第二章 一元函數(shù)的導數(shù)和微分

PAGEPAGE32第二章一元函數(shù)的導數(shù)和微分微分學是微積分的重要組成部分，它的基本概念是導數(shù)與微分，其中導數(shù)反映出函數(shù)相對于自變量的變化而變化的快慢程度，而微分則指明當自變量有微小變化時，函數(shù)值變化的近似值.第一節(jié)導數(shù)的概念在科學研究和工程技術中，常常遇到求變量的變化率的問題。例如，物體作勻速直線運動時，其速度為物體在時刻t0到t的位移差s(t)s(t0)與相應的時間差tt0的商.如果物體作變速直線運動，則上面的公式就不能用來求物體在某一時刻的瞬時速度了.不過，我們可先求出物體從時刻t0到t的平均速度，然后假定t→t0,求平均速度的極限，并以此極限作為物體在t0時刻的瞬時速度.從數(shù)學角度來看，叫做函數(shù)y=f(x)在x0與x的差商，而把x→x0時，該差商的極限值(如果存在的話)叫做函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù).一般說來，工程技術中一個變量相對于另一個變量的變化率問題，可以化成求導數(shù)的問題進行處理.一、導數(shù)的定義定義設函數(shù)y=f(x)在U(x0)內(nèi)有定義.如果極限存在，則稱該極限值為f(x)在點x0處的導數(shù)，記為，(231)此時也稱函數(shù)f(x)在點x0可導.函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)還可記為；；.導數(shù)f′(x0)可以表示為下面的增量形式.(232)如果(231)式和式(232)中右邊的極限不存在，則稱f(x)在點x0不可導.當=∞時，我們通常說函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)為無窮大.如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都可導，則稱f(x)在此開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導.這時，x∈(a，b)，對應著f(x)的一個確定的導數(shù)值，這是一個新的函數(shù)關系，稱該函數(shù)為原來函數(shù)f(x)的導函數(shù)，記為f′(x)，y′，，等，此時,x∈(a,b).顯然，f(x)在點x0∈(a，b)的導數(shù)f′(x0)就是導函數(shù)f′(x)在點x=x0處的函數(shù)值：.為方便起見，我們簡稱函數(shù)的導函數(shù)為導數(shù).由函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的定義可知，它是一種極限：，而極限存在的充要條件是左、右極限都存在且相等.因此f′(x0)存在(即f(x)在點x0可導)的充要條件應是下面的左、右極限，都存在且相等.我們將這兩個極限分別稱為函數(shù)f(x)在x0處的左導數(shù)和右導數(shù)，記為f′(x0)和f′+(x0)，即，或寫成增量形式：，.定理1函數(shù)y=f(x)在點x0可導的充要條件是f′(x0)及f′+(x0)存在且相等.該定理實際上是第一章第四節(jié)中定理2的推論.例1函數(shù)f(x)=｜x｜在點x=0處是否可導？解因為，所以,，由于f′+(0)≠f′(0),因此f(x)=｜x｜在x=0處不可導.例2研究函數(shù)在點x=0處的可導性.解易知f(x)在點x=0處連續(xù)，而,，由于f′+(0)=f′(0)=1，故f(x)在點x=0處可導，且f′(0)=1.例3求函數(shù)f(x)=C，x∈(∞，+∞)的導數(shù)，其中C為常數(shù).解，即(C)′=0.通常說成：常數(shù)的導數(shù)等于零.例4設y=xn，n為正整數(shù)，求y′.解,即(xn)′=nxn1.特別地，n=1時，有(x)′=1.例5設y=sinx，求y′.解即(sinx)′=cosx.例6設y=cosx，x∈(∞，+∞)，求y′.解，即(cosx)′=sinx.例7設y=ax，x∈(∞，+∞)，a＞0，求y′.解注意到u→0時，eu1~u，從而，即(ax)′=axlna(a＞0).特別地(ex)′=ex.例8設y=loglogax，x∈(0，+∞)，a＞0且a≠1，求y′.解，即(loglogax)′=.特別地.例9設y=x3，求y′｜x=2.