28.1銳角三角函數(shù)課時(shí)2教案

28．1銳角三角函數(shù)第2課時(shí)余弦函數(shù)和正切函數(shù)1．理解余弦、正切的概念；(重點(diǎn))2．熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入教師提問(wèn)：我們是怎樣定義直角三角形中一個(gè)銳角的正弦的？為什么可以這樣定義？學(xué)生回答后教師提出新問(wèn)題：在上一節(jié)課中我們知道，如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)銳角∠A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定了．現(xiàn)在我們要問(wèn)：其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？二、合作探究探究點(diǎn)一：余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義【類(lèi)型一】利用余弦的定義求三角函數(shù)值在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，則cosA＝()A.eq\f(5,13)B.eq\f(5,12)C.eq\f(12,13)D.eq\f(12,5)解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12,13).故選C.方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的余弦等于這個(gè)角的鄰邊與斜邊的比值．【類(lèi)型二】利用正切的定義求三角函數(shù)值如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則tanA＝()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,3).故選D.方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的正切等于它的對(duì)邊與鄰邊的比值．探究點(diǎn)二：三角函數(shù)的增減性【類(lèi)型一】判斷三角形函數(shù)的增減性隨著銳角α的增大，cosα的值()A．增大B．減小C．不變D．不確定解析：當(dāng)角度在0°～90°之間變化時(shí)，余弦值隨著角度的增大而減小，故選B.方法總結(jié)：當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，cosα的值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)．【類(lèi)型二】比較三角函數(shù)的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小關(guān)系是()A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值隨著角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故選D.方法總結(jié)：當(dāng)角度在0°≤∠A≤90°之間變化時(shí)，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1，tanA≥0.探究點(diǎn)三：求三角函數(shù)值【類(lèi)型一】三角函數(shù)與圓的綜合如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE⊥CE，連接CD.(1)求證：DC＝BC；(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．解析：(1)連接OC，求證DC＝BC可以先證明∠CAD＝∠BAC，進(jìn)而證明eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))；(2)由AB＝5，AC＝4，可根據(jù)勾股定理得到BC＝3，易證△ACE∽△ABC，可以求出CE、DE的長(zhǎng)，在Rt△CDE中根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求出tan∠DCE的值．(1)證明：連接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切線，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OC∠BAC，∴eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).∴DC＝BC；(2)解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(52－42)＝3.∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴eq\f(EC,BC)＝eq\f(AC,AB)，即eq\f(EC,3)＝eq\f(4,5)，EC＝eq\f(12,5).∵DC＝BC＝3，∴ED＝eq\r(DC2－CE2)＝eq\r(32－（\f(12,5)）2)＝eq\f(9,5)，∴tan∠DCE＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(\f(9,5),\f(12,5))＝eq\f(3,4).方法總結(jié)：證明圓的弦相等可以轉(zhuǎn)化為證明弦所對(duì)的弧相等．利用圓的有關(guān)性質(zhì)，尋找或構(gòu)造直角三角形來(lái)求三角函數(shù)值，遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)全等或相似將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【類(lèi)型二】利用三角形的邊角關(guān)系求三角函數(shù)值如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求sinC的值．解析：根據(jù)tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求得BD的長(zhǎng)．在直角△ACD中由勾股定理可求AC的長(zhǎng)，然后利用正弦的定義求解．解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(3,4)，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×eq\f(3,4)＝9，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13，∴sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13).方法總結(jié)：在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關(guān)系，結(jié)合勾股定理是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．余弦函數(shù)的定義；2．正切函數(shù)的定義；3．銳角三角函數(shù)的增減性．E＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAC，∴eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).∴DC＝BC；(2)解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(52－42)＝3.∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴eq\f(EC,BC)＝eq\f(AC,AB)，即eq\f(EC,3)＝eq\f(4,5)，EC＝eq\f(12,5).∵DC＝BC＝3，∴ED＝eq\r(DC2－CE2)＝eq\r(32－（\f(12,5)）2)＝eq\f(9,5)，∴tan∠DCE＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(\f(9,5),\f(12,5))＝eq\f(3,4).方法總結(jié)：證明圓的弦相等可以轉(zhuǎn)化為證明弦所對(duì)的弧相等．利用圓的有關(guān)性質(zhì)，尋找或構(gòu)造直角三角形來(lái)求三角函數(shù)值，遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)全等或相似將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【類(lèi)型二】利用三角形的邊角關(guān)系求三角函數(shù)值如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求sinC的值．解析：根據(jù)tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求得BD的長(zhǎng)．在直角△ACD中由勾股定理可求AC的長(zhǎng)，然后利用正弦的定義求解．解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(3,4)，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×eq\f(3,4)＝9，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13，∴sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13).方法總結(jié)：在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關(guān)系，結(jié)合勾股定理是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．三