二輪復習梳理糾錯預測學案專題四平面向量（理）

專題專題4××平面向量命題趨勢命題趨勢平面向量主要考查平面向量的模、數(shù)量積的運算、線性運算等，難度一般偏簡單，有時也會與三角函數(shù)、圓錐曲線結合考查，難度中等．考點清單考點清單一、平面向量及其線性運算1．向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)一般用有向線段來表示向量零向量長度為0的向量記作，其方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量的相反向量為2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則（1）交換律：a+（2）結合律：(減法若b+x=a，則向量x叫做三角形法則a數(shù)乘實數(shù)λ與向量a相乘，叫做向量的數(shù)乘（1）|λa（2）當λ>0時，λa的方向與a當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λ(μa(λ+μ)aλ(3．共線向量定理向量與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得．二、平面向量基本定理和平面向量的坐標表示1．平面向量基本定理如果，是同一平面內的兩個不共線的非零向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使．其中，不共線的非零向量，叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標運算向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設，，則，，，．3．平面向量共線的坐標表示設，，其中b≠0．．三、平面向量的數(shù)量積1．定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos記作a?規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2．投影：|a|cos<a3．數(shù)量積的坐標運算：設向量，，則（1）a（2）a（3）四、平面向量的相關結論1．“三點”共線的充要條件：O為平面上一點，則A，B，P三點共線的充要條件是OP2．三角形中線向量公式：若P為ΔOAB的邊AB的中點，則．

精題集訓精題集訓（70分鐘）經典訓練題經典訓練題一、選擇題．1．已知平面向量a，b滿足|aA． B． C． D．【答案】D【解析】∵a⊥(a．，，故選D．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積，向量的夾角，以及向量垂直的條件，屬于基礎題．2．在等腰梯形ABCD中，AB=2CD，若AD=a，AB=A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一：如圖，取AB的中點E，連結DE，因為四邊形ABCD為等腰梯形，AB=2CD，所以，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以，故選A．解法二：如圖，取AB的中點E，連結DE，因為四邊形ABCD為等腰梯形，AB=2CD，所以，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以，故選A．【點評】在幾何圖形中進行向量運算：（1）構造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；（2）樹立“基底”意識，利用基向量進行線性運算．3．若平面向量a與b的夾角為，a=1，b=2，則2A．32 B．23 C．18 D【答案】B【解析】2a+b2=4a【點評】本題主要考了向量的運算以及向量的模長，屬于基礎題．4．已知向量，b=(3，-2)，c=(1，m)A．1 B．2 C．3 D．2【答案】B【解析】由題設可得a-因為(a-b)⊥所以c=1，1，故c【點評】本題考了向量的坐標運算以及向量的垂直的條件，模長的計算，屬于基礎題．5．若向量，BC=3，1A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，BC=3所以，BA=1，BC=2則，，所以，故選A．【點評】本題考點為向量夾角的計算，以及三角形面積的計算，屬于基礎題．6．已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設點D，E滿足BD=DC，，AD與交于點P，則（）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因為，所以，所以EC=2AE，所以E為AC的一個靠近又因為BD=DC，所以D為過E作EF⊥AD交AD于F點，如下圖所示：因為且BD=CD，所以，所以，所以，所以，故選D．【點評】解答本題的關鍵是確定點E，D，即可直接根據(jù)數(shù)量積的計算公式完成求解．7．若向量a，b滿足a=2，a+2b?aA．1 B． C． D．【答案】B【解析】設a，b的夾角為θ，則，則，即b在a方向上的投影為，故選B．