解因為y′=(x3)′=3x31=3x2，所以y′｜x=2=3x2｜x=2=3×22=12.下面我們討論可導與連續(xù)的關系.定理2若y=f(x)在點x0可導，則f(x)在點x0必連續(xù).證因為f(x)在點x0可導，即存在.由無窮小量與函數(shù)極限的關系得,其中α→0(x→x0)，于是故.即f(x)在點x0連續(xù).例10研究函數(shù)在點x=0處的連續(xù)性和可導性.解因為，所以f(x)在點x=0處連續(xù)，但是不存在,故f(x)在點x=0處不可導.此例說明“連續(xù)不一定可導”，連續(xù)只是可導的必要條件.二、導數(shù)的幾何意義連續(xù)函數(shù)y=f(x)的圖形在直角坐標系中表示一條曲線，如圖2-1所示.設曲線y=f(x)上某一點A的坐標是(x0，y0)，當自變量由x0變到x0+Δx時，點A沿曲線移動到點B(x0+Δx，y0+Δy)，直線AB是曲線y=f(x)的割線，它的傾角記作β.從圖形可知，在直角三角形ABC中，，所以的幾何意義是表示割線AB的斜率.圖2-1當Δx→0時，B點沿著曲線趨向于A點，這時割線AB將繞著A點轉動，它的極限位置為直線AT，這條直線AT就是曲線在A點的切線，它的傾角記作α.當Δx→0時，既然割線趨近于切線，所以割線的斜率=tanβ必然趨近于切線的斜率tanα，即.由此可知，函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義就是曲線y=f(x)在對應點A(x0，y0)處的切線的斜率.曲線y=f(x)在點A(x0，y0)的切線方程可寫成：(1)f′(x0)存在，切線方程為yf(x0)=f′(x0)(xx0)；(2)f(x)在點x0處連續(xù)，f′(x0)=∞，則切線方程為x=x0.例11求過點(2，0)且與曲線y=相切的直線方程.解顯然點(2，0)不在曲線y=上.由導數(shù)的幾何意義可知，若設切點為(x0，y0)，則y0=，且所求切線的斜率k為，故所求切線方程為.又切線過點(2，0)，所以有.于是得x0=1，y0=1，從而所求切線方程為y1=(x1)，即y=2x.例12在曲線上求一點，使該點處的曲線的切線與直線y=3x1平行.解在上的任一點M(x，y)處切線的斜率k為.而已知直線y=3x1的斜率k1=3.令k=k1，即，解之得x=4，代入曲線方程得.故所求點為(4，8).三、函數(shù)四則運算的求導法定理3設函數(shù)u=u(x)，v=v(x)在點x處可導，k1，k2為常數(shù)，則下列各等式成立：(1)［k1u(x)+k2v(x)］′=k1u′(x)+k2v′(x);(2)［(u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);(3)［v(x)≠0］.證僅以(3)為例進行證明.記g(x)=，且v(x)≠0，則.定理中的(1)式和(2)式均可推廣至有限多個函數(shù)的情形.讀者不難自行完成.例13設,求y′.解.例14設y=x3cosxsinx,求y′.解.例15設y=tanx，求y′.解,即(tanx)′==sec2x=1+tan2x.類似可得(cotx)′=1sin2x=csc2x=(1+cot2x).例16設y=secx,求y′.解在定理3的(3)中,取u(x)≡1,則有.于是y′=(secx)′=,即(secx)′=secxtanx.類似可得(cscx)′=cscxcotcotx.第二節(jié)求導法則一、復合函數(shù)求導法定理1(鏈導法)若u=φ(x)在點x處可導，而y=f(u)在相應點u=φ(x)處可導，則復合函數(shù)y=f(φ(x))在點x處可導，且，或記為［f(φ(x))］′=f′(φ(x))·φ′(x).(2-證因為y=f(u)在u的導數(shù)存在，所以，其中α→0(Δu→0)，故，從而.又u=φ(x)在點x處可導，故φ(x)必在點x處連續(xù)，因此Δx→0時必有Δu→0.于是，而，定理證畢.例1設f(x)=xμ，μ∈R，x＞0，求f′(x).解由于xμ=eμlnx，x＞0.令u=μlnx，則xμ系由y=eu及u=μlnx復合而成.，即(xμ)′=μxμ1，μ∈R，x＞0.例2設y=ex，求y′.解令u=x，則y=eu，從而.即(ex)′=ex.對復合函數(shù)的分解熟練后，就不必再寫出中間變量，而可按下列各題的方式進行計算.例3設，求y′.解.例4設，求y′.解.例5設,求y′.解.二、反函數(shù)求導法定理2設函數(shù)y=f(x)與x=φ(y)互為反函數(shù)，f(x)在點x可導，φ(y)在相應點y處可導，且,則，或.