新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題7.6數(shù)學(xué)歸納法（講）原卷版

專題7.6數(shù)學(xué)歸納法新課程考試要求1.了解數(shù)學(xué)歸納原理，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的數(shù)學(xué)命題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等.考向預(yù)測1.數(shù)學(xué)歸納法原理；2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用.3．利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列相關(guān)問題.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)一．?dāng)?shù)學(xué)歸納法1.證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立．(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．2.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【典例1】（2021·浙江高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)，數(shù)列SKIPIF1<0滿足：數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0【典例2】（2020屆浙江湖州、衢州、麗水三地市高三上期中）已知數(shù)列滿足.(1)求，并猜想的通項(xiàng)公式(不需證明)；(2)求證:.【例3】（2021·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的取值范圍（2）若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)（3）在（2）的條件下，證明：SKIPIF1<0【總結(jié)提升】數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵(1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．(2)關(guān)鍵：由n＝k時(shí)命題成立證n＝k＋1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用均值不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化【變式探究】1.（2021·浙江高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，（I）SKIPIF1<0；（II）SKIPIF1<0；（III）SKIPIF1<0.2.（2020屆浙江省浙南名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知等比數(shù)列的公比，且，是的等差中項(xiàng)，數(shù)列的通項(xiàng)公式，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：，.3.（2020屆浙江省溫州市11月適應(yīng)測試）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列．（1）求通項(xiàng)公式；（2）求證：（）；考點(diǎn)二歸納、猜想、證明【典例4】（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）計(jì)算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【典例5】（2021·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）猜想SKIPIF1<0的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．【總結(jié)提升】(1)“歸納——猜想——證明”的一般步驟①計(jì)算(根據(jù)條件，計(jì)算若干項(xiàng))．②歸納猜想(通過觀察、分析、綜合、聯(lián)想，猜想出一般結(jié)論)．③證明(用數(shù)學(xué)歸納法證明)．(2)與“歸納——猜想——證明”相關(guān)的常用題型的處理策略①與函數(shù)有關(guān)的證明：由已知條件驗(yàn)證前幾個(gè)特殊值正確得出猜想，充分利用已知條件并用數(shù)學(xué)歸納法證明．②與數(shù)列有關(guān)的證明：利用已知條件，當(dāng)直接證明遇阻時(shí)，可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．【變式探究】1.（2019·浙江高二期末）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(Ⅰ)求，，，的值；(Ⅱ)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．2.給出下列不等式：1>11+11+11+11+1（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.考點(diǎn)三利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【典例6】已知a，b，c，使等式1?22+2?（1）猜測a，b，c的值；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.【典例7】證明：eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(n,2n＋1)．(n∈N*)【總結(jié)提升】數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點(diǎn)(1)思路：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少．(2)注意點(diǎn)：由n＝k時(shí)等式成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法．【變式探究】1.數(shù)學(xué)歸納法證明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N＋)．【答案】見解析【解析】[錯(cuò)解](1)當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝2＋22＝6，右邊＝2(22－1)＝6，等式成立．(2)假設(shè)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得2＋22＋…＋2k－1＋2k＝SKIPIF1<0＝2(2k－1)．所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．由(1)(2)可知，等式對(duì)任意n>2，n∈N＋都成立．[辨析]錯(cuò)解中的第二步?jīng)]用到歸納假設(shè)，直接使用了等比數(shù)列的求和公式．由于未用歸納假設(shè)，造成使用數(shù)學(xué)歸納法失誤．2.（2018·江蘇高考模擬（理））在正整數(shù)集上定義函數(shù)y=f(n)，滿足f(n)[f(n+1)+1]=2[2?f(n+1)]，且f(1)=2．（1）