線性回歸方程及其應(yīng)用

線性回歸方程及其應(yīng)用回歸分析問題有線性回歸問題和非線性回歸問題,著意于回歸分析的考查是課標全國卷中體現(xiàn)統(tǒng)計思想的重要方式;回歸分析試題已成為近幾年高考的一大亮點,歸納回歸分析試題的解題程序就十分必要和緊迫.[母題結(jié)構(gòu)]:(Ⅰ)(解題程序):由變量x與y之間的n個樣本點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),求x與y之間的回歸方程,并解決相關(guān)問題:①利用散點圖,直觀判斷回歸方程y=a+bf(x)的基本類型;②如果f(x)=x,即變量x與y是線性相關(guān),或直接求線性回歸方程;或?qū)υ紨?shù)椐處理后,求線性回歸方程;如果f(x)≠x,即變量x與y是非線性相關(guān),首先使用換元t=f(x),把原始數(shù)椐(xi,yi)變?yōu)?ti,yi),并由此求變量t與y的線性回歸方程,進而得到x與y之間的回歸方程;③由x與y之間的回歸方程,解決相關(guān)問題;(Ⅱ)(基本性質(zhì))①回歸直線y=x+必過樣本中心點(,);②n個樣本點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中,數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn減去同一個數(shù)X,數(shù)據(jù)y1,y2,y3,…,yn減去同一個數(shù)Y,回歸方程中的不變;③n個樣本點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中,數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn減去同一個數(shù)X,數(shù)據(jù)y1,y2,y3,…,yn減去同一個數(shù)Y,相關(guān)系數(shù)不變.[母題解析]:略.1.線性回歸子題類型Ⅰ:(2007年廣東高考試題)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù).(Ⅰ)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;(Ⅱ)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=x+;(Ⅲ)己知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤.試根據(jù)(Ⅱ)求出的線性回歸方程,預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5).[解析]:(Ⅰ)由題中所給數(shù)據(jù),可得點(3,2.5),(4,3),(5,4),(6,4.5),在平面直角坐標系中,描出上述各點,即得散點圖:(Ⅱ)由=(3+4+8+6)=4.5,=(2.5+3+4+4.5)=3.5,32+42+52+62=86,3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5===0.7=-=3.5-0.7×4.5=0.35線性回歸方程是y=0.7x+0.35;(Ⅲ)由(Ⅱ)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗,得降低的生產(chǎn)能耗為90-(0.7×100+0.35)=19.65(噸).[點評]:線性回歸中,求線性回歸方程x的系數(shù)是的重點,也是難點,教材中給出兩個公式=(稱為公式Ⅰ)和=(稱為公式Ⅱ),實踐證明:若對相關(guān)數(shù)據(jù)不處理,則使用公式Ⅰ比公式Ⅱ的運算量小;若對相關(guān)數(shù)據(jù)進行處理,則使用公式Ⅱ;使用如下性質(zhì):回歸直線y=x+必過樣本中心點(,),求,[同類試題]:1.(2012年福建高考試題)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數(shù)據(jù):(Ⅰ)求回歸直線方程=bx+a,其中b=-20,a=-b;(Ⅱ)預計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(Ⅰ)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤=銷售收入-成本).2.數(shù)據(jù)處理子題類型Ⅱ:(2011年安徽高考試題)某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù):(Ⅰ)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程=bx+a;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直線方程預測該地2012年的糧食需求量.溫馨提示:答題前請仔細閱讀卷首所給的計算公式及其說明.[解析]:(法一)(Ⅰ)由=2006,=260.2b==6.5a=-b=-12778.8=6.5x-12778.8;(Ⅱ)在=6.5x-12778.8中,令x=2012得=299.2預測該地2012年的糧食需求量是299.2萬噸;(法二)(Ⅰ)因年份x的平均值是2006,y需求量的平均值是260.2,對表中數(shù)據(jù)處理如下:由此得=0,=0.2b==6.5a=-b=0.2=6.5+0.2-260=6.5(x-2006)+0.2;(Ⅱ)在=6.5+0.2中,令x=2012-2006=6得=39.2=+260=299.2預測該地2012年的糧食需求量是299.2萬噸.[點評]:問題(Ⅰ)的解法一是直接使用公式,解法二是對相關(guān)數(shù)據(jù)處理后,再使用公式,簡化了計算,減少了計算量,降低了錯誤的概率,解法二顯然優(yōu)于解法一,解法二用到了基本性質(zhì)②,從而避開了大數(shù)據(jù)的計算,體現(xiàn)了數(shù)據(jù)處理的能力.[同類試題]:2.(2014年課標Ⅱ高考試題)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:(Ⅰ)求y關(guān)于t的線性回歸方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.3.函數(shù)模擬子題類型Ⅲ:(2015年課標Ⅰ高考試題)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.表中wi=,=.(Ⅰ)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d,哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x,根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果回答下列問題:(i)當年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值時多少？(ii)當年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大？