簡單地說成：反函數(shù)的導數(shù)是其直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).證由x＝φ(y)=φ(f(x))及y=f(x)，x=φ(y)的可導性，利用復合函數(shù)的求導法，得1=φ′(f(x))f′(x)=φ′(y)f′(x)，故.例6設y=arcsinx，求y′.解由定理2及x=siny可知，這里記號表示求導是對變量y進行的.由上式得.同理可得：，，.三、參數(shù)方程求導法若方程x=φ(t)和y=ψ(t)確定y與x間的函數(shù)關系，則稱此函數(shù)關系所表達的函數(shù)為由參數(shù)方程t∈(α，β)(2-2所確定的函數(shù).下面我們來討論由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù).設t=φ1(x)為x=φ(t)的反函數(shù)，在t∈(α，β)中，函數(shù)x=φ(t)，y=ψ(t)均可導，這時由復合函數(shù)的導數(shù)和反函數(shù)的導數(shù)公式，有(φ′(t)≠0).于是由參數(shù)方程(2-2-2)所確定的函數(shù)y=y(φ′(t)≠0).(2-2例7設求.解(,n為整數(shù)).例8設∞＜t＜+∞,求.解(t≠±1).例9求極坐標方程r=eaθ(0＜θ＜π/4,a＞1)所確定的函數(shù)y=y(x)的導數(shù).解由極坐標與直角坐標的關系，得故.例10求橢圓在t=π/4處的切線方程和法線方程.解,所以在橢圓上對應于t=π/4的點處的切線和法線的斜率為，.切線方程和法線方程分別為bx+ay=ab和axby=(a2b2).四、隱函數(shù)求導法如果在含變量x和y的關系式F(x，y)=0中，當x取某區(qū)間I內(nèi)的任一值時，相應地總有滿足該方程的惟一的y值與之對應，那么就說方程F(x，y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù)y=y(x).這時y(x)不一定都能用關于x的表達式表示.例如方程ey+xyex=0和y=cos(x+y)都能確定隱函數(shù)y=y(x).如果F(x，y)=0確定的隱函數(shù)y=y(x)能用關于x的表達式表示，則稱該隱函數(shù)可顯化.例如x3+y51=0，解出，就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù).若方程F(x，y)=0確定了隱函數(shù)y=y(x)，則將它代入方程中，得F(x，y(x))≡0.對上式兩邊關于x求導(若可導)，并注意運用復合函數(shù)求導法則，就可以求出y′(x)來.例11求方程y=cos(x+y)所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導數(shù).解將方程兩邊關于x求導，注意y是x的函數(shù)，得y′=sin(x+y)(1+y′)，即，1+sin(x+y)≠0.例12求由方程ey+xyex=0所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導數(shù).解將方程兩邊關于x求導，得eyy′+y+xy′+ex=0，故(x+ey≠0).在計算冪指函數(shù)的導數(shù)以及某些乘冪、連乘積、帶根號函數(shù)的導數(shù)時，可以采用先取對數(shù)再求導的方法，簡稱對數(shù)求導法.它的運算過程如下：在y=f(x)(f(x)＞0)的兩邊取對數(shù)，得lny=lnf(x).上式兩邊對x求導，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得y′=y(lnf(x))′.例13求的導數(shù).解先在兩邊取對數(shù)，得.上式兩邊對x求導，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得，于是，即.例14設，u(x)＞0，其中u(x)，v(x)均可導，求y′.解兩邊取對數(shù)得lny=v(x)lnu(x)，兩邊對x求導，得，于是.特別地，當時，.例15求y=xsinx(x＞0)的導數(shù).解兩邊取對數(shù)得lny=sinxlnx.兩邊對x求導，得.于是.