第四章 拉普拉斯變換1

第四章拉普拉斯變換§4.1 引言本章分為兩部分。首先由傅里葉變換變換引出拉普拉斯變換，然后對拉普拉斯正變換、逆變換及拉普拉斯變換的性質(zhì)進行討論。其次介紹系統(tǒng)函數(shù)H(s)及其零極點概念，并根據(jù)它們的分布研究系統(tǒng)特性，頻率響應(yīng)，及系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。本章重點在于，以拉普拉斯變換為工具對系統(tǒng)進行復(fù)頻域分析。在具體學(xué)習(xí)過程中要注意與傅里葉變換的對比，便于理解與記憶。傅里葉變換優(yōu)點:具有明確的物理意義缺點：只能處理符合狄利赫力條件的信號，信號的分析受到限制；逆變換對頻率進行的無窮積分計算困難拉普拉斯變換優(yōu)點：擴大可變換的信號范圍求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進行變換時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍；缺點：物理概念不如傅里葉變換那樣清楚?！?.2拉普拉斯變換的定義、收斂域本節(jié)內(nèi)容主要包括從傅里葉變換到拉普拉斯變換拉氏變換的物理意義拉氏變換的收斂域一些常用函數(shù)的拉氏變換重點：拉氏變換的定義及收斂域拉氏變換的定義——從傅氏變換到拉氏變換有幾種情況不滿足狄里赫利條件：u(t)增長信號周期信號若乘一衰減因子為任意實數(shù)，則收斂，于是滿足狄里赫利條件一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換1．正變換對一般信號，乘以衰減因子，即在的一定的取值范圍內(nèi)如，依據(jù)傅里葉變換的定義，得s具有頻率的量綱，故被稱為復(fù)頻率。令s=

+j

拉普拉斯正變換2．逆變換其中所以

FT拉普拉斯反變換3．拉普拉斯變換對記作

逆變換的積分沿著平行于jω軸的一條直線進行

采用0-系統(tǒng)，得到相應(yīng)的單邊拉普拉斯變換：

雙邊拉普拉斯變換

積分下限定義為零的左極限，目的在于分析和計算時可以直接利用起始給定的0-狀態(tài)。拉普拉斯變換與傅里葉變換的區(qū)別：FT:時域函數(shù)f(t)頻域函數(shù)變量

t變量LT:時域函數(shù)f(t)復(fù)頻域函數(shù)（變量t、都是實數(shù)）變量t變量s(復(fù)頻率）t（實數(shù)）(復(fù)數(shù)）即：傅里葉變換建立了時域與頻域之間的聯(lián)系；拉普拉斯變換建立了時域與復(fù)頻域之間的聯(lián)系。(實頻率)控制衰減速度二、拉普拉斯變換的物理意義1.信號f(t)可分解成復(fù)指數(shù)est的線性組合F(s)為單位帶寬內(nèi)各諧波的合成振幅，是密度函數(shù)。s是復(fù)數(shù)稱為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)稱復(fù)頻譜。2.信號f(t)也可分解成余弦函數(shù)的線性組合f(t)連續(xù)和振幅余弦

三、拉普拉斯變換的收斂域收斂軸收斂坐標(biāo)收斂區(qū)收斂域：使信號的拉普拉斯變換存在的S區(qū)域。記為ROC(regionofconvergence)。收斂域?qū)嶋H上就是信號存在拉普拉斯變換的條件。充要條件為：對任意信號f(t)

，若滿足上式，則f(t)應(yīng)滿足(

>

0)

>

0稱收斂條件

0稱絕對收斂坐標(biāo)

0S平面左半平面右半平面1．雙邊拉氏變換的收斂域信號從時域看，只要乘以收斂因子后，在時，乘積函數(shù)皆為零即可，也就是顯然

若則收斂帶為因為為一復(fù)平面（sPlane），則收斂域為

2.單邊拉氏變換的收斂域例1：解答：

分析：求收斂域即找出滿足的

取值范圍。-22.單邊拉氏變換的收斂域例2：

解答：2.單邊拉氏變換的收斂域例3：2.單邊拉氏變換的收斂域例4：拉氏變換不存在

三、拉普拉斯變換的收斂域3．說明不但要求出，還要標(biāo)出使得拉氏變換存在的收斂域增加了收斂的可能性，但不一定保證收斂,在一定范圍內(nèi)可能使得存在前面的例1~例3均滿足條件，稱為指數(shù)階信號實際中可能涉及的信號分為三大類：

,其中在全s域存在拉普拉斯變換。三、拉普拉斯變換的收斂域4．一般情況2.對所有拉普拉斯變換來說4.收斂域包含虛軸，F(xiàn)T和LT均存在。收斂域有始有終信號和能量有限信號或等幅振蕩信號和增長信號

不收斂信號除非整個平面以為界四、常用信號的拉普拉斯變換1.

指數(shù)型函數(shù)etu(t)同理：四、常用信號的拉普拉斯變換1.

