【新教材】新高考數(shù)學(xué)人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第5章第1節(jié)平面向量的概念與線性運算

課程標(biāo)準(zhǔn)命題解讀1.理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義，理解平面向量的幾何表示和基本要素．2.掌握平面向量加、減、數(shù)乘運算運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義．3.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積．4.理解平面向量基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示．5.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積及共線、垂直的條件，會求兩個平面向量的夾角．6.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題．7.了解數(shù)系的擴(kuò)充，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義．8.掌握復(fù)數(shù)的表示、運算及其幾何意義，掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的四則運算，了解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義.考查形式：一般兩個選擇題或一個選擇題，一個填空題．考查內(nèi)容：向量的線性運算及其幾何意義；向量加、減、數(shù)乘及向量共線的坐標(biāo)表示；兩個向量的數(shù)量積的運算、夾角公式、垂直問題．復(fù)數(shù)的定義、幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)的四則運算．備考策略：(1)熟練應(yīng)用三角形、平行四邊形法則，進(jìn)行向量的線性運算，熟練掌握向量的數(shù)量積運算，能解決向量的模、夾角、垂直問題．(2)熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的模及其幾何意義．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算.第一節(jié)平面向量的概念與線性運算一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量由方向和長度確定，不受位置影響零向量長度為0的向量其方向是任意的，記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行(或共線)相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且|0|＝0.(2)單位向量有無數(shù)個，它們的大小相等，但方向不一定相同．(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．(4)與非零向量a平行的單位向量有兩個，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．平面向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)平行四邊形法則減法向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)．求兩個向量差的運算叫做向量的減法三角形法則數(shù)乘實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘(1)|λa|＝|λ||a|.(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb(1)一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(—→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．(2)若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)作兩個向量的差時，首先將兩向量的起點平移到同一點，要注意差向量的方向是由減向量的終點指向被減向量的終點．3．向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.(1)在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”．若忽視“a≠0”，則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個．(2)三點共線的等價關(guān)系：A，P，B三點共線?eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，t∈R)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。?(√)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)． (√)(3)若a∥b，b∥c，則a∥c． (×)(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上． (×)(5)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立． (√)(6)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反． (×)2．如圖，設(shè)P，Q兩點把線段AB三等分，則下列向量表達(dá)式錯誤的是()A．eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(BP,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))D解析：由數(shù)乘向量的定義可以得到A，B，C都是正確的，只有D錯誤．3．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．4．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________.eq\f(1,2)解析：因為向量a，b不平行，所以a＋2b≠0.又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).5．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b解析：由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)．又eq\o(AM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.考點1向量的相關(guān)概念——基礎(chǔ)性1．下面說法正確的是()A．平面內(nèi)的單位向量是唯一的B．所有單位向量的終點的集合為一個單位圓C．所有的單位向量都是共線的D．所有單位向量的模相等D解析：因為平面內(nèi)的單位向量有無數(shù)個，所以選項A錯誤；當(dāng)單位向量的起點不同時，其終點就不一定在同一個圓上，所以選項B錯誤；當(dāng)兩個單位向量的方向不相同也不相反時，這兩個向量就不共線，所以選項C錯誤；因為單位向量的模都等于1，所以選項D正確．2．下列說法正確的是()A．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上B．兩個有共同終點的向量，一定是共線向量C．長度相等的向量叫做相等向量D．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同D解析：若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則AB∥CD或點A，B，C，D在同一條直線上，故A錯誤；共線向量是指方向相同或相反的向量，兩個有共同終點的向量，其方向可能既不相同也不相反，故B錯誤；長度相等的向量不一定是相等向量，還需要方向相同，故C錯誤；相等向量是大小相等、方向相同的向量，故兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故D正確．3．判斷下列四個命題：①若a∥b，則a＝b；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若|a|＝|b|，則a∥b；④若a＝b，則|a|＝|b|.其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4A解析：只有④正確．4．給出下列命題：①零向量是唯一沒有方向的向量；②零向量的長度等于0；③若a，b都為非零向量，則使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線．其中錯誤的命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3B解析：①錯誤，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正確，由零向量的定義可知，零向量的長度為0；③正確，因為eq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)都是單位向量，所以只有當(dāng)eq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)是相反向量，即a與b反向共線時等式才成立．向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度．(5)零向量的關(guān)鍵是長度為0，規(guī)定零向量與任何向量共線．考點2平面向量的線性運算——應(yīng)用性在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，M為BC的中點，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))B．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))B解析：因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).又M是BC的中點，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).1．本例條件不變，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(DM,\s\up6(→)).