第三節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念定義1設函數(shù)y=f(x)在U(x0)內(nèi)有定義，若A∈R，使Δy=AΔx+o(Δx)(2-成立，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可微分(簡稱可微)，線性部分AΔx稱為f(x)在x0處的微分，記為dy=AΔx(其中Δx=xx0)，A稱為微分系數(shù).定義中的式(2-3，(2-3即式(2-3-1.于是便有下面的定理.定理1函數(shù)y=f(x)在點x0可微的充要條件是函數(shù)y=f(x)在點x0可導.當f(x)在點x0處可微時，必有dy=f′(x0)Δx.該定理說明函數(shù)的可微性與可導性是等價的.函數(shù)y=f(x)在任意點x的微分，稱為函數(shù)的微分，記為dy=f′(x)Δx.(2-例1設y=x，求dy.解因為y′=(x)′=1，所以dy=1×Δx=Δx.為方便起見,我們規(guī)定:自變量的增量稱為自變量的微分,記為dx=Δx.于是式(2-dy=f′(x)dx.(2-例2求y=sinx當x=π/4，dx=0.1時的微分.解dy=(sinx)′dx=cosxdx.當x=π/4,dx=0.1時，有.在幾何上，y=f(x)在x0處的微分dy=f′(x0)dx表示曲線y=f(x)在點M(x0，f(x0))處切線MT的縱坐標相應于Δx的改變量PQ(見圖2-2)，因此dy=Δxtanα.圖2-2二、微分的運算公式1.函數(shù)四則運算的微分設u=u(x)，v=v(x)在點x處均可微，則有d(Cu)=Cdu(C為常數(shù))，d(u+v)=du+dv，d(uv)=udv+vdu，.這些公式由微分的定義及相應的求導公式立即可證得.2.復合函數(shù)的微分若y=f(u)及u=φ(x)均可導，則復合函數(shù)y=f(φ(x))對x的微分為dy=f′(u)φ′(x)dx.(2-注意到du=φ′(x)dx，則函數(shù)y=f(u)對u的微分為dy=f′(u)du.(2-將(2-3-6)式與(2-3-4)式比較可知，無論u是自變量還是另一個變量的可微函數(shù)，微分形式dy=f′(u)du保持不變.此性質(zhì)稱為一階微分的形式不變性.由此性質(zhì)，我們可以把導數(shù)記號，等理解為兩個變量的微分之商了，因此，導數(shù)有時也稱例3設，利用微分形式不變性求dy.解記u=a2+x2，則y=，于是.又du=u′xdx=2xdx，故.為了讀者使用的方便，我們將一些基本初等函數(shù)的導數(shù)和微分對應列表如下.表2-1導數(shù)公式微分公式第四節(jié)高階導數(shù)與高階微分一、高階導數(shù)若函數(shù)y=f(x)在U(x)內(nèi)可導，其導函數(shù)為f′(x)，且極限存在，則稱該極限值為函數(shù)f(x)在點x處的二階導數(shù)，記為f″(x),,y″等.函數(shù)y=f(x)的二階導數(shù)f″(x)仍是x的函數(shù)，如果它可導，則f″(x)的導數(shù)稱為原函數(shù)f(x)的三階導數(shù)，記為,，等.一般說來，函數(shù)y=f(x)的n1階導數(shù)仍是x的函數(shù)，如果它可導，則它的導數(shù)稱為原來函數(shù)f(x)的n階導數(shù)，記為，，等.通常四階和四階以上的導數(shù)都采用這套記號，而不用“′”.一階、二階和三階導數(shù)則采用“′”的記號.由以上敘述可知，求一個函數(shù)的高階導數(shù)，原則上是沒有什么困難的，只需運用求一階導數(shù)的法則按下列公式計算(n=1,2,…)或寫成，.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有直到n階的連續(xù)的導數(shù)，我們使用記號f(x)∈Cn(I)來表示.例1設y=xn，n為正整數(shù)，求它的各階導數(shù).解,,……,……，.顯然，y=xn的n+1階以上的各階導數(shù)均為0.例2設y=sinx，求它的n階導數(shù).解，，設，則.由數(shù)學歸納法，知，n=1，2，….由此式我們可得到y(tǒng)=cosx的高階導數(shù)公式：，即，n=1，2，….例3設y=ln(1+x)，求.解，，,運用數(shù)學歸納法可知，n=1，2，3，….例4設y=ax(a＞0)，求.解，.設，則.故,n=1,2,….特別地,有,n=1,2,….