高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題3 概率與統(tǒng)計(jì) 突破點(diǎn)6 古典概型與幾何概型教師用書 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題三概率與統(tǒng)計(jì)建知識網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系[高考點(diǎn)撥]本專題涉及面廣，往往以生活中的熱點(diǎn)問題為依托，在高考中的考查方式十分靈活，考查內(nèi)容強(qiáng)化“用數(shù)據(jù)說話，用事實(shí)說話”，背景容易創(chuàng)新．基于上述分析，本專題按照“用樣本估計(jì)總體”“古典概型與幾何概型”“隨機(jī)變量及其分布列”“獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析”四個方面分類進(jìn)行引導(dǎo)，強(qiáng)化突破．突破點(diǎn)6古典概型與幾何概型(對應(yīng)學(xué)生用書第167頁)提煉1古典概型問題的求解技巧(1)直接列舉：涉及一些常見的古典概型問題時，往往把事件發(fā)生的所有結(jié)果逐一列舉出來，然后進(jìn)行求解．(2)畫樹狀圖：涉及一些特殊古典概型問題時，直接列舉容易出錯，通過畫樹狀圖，列舉過程更具有直觀性、條理性，使列舉結(jié)果不重、不漏．(3)逆向思維：對于較復(fù)雜的古典概型問題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對立事件的概率，進(jìn)而可得所求事件的概率．(4)活用對稱：對于一些具有一定對稱性的古典概型問題，通過列舉基本事件個數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式來處理反而比較復(fù)雜，利用對稱思維，可以快速解決.提煉2幾何度量法求解幾何概型準(zhǔn)確確定度量方式和度量公式是求解幾何概型的關(guān)鍵，常見的幾何度量涉及的測度主要包括長度、面積、體積、角度等.提煉3求概率的兩種常用方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．(2)若一個較復(fù)雜的事件的對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率．回訪1古典概型1．(2016·全國乙卷)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)C[從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中，余下2種顏色的花種在另一個花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故選C.]2．(2014·全國卷Ⅰ)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D.eq\f(7,8)D[4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動的情況有24＝16(種)，其中僅在周六(周日)參加的各有1種，∴所求概率為1－eq\f(1＋1,16)＝eq\f(7,8).]3．(2013·全國卷Ⅱ)從n個正整數(shù)1,2，…，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為eq\f(1,14)，則n＝________.8[由題意知n＞4，取出的兩數(shù)之和等于5的有兩種情況：1,4和2,3，所以P＝eq\f(2,C\o\al(2,n))＝eq\f(1,14)，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.]4．(2014·全國卷Ⅰ)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為________．eq\f(2,3)[兩本不同的數(shù)學(xué)書用a1，a2表示，語文書用b表示，則Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是兩本數(shù)學(xué)書相鄰的情況有4種，故所求概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]回訪2幾何概型5．(2016·全國乙卷)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)B[如圖，7：50至8：30之間的時間長度為40分鐘，而小明等車時間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).故選B.]6．(2016·全國甲卷)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.eq\f(4n,m) B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n) D.eq\f(2m,n)C[因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對應(yīng)的數(shù)對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個．用隨機(jī)模擬的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).]7．(2016·山東高考)在[－1,1]上隨機(jī)地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________．eq\f(3,4)[由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，即16k2<9，解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4).由幾何概型的概率計(jì)算公式可知P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),2)＝eq\f(3,4).]