指數(shù)型函數(shù)etu(t)正弦信號四、常用信號的拉普拉斯變換2.

階躍函數(shù)u(t)四、常用信號的拉普拉斯變換3.

())(0lim\=-±￥?sFsetttsds收斂域內(nèi)全可取任意值，令三、常用信號的拉普拉斯變換4.

t的正冪函數(shù)tn，n為正整數(shù)根據(jù)以上推理,可得常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換常用信號的拉氏變換拉氏變換的幾點說明考慮到信號f(t)有起因，引出單邊拉氏變換。有起因，起因點卻不一定非要在t=0處，這是兩個不同的概念。單邊拉氏變換和信號有起因也是兩個不同的概念。10tf1(t)f2(t)10t10tf3(t)拉氏變換的幾點說明單邊拉氏變換是從零點開始積分的，因此t<0區(qū)間的函數(shù)值與變換結(jié)果無關(guān)。如下三個函數(shù)可以有相同的單邊拉氏變換，但并不影響系統(tǒng)的分析。拉氏變換的幾點說明單邊拉氏變換的下限為0-，可以直接使用初始狀態(tài)，并且不漏掉沖激類函數(shù)。拉氏變換是獨立的數(shù)學(xué)變換，物理意義由拉氏變換分析系統(tǒng)的物理意義而確定，用途很廣泛。注意傅氏變換和拉氏變換的實際差別。

例：

§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)主要內(nèi)容線性

時移性頻移特性尺度變換特性卷積定理

時域微分性質(zhì)

時域積分性質(zhì)復(fù)頻域微分

復(fù)頻域積分初始值定理

終值定理

重點

卷積定理時域微分特性時間積分性質(zhì)難點時移性初始值定理§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)若則（為任意常數(shù)）如：正弦余弦信號的拉氏變換1.線性特性§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)2.時域微分特性證明：§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)2.時域微分特性重復(fù)應(yīng)用微分性質(zhì)，求得：若f(t)=0,t<0,

則有fr(0-)=0，r=0,1,2,...§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)3.時域積分特性若f-1(0-)=0，

則有§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)3.時域積分特性證明：其中，右邊第一項第二項按部分分式，得例4-4圖示電路，在t=0時開關(guān)S閉合，求輸出電壓vc(t)

解：（1）列寫微分方程（2）將微分方程兩邊取拉氏變換，得（3）求的拉氏逆變換§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)4.

時移特性若則t0

tf(t)E例4-5：【例1】已知

解：【例2】

已知，求。解：§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)例4-65.S域平移若則§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)6.

展縮特性(尺度變換)若則例4-7解法一：解法二：先尺度：再延遲：§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)——初值定理若及可以進行拉氏變換，且則可直接從象函數(shù)求原函數(shù)的初值；習(xí)慣上常將瞬態(tài)分析中的“開關(guān)”動作時間選為“0”，故初值一般用f(0+)表示．應(yīng)用條件：

必須是真分式。

若不是真分式，則可利用長除法使中出現(xiàn)真分式項則例（1）已知求解：

如果不用長除法，而直接用則將得到的錯誤結(jié)論。不是真分式，則有常數(shù)項，說明中有項中含有項 §4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)——終值定理設(shè)，的拉氏變換存在，若，則

當(dāng)且僅當(dāng)F(s)在s平面的虛軸上（原點除外）及其右半平面都為解析時，終值定理才可應(yīng)用。

即：當(dāng)且僅當(dāng)F(s)的全部極點在左半s平面，或在s=0處只有一階極點時，終值定理才可應(yīng)用。例如：（在虛軸上）所以，f(t)的終值不存在。時域卷積定理若（1）則復(fù)頻域卷積定理其中：（2）若則§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)——卷積定理§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)——復(fù)頻域微分性質(zhì)若則取正整數(shù)，

§4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)——復(fù)頻域積分性質(zhì)若

則

證明：

兩邊對s積分：交換積分次序拉氏變換的基本性質(zhì)（1）線性微分積分時移頻移拉氏變換的基本性質(zhì)（2）尺度變換終值定理卷積定理初值定理例：周期信號的拉氏變換第一周期的拉氏變換利用時移特性利用無窮級數(shù)求和Re(s)>0

矩形周期信號拉氏變換第一周期的拉氏變換利用時移特性利用無窮級數(shù)求和抽樣信號的拉氏變換抽樣序列抽樣序列的拉氏變換時域抽樣信號抽樣信號的拉氏變換解：方法1

對x(t)求導(dǎo)例

試求如圖所示信號的單邊Laplace變換。利用拉氏變換的微分特性,可得解：例

試求如圖所示信號的單邊Laplace變換。方法2對x(t)表達(dá)為利用拉氏變換的卷積特性,可得拉氏變換位移特性解：例

試求如圖所示信號的單邊Laplace變換。方法3將x(t)用基本信號表達(dá)為利用拉氏變換的位移特性和線性特性,可得例

已知

,求x(t)的初值和終值。解：X(s)不是真分式，x(t)在t=0包含沖激，不能直接應(yīng)用初值定理sX(s)的收斂域包含jw軸，直接應(yīng)用終值定理可得對X1(s)應(yīng)用初值定理可得將X(s)改寫為X1(s)§4.4拉普拉斯逆變換主要方法:(1)部分分式法(2)留數(shù)法——回線積分法(3)數(shù)值計算方法——利用計算機著重介紹部分分式法求拉氏逆變換的過程以及一種特殊情況的處理重點部分分式法求拉氏逆變換的過程難點部分分式展開法情況之三：高階極點