對于高階導數(shù),有下面的運算法則:設函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點x處都具有直到n階的導數(shù),則u(x)±v(x),u(x)v(x)在點x處也具有n階導數(shù),且(u±v)(n)=u(n)±v(n),(2-=，(2-4其中u(0)=u，v(0)=v，.(2-4-2)式稱為萊布尼茨(Leibn(2-4-1)式由數(shù)學歸納法易證.(2-當n=1時，由(uv)′=u′v+uv′知公式成立.設當n=k時公式成立，即.兩邊求導，得，即n=k+1時公式(2-4-2)也成立，從而(2-4例5設y=x2·e2x，求y(20).解設u=e2x，v=x2，則u(i)=2i·e2x(i=1，2，…，20)，v′=2x，v″=2,v(i)=0(i=3,4,…,20).代入萊布尼茨公式,得y(20)=(x2·e2x)(20).例6設ex+yxy=1，求y″(0).解方程兩邊對x求導，得(1+y′)ex+yyxy′=0.上式兩邊再對x求導，得(1+y′)2ex+y+y″ex+y2y′xy″=0.令x=0，可得y=0，y′(0)=1，將這些值代入上式得y″(0)=2.例7已知求.解.注意，x=acost仍是參數(shù)方程，所以仍須用參數(shù)方程求導法則，從而.*二、高階微分對于函數(shù)y=f(x)，類似于高階導數(shù)可以定義高階微分.設f(x)有直至n階的導數(shù)，自變量的增量仍為dx，則二階微分定義為d2y=d(dy)=d(f′(x)dx)=d(f′(x))dx=f″(x)dx·dx=f″(x)dx2；三階微分定義為d3y=d(d2y)=d(f″(x)dx2)=d(f″(x))dx2=(x)dxdx2=(x)dx3;一般地，定義n階微分為dny=d(dn1y)=f(n)(x)dxn.(2-以上公式中的x都是自變量，dxn表示n個dx的乘積(n=2,3,4,…).對于復合函數(shù)來說，二階及二階以上的微分已不再具有公式(2-4-3)的形式了.例如,設y=f(u)，u=φdy=f′(u)du，而d2y=d(f′(u)du)=d(f′(u))du+f′(u)d(du)=f″(u)du2+f′(u)d2u.(2-這是因為du不再是固定的了，它依賴于自變量x，即du=φ′(x)dx.(2-4例8設y=xsinx，求d2y.解dy=(xsinx)′dx=(sinx+xcosx)dx;d2y=d(dy)=(sinx+xcosx)′dx2=(cosx+cosxxsinx)dx2=(2cosxxsinx)dx2.例9設u=u(x),v=v(x)均有二階導數(shù),y=u(x)v(x),求d2y.解dy=y′dx=［u(x)v(x)］′dx=［u′(x)v(x)+u(x)v′(x)］dxd2y=d(dy)=d［(u′(x)v(x)+u(x)v′(x))dx］=［u′(x)v(x)+u(x)v′(x)］′dx2=［u″(x)v(x)+2u′(x)v′(x)+u(x)v″(x)］dx2.第五節(jié)微分中值定理本節(jié)介紹微分學中有重要應用的反映導數(shù)更深刻性質(zhì)的微分中值定理.定理1[羅爾(Rolle)定理]若f(x)∈C(［a,b］),f(x)在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則ξ∈(a，b)使得f′(ξ)=0.證由f(x)∈C(［a，b］)知f(x)在［a，b］上必取得最大值M與最小值m.若M＞m，則M與m中至少有一個不等于f(x)在區(qū)間端點的值.不妨設M≠f(a).由最值定理，ξ∈(a,b),使f(ξ)=M.又，，故f′(ξ)=0.若M=m，則f(x)在［a，b］上為常數(shù)，故(a，b)內(nèi)任一點都可成為ξ，使f′(ξ)=0.羅爾定理的幾何意義是：若y=f(x)滿足定理的條件，則其圖像在［a，b］上對應的曲線弧AB上一定存在一點具有水平切線，如圖2-3所示.圖2-3定理2［拉格朗日(Lagrange)中值定理］若f(x)∈C(［a，b］)，f(x)在(a，b)內(nèi)可導，則ξ∈(a，b)使得f(b)f(a)=f′(ξ)(ba).(2-證考慮輔助函數(shù)Φ(x)=f(x)λx(其中λ待定)，為了使Φ(x)滿足定理1的條件，令Φ(a)=Φ(b)得λ=，即Φ(x)=f(x)x.于是由定理1,ξ∈(a，b)，使Φ′(ξ)=0，即f(b)f(a)=f′(ξ)(ba).如圖2-4所示，連結曲線弧兩端的弦，其斜率為.因此，定理的幾何意義是：滿足定理條件的曲線弧上一定存在一點具有平行于弦的切線.圖2-4顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.