(對應(yīng)學(xué)生用書第167頁)熱點(diǎn)題型1古典概型題型分析：古典概型是高考考查概率的核心，問題背景大多是取球、選人、組數(shù)等，求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉基本事件，難度較小.(1)一個袋子中有5個大小相同的球，其中3個白球與2個黑球，先從袋中任意取出一個球，取出后不放回，然后從袋中任意取出一個球，則第一次為白球、第二次為黑球的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2) D.eq\f(6,25)(2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是()【導(dǎo)學(xué)號：67722027】A.eq\f(9,16) B.eq\f(7,16)C.eq\f(4,16) D.eq\f(3,16)(1)B(2)A[(1)設(shè)3個白球分別為a1，a2，a3,2個黑球分別為b1，b2，則先后從中取出2個球的所有可能結(jié)果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20種．其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6種，故所求概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).故選B.(2)記事件A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)”．因?yàn)閒(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以f′(x)≥0在R上恒成立．又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥eq\f(b2,3).所以當(dāng)b＝1時，有a≥eq\f(1,3)，故a可取1,2,3,4，共4個數(shù)；當(dāng)b＝2時，有a≥eq\f(4,3)，故a可取2,3,4，共3個數(shù)；當(dāng)b＝3時，有a≥3，故a可取3,4，共2個數(shù)；當(dāng)b＝4時，有a≥eq\f(16,3)，故a無可取值．綜上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(種)．又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有4×4＝16(種)．故所求事件A的概率為P(A)＝eq\f(9,16).故選A.]利用古典概型求事件概率的關(guān)鍵及注意點(diǎn)1．關(guān)鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù)．2．注意點(diǎn)：(1)對于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時要正確分類，分類時應(yīng)不重不漏．(2)當(dāng)直接求解有困難時，可考慮求其對立事件的概率．[變式訓(xùn)練1](2016·廣州二模)從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個，組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于30的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)C[從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個，組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，共有20種不同結(jié)果．其中這個兩位數(shù)大于30的共有12種不同結(jié)果，故所求事件的概率P＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).]熱點(diǎn)題型2幾何概型題型分析：高考試題中幾何概型主要考查線段型和面積型.求解幾何概型的關(guān)鍵是計(jì)算線段的長度、平面圖形的面積等，難度較小.(1)(2016·東營模擬)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個數(shù)x，則事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為__________．(用數(shù)字作答)(1)A(2)eq\f(9,32)[(1)由－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1，得eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，所以事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4)，故選A.

(2)設(shè)小張和小王到校的時間分別為x和y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30≤x≤50，,30≤y≤50，,y－x≥5，))則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示．故所求概率P＝eq\f(\f(1,2)×15×15,20×20)＝eq\f(9,32).]判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法1．當(dāng)題干涉及兩個變量問題時，一般與面積有關(guān)．2．當(dāng)題干涉及一個變量問題時，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動，則幾何度量是面積(體積)．提醒：數(shù)形結(jié)合是解決幾何概型問題的常用方法，求解時，畫圖務(wù)必準(zhǔn)確、直觀．[變式訓(xùn)練2](1)(2016·全國甲卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)(2)如圖6-1，圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB＝eq\f(π,3)，若向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個點(diǎn)，則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個數(shù)估計(jì)值為()圖6-1A．100 B．200C．400 D．450(1)B(2)C[(1)如圖，若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，故選B.(2)如圖，設(shè)OA與圓C相切于點(diǎn)D，連接OC，CD，∠AOB＝eq\f(π,3)，則∠COD＝eq\f(π,6)，設(shè)圓C的半徑為1，可得OC＝2，所以扇形的半徑為3，由幾何概型可得點(diǎn)在圓C內(nèi)的概率為P＝eq\f(S圓C,S扇形AOB)＝eq\f(π×12,\f(1,6)×π×32)＝eq\f(2,3)，故向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個點(diǎn)，則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個數(shù)估計(jì)為eq\f(2,3)×600＝400(個)．]熱點(diǎn)題型3互斥事件與對立事件的概率題型分析：互斥事件與對立事件的概率常與古典概型等交匯命題，主要考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力，難度中等.(2016·南昌一模)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個學(xué)生課余參加學(xué)校社團(tuán)文學(xué)社與街舞社的活動，每人參加且只能參加一個社團(tuán)的活動，且參加每個社團(tuán)是等可能的．(1)求文學(xué)社和街舞社都至少有1人參加的概率；(2)求甲、乙同在一個社團(tuán)，且丙、丁不同在一個社團(tuán)的概率．[解]甲、乙、丙、丁4個學(xué)生課余參加學(xué)校社團(tuán)文學(xué)社與街舞社的情況如下：文學(xué)社街舞社1甲乙丙丁2甲乙丙丁3甲乙丁丙4甲丙丁乙5乙丙丁甲6甲乙丙丁7甲丙乙丁8乙丙甲丁9甲丁乙丙10乙丁甲丙11丙丁甲乙12甲乙丙丁13乙甲丙丁14丙甲乙丁15丁甲乙丙16甲乙丙丁共有16種情形，即有16個基本事件.6分(1)文學(xué)社或街舞社沒有人參加的基本事件有2個，故所求概率為eq\f(14,16)＝eq\f(7,8).9分(2)甲、乙同在一個社團(tuán)，且丙、丁不同在一個社團(tuán)的基本事件有4個，故所求概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).12分1．