【點評】本題考查了向量數(shù)量積的運算，向量投影的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題．8．已知向量a，b為平面內的單位向量，且，向量c與a+b共線，則|A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因為向量c與a+b共線，所以存在唯一的實數(shù)t，使得所以a+所以(a又向量a，b為平面內的單位向量，所以|a|=1，又，所以，所以，所以|a+c|的最小值為，故選【點評】本題主要考查共線定理的應用及平面向量數(shù)量積，關鍵是根據(jù)共線，利用共線定理將c用向量a，b表示，再通過平方轉化為二次函數(shù)最值問題．9．如圖，延長正方形ABCD的邊CD至點E，使得DE=CD，動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周后回到點A，若，則下列判斷正確的是（）A．滿足的點P必為BC的中點 B．滿足的點P有且只有一個C．滿足的點P有且只有一個 D．的點P有且只有一個【答案】C【解析】如圖建系，取AB=1，∵AE=∴，動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，當P∈AB時，有0≤λ-μ≤1且μ=0，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤1，當P∈BC時，有λ-μ=1且0≤μ≤1，則λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，當P∈CD時，有0≤λ-μ≤1且μ=1，則μ≤λ≤μ+1，∴1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，當P∈AD時，有λ-μ=0且0≤μ≤1，則λ=μ，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，綜上，0≤λ+μ≤3．選項A，取λ=μ=1，滿足λ+μ=2，此時AP=AB+AE=故A錯誤；選項B，當點P取B點或AD的中點時，均滿足λ+μ=1，此時點P不唯一，故B錯誤；選項C，當點P取C點時，λ-μ=1且μ=1，解得λ=2，λ+μ為3，故C正確；選項D，當點P取BC的中點或DE的中點時，均滿足，此時點P不唯一，故D錯誤，故選C．【點評】求解本題的關鍵在于根據(jù)題中所給條件，利用建系的方法，討論P的位置，根據(jù)，確定λ+μ的范圍，即可求解．（向量用坐標表示后，向量的計算和證明都歸結為數(shù)的運算，這使問題大大簡化）10．在△ABC中，點M是AB的中點，，線段CM與BN交于點O，動點P在△BOC內部活動（不含邊界），且AP=λAB+μAN，其中λ、μ∈A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示，連接BP并延長交AC于點G，設NG=mAN，PG=nBG，則AG=，又∵AP=λAB+μAN∴λ+μ=m+1-mn=m，0<1-n<1，則，即，即，因此，λ+μ的取值范圍是，故選D．【點評】本題考查利用平面向量的基本定理求與參數(shù)有關的代數(shù)式的取值范圍，解題的關鍵在于引入?yún)?shù)表示λ、μ，并結合不等式的基本性質求出λ+μ的取值范圍．二、填空題．11．已如|AB|=1，|BC|=2，且【答案】【解析】因為|AB|=1，|BC所以，因為<AB，BC>∈[0，π]，所以AB與因為AD?DC=0，所以AD⊥DC以B為原點，BC為x軸正方向建系，如圖所示：所以，，，設以AC為直徑的圓的圓心為P，所以，且，所以D的軌跡的方程為，BD的最大值為，故答案為．【點評】解題的關鍵是根據(jù)題意，分析可得D點的軌跡為圓，進而求得圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質求解，考查分析理解，數(shù)形結合的能力，屬中檔題．12．如圖梯形ABCD，且AB=5，AD=2DC=4，E在線段BC上，AC?BD=0，則AE?【答案】【解析】因為，所以向量AD與AB的夾角和向量AD與DC的夾角相等，設向量AD與AB的夾角為θ，因為AC?BD=0即AD2整理得16+8cosθ-20cosθ如圖，過點D作AB垂線，垂足為O易知A-2，0，B3，則BC=-1，23E=3-λ，23λAE?因為0≤λ≤1，所以當時，取最小值，最小值為，故答案為．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法，可通過建立直角坐標系的方式進行求解，考查向量的運算法則，考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查計算能力，考查轉化與化歸思想，是難題．13．已知向量的模長為1，平面向量m，n滿足：|m-2e|=2【答案】-1【解析】由題意知：不妨設e=1，則根據(jù)條件可得x-22+y根據(jù)柯西不等式得m?因為a-1x+bya-1x+by+x≤4x+x當且僅當bx=a-1令t=4x，則，又x-22+y所以t∈0，4，當t=4時，，即，而t∈0，4，所以當t=2時，，即m故m?n的取值范圍是【點評】設e=1，0，a-1214．