式(2-5-1)稱為拉格朗日中值公式，顯然，當b＜a時，式(2-5設x和x+Δx是(a，b)內(nèi)的兩點，其中Δx可正可負，于是在以x及x+Δx為端點的閉區(qū)間上有f(x+Δx)f(x)=f′(ξ)Δx，其中ξ為x與x+Δx之間的某值，記ξ=x+θΔx，0＜θ＜1，則f(x+Δx)f(x)=f′(x+θΔx)Δx(0＜θ＜1).(2-(2-5-2)推論1若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零，則f(x)在區(qū)間I上為一常數(shù).證x1，x2∈I，x1＜x2，在［x1,x2］上應用定理2,得f(x2)f(x1)=f′(ξ)(x2x1),ξ∈(x1,x2).由于f′(ξ)=0,故f(x2)=f(x1).由x1,x2的任意性可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間I上為一常數(shù).在第一節(jié)我們知“常數(shù)的導數(shù)為零”，推論1就是其逆命題.由推論1立即可得以下結論.推論2若x∈I，f′(x)=g′(x)，則在I上f(x)=g(x)+C(C為常數(shù)).例1求證arcsinx+arccosx=，x∈［1，1］.證令f(x)=arcsinx+arccosx，則f′(x)==0，x∈(1，1).由推論1得f(x)=C，x∈(1，1).又因f(0)=，且f(±1)=.故f(x)=arcsinx+arccosx=,x∈［1,1］.例2證明不等式arctanx2arctanx1≤x2x1(其中x1＜x2).證設f(x)=arctanx，在［x1，x2］上利用拉格朗日中值定理，得arctanx2arctanx1=(x2x1)，x1＜ξ＜x2.因為≤1，所以arctanx2arctanx1≤x2x1.例3設函數(shù)f(x)=x(x2)(x4)(x6)，說明方程f′(x)=0在(∞，+∞)內(nèi)有幾個實根，并指出它們所屬區(qū)間.解因為f′(x)是三次多項式，所以方程f′(x)=0在(∞，+∞)內(nèi)最多有3個實根.又由于f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0，f(x)在區(qū)間［0，2］，［2，4］，［4，6］上滿足羅爾定理的條件.故ξ1∈(0，2)，ξ2∈(2，4)，ξ3∈(4，6)，使f′(ξ1)=0，f′(ξ2)=0，f′(ξ3)=0.即方程f′(x)=0在(∞，+∞)內(nèi)有3個實根，分別屬于區(qū)間(0，2)，(2，4)，(4，6).例4若f(x)＞0在［a，b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，則ξ∈(a，b)，使得.證原式即.令φ(x)=lnf(x),有φ′(x)=.顯然φ(x)在［a，b］上滿足拉格朗日中值定理的條件，在［a，b］上應用定理可得所證.下面再考慮由參數(shù)方程x=g(t)，y=f(t)，t∈［a，b］給出的曲線段，其兩端點分別為A(g(a)，f(a))，B(g(b)，f(b)).連結A，B的弦的斜率為(見圖2-5)，而曲線上任何一點處的切線斜率為.圖2-5若曲線上存在一點C［對應參數(shù)t=ξ∈(a，b)］，在該點曲線的切線與弦平行，則可得.定理3［柯西(CaUchy)中值定理］若f(x)，g(x)∈C(［a，b］)均在(a，b)內(nèi)可導，且g′(x)≠0，則ξ∈(a，b)使得.證由g′(x)≠0和拉格朗日中值定理得g(b)g(a)=g′(η)(ba)≠0,η∈(a,b).由此有g(b)≠g(a)，考慮輔助函數(shù)Φ(x)=f(x)λg(x)(λ待定).為使Φ(x)滿足羅爾中值定理的條件，令Φ(a)=Φ(b)，得λ=.取λ的值如上，由羅爾定理知ξ∈(a，b)，使Φ′(ξ)=0，即，即.由此定理得證.顯而易見,若取g(x)≡x,則定理3成為定理2,因此定理3是定理1,2的推廣,它是這三個中值定理中最一般的形式.例5設函數(shù)f(x)在［x1,x2］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導,且x1·x2＞0，證明ξ∈(x1，x2)，使.證原式可寫成.令φ(x)=，ψ(x)=.它們在［x1，x2］上滿足柯西中值定理的條件，且有=f(x)xf′(x).應用柯西中值定理即得所證.第六節(jié)泰勒公式在本章前面已知道，如果f(x)在點x0處可微，則f(x)=f(x0)+f′(x0)(xx0)+o(xx0).