新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題7.3等比數(shù)列及其前n項和（講）解析版

專題7.3等比數(shù)列及其前n項和新課程考試要求1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式；2.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.3.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式及其應(yīng)用；4.會用數(shù)列的等比關(guān)系解決實(shí)際問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等.考向預(yù)測1．利用方程思想應(yīng)用等比數(shù)列通項公式、前n項和公式求基本量；2．等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.3．更傾向于與等差數(shù)列或其他內(nèi)容相結(jié)合的問題，其中涉及到方程的思想、等價轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想等．從思維品質(zhì)上看更講究思維的靈活性及深刻性．4.復(fù)習(xí)中注意:（1）與等差數(shù)列及其它知識的綜合問題；（2）根據(jù)已知遞推式構(gòu)造等比數(shù)列求解相關(guān)問題.【知識清單】知識點(diǎn)一．等比數(shù)列的有關(guān)概念1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“從第二項起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項都不為零）2．等比數(shù)列通項公式為：.說明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項公式知：若為等比數(shù)列，則.3．等比中項如果在中間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個等比中項）4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)分與聯(lián)系(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列．(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)必成等差數(shù)列．(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列．?dāng)?shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．(4)如果由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的公共項順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中哪些項是它們的公共項，構(gòu)成什么樣的新數(shù)列．知識點(diǎn)二．等比數(shù)列的前n項和一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項和是，當(dāng)時，或；當(dāng)時，（錯位相減法）.說明：（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時，必要時應(yīng)討論的情況.（4）若已知首項和末項，則；若等比數(shù)列{an}的首項是，公比是，則其前項和公式為.知識點(diǎn)三．等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)1.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等比數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等比中項；（2）在等比數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等比數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等比數(shù)列中，對任意，，； （4）在等比數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中項.也就是：，如圖所示：.（5）若數(shù)列是等比數(shù)列，且公比不為－1，是其前項的和，，那么，，成等比數(shù)列.如下圖所示：.（6）兩個等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)的數(shù)列、、仍為等比數(shù)列．（7）若數(shù)列是等比數(shù)列,則，仍為等比數(shù)列．2.公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即，，，…成等比數(shù)列，且公比為.3.等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)或時，為遞增數(shù)列，當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．4.等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義＝常數(shù)＝常數(shù)通項公式判定方法(1)定義法；(2)中項公式法：?為等差數(shù)列；(3)通項公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(5)為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法：()?為等比數(shù)列(3)通項公式法：(均是不為0的常數(shù)，)?為等比數(shù)列(4)為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列性質(zhì)(1)若，，，，且，則(2)(3)SKIPIF1<0，…仍成等差數(shù)列(1)若，，，，且，則(2)(3)等比數(shù)列依次每項和()，即SKIPIF1<0，…仍成等比數(shù)列前n項和時，；當(dāng)時，或.【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算【典例1】（2020·全國高考真題（文））設(shè)SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：D.【典例2】（2019·全國高考真題（理））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=____________．【答案】.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．【總結(jié)提升】1.求解等比數(shù)列的基本量要用好方程的思想：等比數(shù)列的通項公式及前項和公式或，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想解決問題.運(yùn)用方程的思想解等比數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算．2.運(yùn)用方程思想解答等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題是高考常見題型，要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算．3.特殊設(shè)法:三個數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為；四個數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為.這對已知幾數(shù)之積,求數(shù)列各項,運(yùn)算很方便.【變式探究】1.（2017全國卷3理）設(shè)等比數(shù)列滿足，，則___________．【答案】【解析】因為為等比數(shù)列，設(shè)公比為．，即，顯然，，得，即，代入式可得，所以．2.（浙江高考真題）設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為{Sn}．若，，則q＝______________．【答案】【解析】將，兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子．即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明【典例3】（2021·沈陽市·遼寧實(shí)驗中學(xué)高三二模）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___．【答案】SKIPIF1<0【解析】由給定條件借助SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0即可得解.【詳解】因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，從而有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例4】（2021·湖北省直轄縣級行政單位·高三其他模擬）已知數(shù)列{an}滿足SKIPIF1<0，（1）證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由遞推公式結(jié)合等比數(shù)列的定義證明即可；（2）累加法求數(shù)列的通項公式.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，（2）由（1）知：則數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；(2)等比中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；(3)通項公式法(均是不為0的常數(shù)，)?是等比數(shù)列．【變式探究】1.（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（文））設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，對任意SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式________．【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可以判定函數(shù)為唯一零點(diǎn)的橫坐標(biāo)必然為0，進(jìn)而得到數(shù)列的和與項的關(guān)系式，利用作差法消和得到項的遞推關(guān)系，結(jié)合首項的求解結(jié)果，可以判定此數(shù)列是等比數(shù)列，然后寫出通項公式即可.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)和二次函數(shù)的對稱性，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱可知這個公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是0，（否則公共點(diǎn)則成對出現(xiàn)），即SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,s所以SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴數(shù)列SKIPIF1<0為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0,故答案為：SKIPIF1<0.2.