直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算．2．間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法會較簡便．提醒：應(yīng)用互斥事件概率的加法公式的前提是確定各個事件是否彼此互斥．[變式訓(xùn)練3](名師押題)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；(2)求該地1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的概率．[解]記事件A為“該車主購買甲種保險(xiǎn)”，事件B為“該車主購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)”，事件C為“該車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種”，事件D為“該車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買”.4分(1)由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，6分又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.8分(2)因?yàn)镈與C是對立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.12分專題限時集訓(xùn)(六)古典概型與幾何概型[建議A、B組各用時：45分鐘][A組高考達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．(2016·全國丙卷)小敏打開計(jì)算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)C[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).]2．(2016·福州模擬)在某次全國青運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1,2,3,4,5的5名火炬手．若從中任選2人，則選出的火炬手的編號相連的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,10) D.eq\f(2,5)D[由題意得從5人中選出2人，有10種不同的選法，其中滿足2人編號相連的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4種不同的選法，所以所求概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故選D.]3．(2016·臨沂模擬)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個數(shù)x，則sinx＋cosx∈[1，eq\r(2)]的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)D[sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，由1≤eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\r(2)，得eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤1，結(jié)合x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))得0≤x≤eq\f(π,2)，所以所求概率為eq\f(\f(π,2),\f(π,2)＋\f(π,6))＝eq\f(3,4).]4．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名義工到三個不同的社區(qū)參加公益活動．若每個社區(qū)至少分一名義工，則甲、乙兩人被分到不同社區(qū)的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C.eq\f(10,27) D.eq\f(17,27)B[依題意得，甲、乙、丙、丁到三個不同的社區(qū)參加公益活動，每個社區(qū)至少分一名義工的方法數(shù)是Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)，其中甲、乙兩人被分到同一社區(qū)的方法數(shù)是Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)，因此甲、乙兩人被分到不同社區(qū)的概率等于1－eq\f(C\o\al(2,2)·A\o\al(3,3),C\o\al(2,4)·A\o\al(3,3))＝eq\f(5,6).]5．節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(7,8)C[如圖所示，設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時刻為x，y，x，y相互獨(dú)立，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,|x－y|≤2，))所以兩串彩燈第一次亮的時間相差不超過2秒的概率為P(|x－y|≤2)＝eq\f(S正方形－2S△ABC,S正方形)＝eq\f(4×4－2×\f(1,2)×2×2,4×4)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).]二、填空題6．拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(A＋B)＝__________.eq\f(2,3)[將事件A＋B分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1,2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3,5”，則C，D互斥，且P(C)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(2,3).]7．(2016·河南市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4，6，8))，b∈{3,5,7}，則該函數(shù)有兩個零點(diǎn)的概率為__________.【導(dǎo)學(xué)號：67722028】eq\f(2,3)[要使函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2有兩個零點(diǎn)，即方程x2－2ax＋b2＝0要有兩個實(shí)根，則Δ＝4a2－4b2>0.又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9種，其中滿足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6種，所以所求的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).]8．如圖6-2，向邊長為2的正方形中隨機(jī)投入一粒黃豆，若圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝eq\f(9,4)，則黃豆落入陰影部分的概率為________．圖6-21－eq\f(9π,64)[由題意可知黃豆落入陰影部分的概率為eq\f(22－\f(1,4)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2,22)＝1－eq\f(9π,64).]三、解答題9.甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下：甲商場：顧客轉(zhuǎn)動如圖6-3所示圓盤，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為15°，邊界忽略不計(jì))即為中獎．圖6-3乙商場：從裝有3個白球，3個紅球的盒子中一次性摸出2個球(球除顏色外，不加區(qū)分)，如果摸到的是2個紅球，即為中獎．問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？