此式表明：對于任何在x0處有一階導數(shù)的函數(shù)，在U(x0)內(nèi)能用關于(xx0)的一個一次多項式來近似表示它，多項式的系數(shù)就是該函數(shù)在x0處的函數(shù)值和一階導數(shù)值，這種近似表示的誤差是比(xx0)高階的無窮小.于是，人們猜想：如果函數(shù)f(x)在點x0處有n階導數(shù)，則可以用一個關于(xx0)的n次多項式來近似表示f(x)，該多項式的系數(shù)僅與函數(shù)f(x)在點x0的函數(shù)值和各階導數(shù)值有關，這種近似表示的誤差是比(xx0)n高階的無窮小.泰勒(Taylor)對這個猜想進行了研究，并得到了下面的結論.定理1(泰勒中值定理)若f(x)在U(x0)內(nèi)具有n+1階導數(shù)，則x∈U(x0)，有f(x)=,(2-6其中Rn(x)=o((xx0)n)，且,0＜θ＜1.(2-6公式(2-6-1)稱為f(x)在點x0的n階泰勒公式，式中Rn(x)稱為余項.式(2-6-2)表示的余項稱為拉格朗日余項，而Rn(x)=o((xx0)n)稱為皮亞諾(Pean稱為n階泰勒多項式.運用泰勒多項式近似表示函數(shù)f(x)的誤差可由余項進行估計.例如，若x∈U(x0)，有｜f(n+1)(x)｜≤M，則可得誤差估計式.特別地，當公式(2-6-1)中的x0=0時，通常稱為麥克勞林(MaclaUrinf(x)=∑nk=0f(k)(0)k！xk+Rn(x)，(2其中，0＜θ＜1.很顯然，拉格朗日中值公式是帶拉格朗日余項的零階泰勒公式，泰勒中值定理也是拉格朗日中值定理的推廣.例1求f(x)=ex的n階麥克勞林公式.解f(k)(x)=ex，f(k)(0)=1(k=0，1，2，…).ex=.其拉格朗日余項為,θ∈(0,1).例2求f(x)=sinx的n階麥克勞林公式.解f(k)(x)=(k=0，1，2，…)，故(j=0，1，2，…).取n=2msinx=.其拉格朗日余項為，θ∈(0，1).類似地有cosx=，其拉格朗日余項為,θ∈(0,1).例3求f(x)=ln(1+x)的n階麥克勞林展開式.解，(k=1,2,…),故f(k)(0)=(1)k1(k1)!(k=1,2,…,n).又f(0)=0,f(n+1)(ξ),其中，ξ在0與x之間.于是,當x∈(1,+∞)時,ln(1+x)=,其中ξ在0與x之間.利用泰勒公式可以求極限.例4求極限.解利用泰勒公式,有cosx=,,于是.所以.第七節(jié)洛必達法則本節(jié)我們將利用微分中值定理來考慮某些重要類型的極限.由第二章我們知道在某一極限過程中,f(x)和g(x)都是無窮小量或都是無窮大量時,f(x)/g(x)的極限可能存在,也可能不存在.通常稱這種極限為不定式(或待定型),并分別簡記為或.洛必達(L’Hospital)法則是處理不定式極限的重要工具，是計算型、型極限的簡單而有效的法則.該法則的理論依據(jù)是柯西中值定理.一、型不定式定理1設f(x)，g(x)滿足：(1)f(x)=0，g(x)=0；(2)在(x0)內(nèi)可導，且g′(x)≠0;(3)f′(x)g′(x)存在(或為∞)，則=.證由于極限與f(x)和g(x)在x=x0處有無定義沒有關系，不妨設f(x0)=g(x0)=0.這樣，由條件(1)、(2)知f(x)及g(x)在U(x0)連續(xù).設x∈U(x0)，則在［x，x0］或［x0，x］上，柯西中值定理的條件得到滿足，于是有,其中ξ在x與x0之間.令x→x0(從而ξ→x0)，上式兩端取極限，再由條件(3)就得到==，對于當x→∞時的型不定式，洛必達法則也成立.推論1f(x)，g(x(1)f(x)=0，g(x)=0；(2)當｜x｜＞X時可導，且g′(x)≠0;(3)存在(或為∞)，則.證令t=，則x→∞時t→0，從而，.由定理1，得.顯然，若lim仍為型不定式，且f′(x)，g′(x)滿足定理條件，則可繼續(xù)使用洛必達法則而得到,且仍然可以依此類推.例1求.解.例2求.解.二、型不定式定理2設f(x)，g(x)滿足(1)f(x)=∞，g(x)=∞；(2)在(x0)內(nèi)可導，且g′(x)≠0;(3)存在(或為∞)，則.該定理也是應用柯西中值定理來證明的，因過程較繁，故略.推論2若f(x)，g(x)滿足(1)f(x)=∞，g(x)=∞；(2)當｜x｜＞X時可導，且g′(x)≠0；(3)存在(或為∞)，則.例3求(α＞0).解.例4求(α＞0).解.若0＜α≤1，則上式右端極限為0；若α＞1，則上式右端仍是型不定式，這時總存在自然數(shù)n使n1＜α≤n，逐次應用洛必達法則直到第n次有.