已知，，是平面向量，且，是互相垂直的單位向量，若對任意λ∈R均有的最小值為，則的最小值為___________．【答案】3【解析】，即，所以，即，設為x軸的方向向量，為y軸方向向量，所以，對應的坐標為，所以x2-2y+1=0，得，因為為拋物線x2=2y向上平移個單位，所以焦點坐標為(0，1)，準線為y=0，所以點到(0，1)(1，當且僅當x=y=1時，取最小值．故答案為3．【點評】關于向量模長的問題，一般沒有坐標時，利用平方公式展開計算；有坐標時，代入坐標公式求解，涉及模長的最值問題，一般需要轉化為點與點之間的距離，或者點到線的距離等問題，利用幾何方法求解．三、解答題．15．已知向量，，函數(shù)fx=m（1）若，求函數(shù)fx的最值；（2）若，且fθ=1，，求的值．【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）．【解析】（1）因為，，所以，因為，所以，所以當，即時，最小，最小值為0，此時fx最大，最大值為；所以當，即時，最大，最大值為1，此時fx最小，最小值為．即fx的最大值為，最小值為．（2）由（1）得，又fθ=1，所以，所以，因為，所以，所以．因為，，所以，所以．【點評】本題主要考查數(shù)量積的坐標表示，三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法，以及兩角和的余弦公式的應用，意在考查學生的數(shù)學運算能力和轉化能力，屬于基礎題．解題關鍵是：整體思想的應用，一是將看成整體，利用三角函數(shù)圖象求出最值；二是將看成整體，利用兩角和的余弦公式展開求出．高頻易錯題高頻易錯題一、解答題．1．已知a=2，b=1，向量a與向量b的夾角為，設向量，向量．（1）求a?（2）設ft=m?n，求ft的表達式；若m與【答案】（1）1；（2）f(t)=t2+6t+2，t<-3-7或【解析】（1）．（2）=4t+2t+t因為m與n的夾角θ為銳角，所以m?即t2+6t+2>0，解得t<-3-7又由m和n共線，解得t=2所以實數(shù)t的取值范圍是t<-3-7或t>-3+7且【點評】本題考查向量的數(shù)量積．向量m，n夾角為銳角是m?n>0的充分不必要條件，m，n夾角為0精準預測題精準預測題一、選擇題．1．如圖所示的△ABC中，點D是線段AC上靠近A的三等分點，點E是線段AB的中點，則DE=A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，故選B．【點評】本題主要考了向量的線性運算，屬于基礎題．2．如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，點P為△BCD內（含邊界）的動點，設OP=αOC+βA． B． C． D．【答案】D【解析】以O為原點，OD，OC為因為四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，所以D(3，0)，，B(1，1)，OD所以OP=α設P(x，y)，則，所以，所以，即求的最大值，因為點P為△BCD所以由圖可知，平移直線到經過點B(1，1)時，取得最大值，所以的最大值是，故選D．【點評】建立平面直角坐標系，轉化為線性規(guī)劃求解是解題關鍵．3．如圖，B是AC的中點，BE=2OB，P是平行四邊形BCDE內（含邊界）的一點，且①當x=0時，y∈②當P是線段CE的中點時，，；③若x+y為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段；④x-y的最大值為-1．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】當x=0時，OP=yOB，則P在線段上，故1≤y≤3，故①錯當P是線段CE的中點時，，故②對；x+y為定值1時，A，B，P三點共線，又P是平行四邊形BCDE內（含邊界）的一點，故P的軌跡是線段，故③對；如圖，過P作，交OE于M，作，交AO的延長線于N，則：OP=又OP=xOA+yOB；由圖形看出，當P與B重合時：OP=0此時x取最大值0，y取最小值1；所以x-y取最大值-1，故④正確，所以選項②③④正確，故選C．【點評】若OC=xOA+yOB，則二、填空題．4．已知a=2，a?b=-8，b=-3，【答案】【解析】設向量a與b的夾角為θ，因為b=-3，又因為a=2，a?b=-8，所以又θ∈0，π，所以，即有所以向量a與b的夾角的正切值為，故答案為．【點評】本題考查了利用向量的數(shù)量積求夾角的應用問題，屬于基礎題．5．已知單位向量，滿足：，則向量與向量的夾角θ=___________．【答案】【解析】因為單位向量，，，所以，即，θ∈0，π故答案為．【點評】本題考查了向量垂直的條件，以及向量夾角的計算，屬于基礎題．6．已知向量，若，且，則x+y的最大值為______．【答案】【解析】∵，且，∴與的夾角為，設，則，∵，∴，又，∴，化簡得x2+xy+y∴，當且僅當時，等號成立，∴，故答案為．【點評】本題考查了平面向量的混合運算，還涉及利用基本不等式解決最值問題，考查學生的邏輯推理能力，屬于中檔題．7．如圖，在直角梯形ABCD中