[解]如果顧客去甲商場，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤，面積為πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為eq\f(4×15πR2,360)＝eq\f(πR2,6).所以，在甲商場中獎的概率為P1＝eq\f(\f(πR2,6),πR2)＝eq\f(1,6).4分如果顧客去乙商場，記盒子中3個白球?yàn)閍1，a2，a3,3個紅球?yàn)閎1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15種，8分摸到的2個球都是紅球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3個，所以在乙商場中獎的概率為P2＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).10分由于P1<P2，所以顧客在乙商場中獎的可能性大.12分10．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，y)．(1)若x，y∈R，且1≤x≤6,1≤y≤6，求滿足a·b>0的概率；(2)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足a·b＝－1的概率．[解](1)用B表示事件“a·b>0”，即x－2y>0.1分試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，2分構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y>0}，3分如圖所示．所以所求的概率為P(B)＝eq\f(\f(1,2)×4×2,5×5)＝eq\f(4,25).6分(2)設(shè)(x，y)表示一個基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36個.9分用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1.則A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個.11分∴P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).12分[B組名校沖刺]一、選擇題1．從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則取出的3個數(shù)可作為三角形的三邊邊長的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)A[基本事件的總數(shù)為10，其中能構(gòu)成三角形三邊長的數(shù)組為(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故其概率為eq\f(3,10).]2．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＋2eq\o(PA,\s\up8(→))＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是()【導(dǎo)學(xué)號：67722029】A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)C[如圖所示，取邊BC上的中點(diǎn)D，由eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＋2eq\o(PA,\s\up8(→))＝0，得eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(AP,\s\up8(→)).又eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PD,\s\up8(→))，故eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(PD,\s\up8(→))，即P為AD的中點(diǎn)，則S△ABC＝2S△PBC，根據(jù)幾何概率的概率公式知，所求概率P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2)，故選C.]3．(2016·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)ax3－eq\f(1,2)bx2＋x，連續(xù)拋擲兩顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是a，b，則函數(shù)f′(x)在x＝1處取得最值的概率是()A.eq\f(1,36) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)C[由題意得f′(x)＝ax2－bx＋1，因?yàn)閒′(x)在x＝1處取得最值，所以eq\f(b,2a)＝1，符合的點(diǎn)數(shù)(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3種情況．又因?yàn)閽仈S兩顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)(a，b)共有36種情況，所以所求概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，故選C.]4．在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥eq\f(1,2)”的概率，p2為事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”的概率，p3為事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，則()A．p1<p2<p3 B．p2<p3<p1C．p3<p1<p2 D．p3<p2<p1B[滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA及其邊界上．事件“x＋y≥eq\f(1,2)”對應(yīng)的圖形為圖①所示的陰影部分；事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”對應(yīng)的圖形為圖②所示的陰影部分；事件“xy≤eq\f(1,2)”對應(yīng)的圖形為圖③所示的陰影部分．對三者的面積進(jìn)行比較，可得p2<p3<p1.]二、填空題5．曲線C的方程為eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點(diǎn)數(shù)，事件A為“方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”，那么P(A)＝__________.eq\f(5,12)[試驗(yàn)中所含基本事件個數(shù)為36.若表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m>n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15種情況，因此P(A)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).]6．如圖6-4，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為__________．圖6-4eq\f(2,e2)[∵y＝ex與y＝lnx互為反函數(shù)，故直線y＝x兩側(cè)的陰影部分面積相等，只需計(jì)算其中一部分即可．如圖，S1＝∫eq\o\al(1,0)exdx＝exeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(1,0)＝e1－e0＝e－1.∴S總陰影＝2S陰影＝2(e×1－S1)＝2[e－(e－1)]＝2，故所求概率為P＝eq\f(2,e2).]三、解答題7．現(xiàn)有8名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，其中A1，A2，A3數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，B1，B2，B3物理成績優(yōu)秀，C1，C2化學(xué)成績優(yōu)秀，從中選出數(shù)學(xué)、物量、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學(xué)校參加競賽．(1)求C1被選中的概率；(2)求A1和B1不全被選中的概率．[解](1)從8人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為Ω＝{(A1，B1，C1