一、拉普拉斯逆變換的一般過程1.F(s)的一般形式

a,b為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。當(dāng)為有理真分式當(dāng)拉普拉斯變換為有理函數(shù)時，可以利用部分分式將其展開。是的根，稱為的零點是的根，稱為的極點將分子分母分別進行因式分解：2．拉氏逆變換的過程——部分分式展開法找到的極點將展成部分分式查拉氏變換求

例1采用部分分式展開法求X(s)的反變換。解：X(s)為有理真分式，極點為一階極點。將上式兩端同時乘以s可得令s=0，上式右端只有k1項不等于零，所以例1采用部分分式展開法求X(s)的反變換。解：同理可求出由此可得對上式進行拉氏反變換可得例2采用部分分式展開法求X(s)的反變換。解：X(s)有1個3階重極點將①式兩端同時乘以(s+1)3可得令s=-1，②式右端只有k2項不等于零，所以①②例2采用部分分式展開法求X(s)的反變換。解：對②式求一階導(dǎo)數(shù)，再令s=-1可得②對②式求二階導(dǎo)數(shù)，再令s=-1可得例3采用部分分式展開法求下列X(s)的反變換。解：X(s)為有理假分式，將其化為有理真分式利用例1計算結(jié)果，以及可得二、單邊拉普拉斯的反變換

——部分分式展開法歸納：1)

F(s)為有理真分式(m<n)，極點為一階極點特殊：包含共軛復(fù)數(shù)極點設(shè)：

其中：

則其中：由待定系數(shù)法求出。二、單邊拉普拉斯的反變換

——部分分式展開法歸納：2)

F(s)為有理真分式(m<n)，極點為r重階極點二、單邊拉普拉斯的反變換

——部分分式展開法歸納：3)

F(s)為有理假分式(m≥n)為真分式，根據(jù)極點情況按1)或2)展開。例4-8：求下列函數(shù)的逆變換解：將F(s)展開成部分分式形式分別求K1,K2,K3對于mn的情況例4-9注意：為非真分式時，含及其導(dǎo)數(shù)項。

例4-10：求函數(shù)的逆變換解：上兩式的分子應(yīng)相等，即解之得：F(s)特殊情況——含的非有理式項不參加部分分式運算，求解時利用時移性質(zhì)【例】

已知

，求其逆變換。解：方法二(適于計算機求解）當(dāng)時，及均為零，

由羅必塔法則，得若為k階極點，則若為一

階極點，則方法三：留數(shù)法信號的復(fù)頻域分析小結(jié)信號的復(fù)頻域分析實質(zhì)是將信號分解為復(fù)指數(shù)信號的線性組合。信號的復(fù)頻域分析使用的數(shù)學(xué)工具是拉普拉斯變換。利用基本信號的復(fù)頻譜和拉普拉斯變換的性質(zhì)可對任意信號進行復(fù)頻域分析。復(fù)頻域分析主要用于線性系統(tǒng)的分析。練習(xí)

求下列X(s)的反變換。簡解：(1)X(s)不是真分式，且有1個2階重極點(2)X(s)有1個2階重極點和一對共軛極點，為計算簡便令s2=q,(3)X(s)不是有理分式，將其表示為§4.5用拉普拉斯變換法分析電路步驟列s域方程（可以從兩方面入手）；列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程；求解s域方程

得到時域解答。兩種方法微分方程的拉氏變換元件的s

域模型

一、微分方程的拉氏變換時域微分方程時域響應(yīng)y(t)s域響應(yīng)Y(s)單邊拉氏變換拉氏反變換解微分方程解代數(shù)方程s域代數(shù)方程例：已知起始條件為：求

y(t)解：對微分方程兩邊取拉氏變換：例4-13：下圖所示電路，當(dāng)t<0時，開關(guān)S位于“1”端，電路的狀態(tài)已穩(wěn)定，t=0時S從“1”端打到“2”端，分別求vC(t)與vR(t)。2+-

E+-E1v1(t)+-+-Cvc(t)R+-vR(t)S解：一、求vC(t)（1）列寫微分方程（2）取拉氏變換（3）求VC(s)的逆變換vc(t)+-

E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S2二、求vR(t)tv1(t)E-Evc(t)+-

E+-E1v1(t)+-+-CR+