（2018·全國高考真題（文））已知數(shù)列an滿足a1=1，n（1）求b1（2）判斷數(shù)列bn（3）求an【答案】(1)b1=1，b2=2，b3=4．(2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．理由見解析.(3)an=n·2n-1．【解析】（1）由條件可得an+1=2(n+1)n將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．將n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．從而b1=1，b2=2，b3=4．（2）{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．由條件可得an+1n+1=2ann，即bn+1=2bn（3）由（2）可得ann=2n?1，所以an=考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【典例5】（2020·全國高三二模（理））已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值【答案】C【解析】分析：根據(jù)等比中項的性質(zhì)得，，，代入構(gòu)造基本不等式的形式，運(yùn)用基本不等式求得最值.詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比，∵，∴，∴，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故選：C.【典例6】（2021·全國高三其他模擬（文））等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的前12項和為（）A．90 B．60 C．45 D．32【答案】C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得公比SKIPIF1<0，然后再計算和．【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．【總結(jié)提升】1.等比數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān)，故應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項的序號之間的關(guān)系．2.應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)要注意結(jié)合其通項公式、前項和公式．3.在運(yùn)用函數(shù)判斷數(shù)列的單調(diào)性時，要注意函數(shù)的自變量為連續(xù)的，數(shù)列的自變量為不連續(xù)的，所以函數(shù)性質(zhì)不能夠完全等同于數(shù)列的性質(zhì)．有些數(shù)列會出現(xiàn)前后幾項的大小不一，從某一項開始才符合遞增或遞減的特征，這時前幾項中每一項都必須研究．【變式探究】1．（2020·山西太原?高一期末）在等比數(shù)列中，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比中項的性質(zhì)可得，解得，因此，.故選：B.2．（2021·遼寧實(shí)驗中學(xué)高三其他模擬）等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0即可.【詳解】由題意知，設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：-6【溫馨提醒】應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時的兩個關(guān)注點(diǎn)(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(2)等比數(shù)列的項經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后組成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如在等比數(shù)列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比數(shù)列，公比為qk(q≠－1)．考點(diǎn)四等比數(shù)列的前n項和公式的綜合應(yīng)用【典例7】（2021·江蘇高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（3）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【解析】（1）計算得到SKIPIF1<0，得到答案.（2）SKIPIF1<0，得到數(shù)列通項公式.（3）根據(jù)分組求和法計算得到答案.【詳解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.（2）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例8】（2021·福建高三三模）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，___________，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】答案見解析【解析】選①，運(yùn)用數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義?通項公式和求和公式，計算可得所求和；選②，解法一：運(yùn)用數(shù)列恒等式和數(shù)列的裂項相消求和，計算可得所求和；解法二：由數(shù)列SKIPIF1<0是常數(shù)列，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由數(shù)列的裂項相消求和，計算可得所求和；選③，由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.【詳解】選條件①SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.選條件②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解法一：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也符合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解法二：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是常數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.選條件③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，顯然不符合上式，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】1.等比數(shù)列前n項和Sn相關(guān)的結(jié)論(1)項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q.①若共有2n項，則S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1項，則S奇－S偶＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)．(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm?qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)．2.等比數(shù)列最值有關(guān)問題的解題思路求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解．有時也注意基本不等式的應(yīng)用．3.解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系．如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項抽出來單獨(dú)研究；如果兩個數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解．【變式探究】1.（2020·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高一期末）已知數(shù)列滿足遞推公式.設(shè)為數(shù)列的前項和，則__________，的最小值是__________.【答案】；【解析】因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以；所以，所以，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，；所以的最小值是.故答案為：；.2.（2021·全國高三其他模擬）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前100項的和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】根據(jù)已知遞推關(guān)系，利用數(shù)列的和與項的一般關(guān)系當(dāng)SKIPIF1<0時，求得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，利用SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0的遞推關(guān)系，進(jìn)而可判定數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，求得其通項公式，利用三角函數(shù)的周期性求得SKIPIF1<0的通項與SKIPIF1<0的周期性關(guān)系，判定其中的非零項SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式求得SKIPIF1<0.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，首項和公比都是SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0,(SKIPIF1<0),∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，共有50項，∴SKIPIF1<0.考點(diǎn)五等比數(shù)列與傳統(tǒng)文化【典例9】（2021·黑龍江高三其他模擬（理））我們把SKIPIF1<0SKIPIF1<0叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家）．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則使不等式SKIPIF1<0成立的正整數(shù)SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1