站在兩端，共有種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有種排法.故選：C.9.如圖所示，由題意知天池盆上底面半徑是14寸，下底面半徑是6寸，高為18寸，由積水深9寸知水面半徑為寸，則盆中水體積為（立方寸），所以平地降雨量為（寸），故選：D.10.因為過點，代入可得，所以，則，解得，.所以，，由圖象可知y上下對稱，所以，又因為，所以，所以，因為點M到y(tǒng)軸的距離為，即，當時，，所以，即點N的縱坐標為.故選：D.11.如圖，過M作圓C的兩條切線，，切點為A，B，連結(jié)，，則、為兩個全等的直角三角形，，又，.當取最小值時，，由圓半徑為1，知，.在直角三角形中，由射影定理得，，在直角三角形中，，.的最小值為.故選：B.12.根據(jù)題意可知，關(guān)于x的不等式的解集為R，即對任意恒成立；令函數(shù)，，即函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的上方，所以；設(shè)直線與曲線相切，切點為；由得，所以，即；此時切線方程為，即，所以；根據(jù)題意直線須在的上方或重合，所以；所以，令，則，可得數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，得，.又k，，且，即，整理得，又由基本不等式可得，，，即，得，當且僅當時取“=”，，，時，取得最大值，可得的最大值為18.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（滿分12分）（1）解：某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，其中有體育鍛煉習(xí)慣的有45人.經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖.記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格.根據(jù)題意，得到列聯(lián)表為：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計合格254570優(yōu)秀201030合計4555100由上表數(shù)據(jù)，可得.所以有99%的把握認為成績優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關(guān).（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖，可得大于600分的頻率為.小于600分的頻率為，所以由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機抽取5人，優(yōu)秀人數(shù)X服從超幾何分布，由題意X的可能值為0，1，2，3.，，，，所以隨機變量X分布列為：X0123P18.（滿分12分）解：（1）由.所以，可得，即.余弦定理得，又，所以.（2）由.因為，所以，又，所以，所以，得，所以，所以.19.（滿分12分）解：（1）設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立，整理得，則，，.所以.（2）由（1）可知，，故直線與關(guān)于直線對稱.設(shè)直線與橢圓C的另一個交點為，則A與關(guān)于x軸對稱，設(shè)，則.所以直線的方程為，直線的方程為.故點滿足方程組解得因為點在橢圓C上，所以，即，整理得，所以點M在雙曲線上運動，且，恰好為該雙曲線的焦點，依題意，點A在T，B之間，所以，得，點M在雙曲線的右支上運動，所以.20.（滿分12分）解：（1）平面平面.證明如下：∵平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，.又，，平面，又平面，∴平面平面；（2）分別取，中點O，F(xiàn)，連接，，又，O為中點，，∵平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，平面，則以O(shè)為坐標原點，，，正方向為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，，，，，，，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量，則，取.設(shè)平面的法向量，則，取，，，，，，，，即，∴所求取位范圍為.21.（滿分12分）解：（1）令，，則.令.則當時，，所以在單調(diào)遞增.因為，，所以存在唯一零點，且當時，，當時，.所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，由得，得.兩邊取對數(shù)得，所以.所以，所以，即.（2）由可得，令，解得，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，當x趨向于負無窮時，且趨向于0，.當x趨向于正無窮時，趨向于正無窮，所以如圖所示.由，可得，令，解得，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，當x趨向于0時，且趨向于0，，當x趨向于正無窮時，趨向于正無窮.所以如圖所示.所以若存在直線，