解：eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).2．本例中，若eq\o(CM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，其他條件不變，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(AM,\s\up6(→)).解：eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).1．平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解．2．三種運算法則的關(guān)注點(1)加法的三角形法則要求“首尾相接”，平行四邊形法則要求“起點相同”．(2)減法的三角形法則要求“起點相同”且差向量指向被減向量．(3)數(shù)乘運算的結(jié)果仍是一個向量，運算過程可類比實數(shù)運算．如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(AF,\s\up6(→)).解：根據(jù)題意得，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→)).又eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).考點3平面向量線性運算的綜合應(yīng)用——綜合性考向1根據(jù)平面向量的線性運算求參數(shù)的值或范圍(1)(2020·朔州模擬)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0.若eq\o(BE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則()A．y＝3x B．x＝3yC．y＝－3x D．x＝－3yD解析：因為eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，所以點D是BC的中點．又因為eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，所以點E是AD的中點，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，因此x＝－eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)，所以x＝－3y.(2)(2020·懷化模擬)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)．若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))D解析：設(shè)eq\o(CO,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(BC,\s\up6(→))，因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，所以y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋y(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up6(→)).因為eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝－y，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).根據(jù)平面向量的線性運算求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值或范圍．考向2共線向量定理(2020·鄭州模擬)設(shè)e1與e2是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2.若A，B，D三點共線，則k的值為________．－eq\f(9,4)解析：因為A，B，D三點共線，所以必存在一個實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2.又e1與e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝－eq\f(9,4).1．證明向量共線的方法應(yīng)用向量共線定理．對于向量a，b(b≠0)，若存在實數(shù)λ，使得a＝λb，則a與b共線．2．證明A，B，C三點共線的方法若存在實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點共線．3．解決含參數(shù)的共線問題的方法經(jīng)常用到平面幾何的性質(zhì)，構(gòu)造含有參數(shù)的方程或方程組，解方程或方程組得到參數(shù)值．1．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則下列一定共線的三點是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，DB解析：因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共點A，所以A，B，D三點共線．2．(2020·無錫模擬)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點E在線段CD上．若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，則μ的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：由已知可得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).因為點E在線段CD上，所以，設(shè)eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).因為0≤λ≤1，所以0≤μ≤eq\f(1,2).3．如圖，在△ABC中，D為邊BC上靠近B點的三等分點，連接AD,E為線段AD的中點．若eq\o(CE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，則m＝________，n＝________.eq\f(1,3)－eq\f(5,6)解析：eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,3)，n＝－eq\f(5,6).在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b[四字程序]讀想算思用基底表示eq\o(AF,\s\up6(→))1.三角形法則，平行四邊形法則；2.以誰為基底選擇不同的三角形，利用三角形法則轉(zhuǎn)化與化歸O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，E是OD的中點，AE的延長線與CD交于F1.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))，如何表示eq\o(AF,\s\up6(→))？2.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，如何表示eq\o(CF,\s\up6(→))？3.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，如何表示eq\o(DF,\s\up6(→))？4．利用方程組思想與向量相等解決1.在△AGF中表示；2.在△ACF中表示；3.在△ADF中表示；4.直接設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→))，利用向量相等求系數(shù)1.向量的線性運算法則；2.向量相等的條件；3.平行線的性質(zhì)思路參考：利用eq\o(AG,\s\up6(→))，eq\o(GF,\s\up6(→))表示eq\o(AF,\s\up6(→)).B解析：因為由題意可知△DEF∽△BEA，所以eq\f(DE,BE)＝eq\f(DF,BA)＝eq\f(1,3).再由AB＝CD可得eq\f(DF,DC)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(DF,FC)＝eq\f(1,2).作FG平行BD交AC于點G，所以eq\f(FG,DO)＝eq\f(CG,CO)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b.因為eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.思路參考：利用eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))表示eq\o(AF,\s\up6(→)).B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，于是eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a.所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.思路參考：利用eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))表示eq\o(AF,\s\up6(→)).B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，于是eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋\f(1,2)a))，那么eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋\f(1,2)a))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.思路參考：利用eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))表示eq\o(AF,\s\up6(→)).B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，故eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→)).因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x＋y)eq\o(AD,\s\up6(→))＋(x－y)eq\o(AB,\s\up6(→))，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(1,3)，))所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.1．本題考查利用已知向量作基底表示向量問題，解法靈活