附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為:=,α=-.[解析]:(Ⅰ)由散點圖可判斷:y=c+d適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費用x的回歸方程類型;(Ⅱ)令w=,由==68=-=563-68×6.8=100.6y關(guān)于w的回歸方程為=100.6+68wy關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68;(Ⅲ)(i)當x=49時,年銷售量y的預報值=100.6+68=576.6年利潤z的預報值=0.2×476.6-49=66.32;(ii)由年利潤z的預報值=0.2-x=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6-20.12當=6.8,即x=46.24時,取得最大值.[點評]:對于非線性回歸問題,先根據(jù)試驗數(shù)據(jù)作散點圖,由散點圖選擇與這些散點擬合得最好的函數(shù)t=f(x),并把原始數(shù)據(jù)(xi,yi),由t=f(x)轉(zhuǎn)化為(ti,yi),此時,y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系,即把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題,使其得到解決;采用適當?shù)淖兞看鷵Qt=f(x),是把非線性回歸問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性回歸問題的有力方法,而變量代換t=f(x),可根據(jù)散點圖,利用擬合思想,先確定函數(shù)模型,y=a+bf(x),再確定變量代換t=f(x).[同類試題]:3.(2016年高考全國丙卷試題)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(Ⅱ)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.參考數(shù)據(jù):=9.32,=40.17,=0.55,≈3.646.參考公式:相關(guān)系數(shù)r=,回歸方程=+t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=,=-.4.子題系列:4.(2013年重慶高考試題)從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得=80,=20,=184,=720.(Ⅰ)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a;(Ⅱ)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān);(Ⅲ)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預測該家庭的月儲蓄.附:線性回歸方程y＝bx+a中,b=,a=-b,其中,為樣本平均值.5.(2015年重慶高考試題)隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展,居民的儲蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表:(Ⅰ)求y關(guān)于t的回歸方程;(Ⅱ)用所求回歸方程預測該地區(qū)2015年(t=6)的人民幣儲蓄存款.附:回歸方程=t+中,==,=-.6.(2017年全國Ⅰ高考試題)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm),下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸:經(jīng)計算得==9.97,s==≈0.212,≈18.439,=-2.78,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.(Ⅰ)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ魘r|<0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小);(Ⅱ)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.(i)從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？(ii)在(-3s,+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差(精確到0.01).附:樣本(xi,yi)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)r=,≈0.09.5.子題詳解:1.解:(Ⅰ)由=(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,=(90+84+83+80+75+68)=80a=-b=250=-20x+250;(Ⅱ)工廠獲得利潤z=(x-4)y=-20x2+330x-1000當x=時,zmax=361.25(元)該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為8.25元時,工廠獲得的利潤最大.2.解:(Ⅰ)由=(1+2+3+4+5+6+7)=4,=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+8.9)=4.3==0.5=-=2.3線性回歸方程為:=0.5t+2.3;(Ⅱ)由(Ⅰ)中的回歸方程的斜率k=0.5>0可知,2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐漸增加;令t=9得:=6.8,故預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.3.解:(Ⅰ)由=4,=28,=2.89r≈0.99y與t的相關(guān)性較大,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系;(Ⅱ)由≈1.331,≈0.103,=-≈0.92y關(guān)于t的回歸方程:=0.92+0.10t;當t=9時,=1.82,所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.4.解:(Ⅰ)由=80,=20=8,=2b=0.3a=-b=-0.4y=0.3x-0.4;(Ⅱ)由b=0.3>0x與y之間是正相關(guān);(Ⅲ)將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄y=0.3×7－0.4=1.7(千元).5.解:(Ⅰ)由=(1+2+3+4+5)=3,=(5+6+7+8+10)=7.2=1.2=7.2-1.2×3=3.6線性回歸方程為:=1.2t+3.6;(Ⅱ)將t=6,代入=1.2t+3.6得=10.8.故預測該地區(qū)2015年(t=6)的