故(α＞0).例5求.解.使用洛必達法則時要注意驗證定理條件，不可妄用，否則會導致錯誤結果.例如，在例1中，已不是不定式，故不能再使用洛必達法則.另外，由于本節(jié)定理是求不定式的一種方法，當定理條件成立時，所求極限存在(或為∞)，但當定理條件不成立時，所求極限也可能存在，例如，但不存在.三、其他不定式對于函數(shù)極限的其他一些不定式，例如0·∞，∞∞，00，1∞和∞0型等，處理它們的總原則是設法將其轉化為或型，再應用洛必達法則.例6求.解.例7求.解.例8求.解設y=xsinx，則lny=sinxlnx，.由y=elny有，所以.例9求.解設，則.而，故.洛必達法則是求不定式的一種有效方法，但不是萬能的.我們要學會善于根據(jù)具體問題采取不同的方法求解，最好能與其他求極限的方法結合使用，例如能化簡時應盡可能先化簡，可以應用等價無窮小替代重要極限時，應盡可能應用，這樣可以使運算簡捷.例10求.解先進行等價無窮小的代換.由sinx~x(x→0)，則有.習題二1設s=gt2，求dsdtt=2.2(1)設f(x)=1x，求f′(x0)(x0≠0);(2)設f(x)=x(x1)(x2)·…·(xn)，求f′(0).3試求過點(3，8)且與曲線y=x2相切的直線方程4下列各題中均假定f′(x0)存在，按照導數(shù)定義觀察下列極限，指出A表示什么：(1)limΔx→0f(x0Δx)f(x0)Δx=A；(2)f(x0)=0，limx→x0f(x)x0x=A；(3)limh→0f(x0+h)f(x0h)h=A.5求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=x；(2)y=13x2；(3)y=x2·3x2x5.6討論函數(shù)y=3x在x=0點處的連續(xù)性和可導性.7如果f(x)為偶函數(shù)，且f′(0)存在，證明f′(0)=0.8求下列函數(shù)在x0處的左、右導數(shù)，從而證明函數(shù)在x0處不可導：(1)y=sinx，x≥0，x3，x＜0，x0=0；(2)y=x1+e1x，x≠0,0,x=0,x0=0;(3)y=x,x≥1,x2,x＜1，x0=1.9已知f(x)=sinx，x＜0，x，x≥0，求f′(x).10設函數(shù)f(x)=x2，x≤1，ax+b，x＞1為了使函數(shù)f(x)在x=1點處連續(xù)且可導，a，b應取什么值？11討論下列函數(shù)在指定點的連續(xù)性與可導性：(1)y=｜sinx｜，x=0；(2)y=x2sin1x，x≠0,0,x=0,x=0；(3)y=x，x≤1，2x，x＞1，x=1.12證明：雙曲線xy=a2上任一點處的切線與兩坐標軸構成的三角形的面積都等于2a2.13垂直向上拋一物體，其上升高度與時間t的關系式為h(t)=10t12gt2(m)，求：(1)物體從t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度；(2)速度函數(shù)v(t)；(3)物體何時到達最高點.14設物體繞定軸旋轉，在時間間隔［0，t］內(nèi)，轉過角度θ，從而轉角θ是t的函數(shù)：θ=θ(t).如果旋轉是勻速的，那么稱ω=θt為該物體旋轉的角速度.如果旋轉是非勻速的，應怎樣確定該物體在時刻t0的角速度？15設Q=Q(T)表示重1單位的金屬從0℃加熱到T℃所吸收的熱量，當金屬從T℃升溫到(T+ΔT)℃時，所需熱量為ΔQ=Q(T+ΔT)Q(T)，ΔQ與ΔT之比稱為T到T+ΔT的平均比熱，試解答如下問題：(1)如何定義在T℃時，金屬的比熱；(2)當Q(T)=aT+bT2(其中a，b均為常數(shù))時，求比熱.16已知f(x)在x=x0點可導，證明：limh→0f(x0+αh)f(x0βh)h=(α+β)f′(x0).17求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)S=3lnt+sinπ7；(2)y=xlnx；(3)y=(1x2)·sinx·(1sinx)；(4)y=1sinx1cosx；；

(5)y=tanx+eπ；(6)y=secxx3secx；(7)y=lnx2lglgx+3loglog2x；(8)y=11+x+x2.18求下列函數(shù)在給定點處的導數(shù)：(1)y=xsinx+12cosx，求dydxx=π4；(2)f(x)=35x+x25，求f′(0)和f′(2)；(3)f(x)=5x4，x≤1，4x23x，x＞1，求f′(1).19設P(x)=f1(x)f2(x)…fn(x)≠0,且所有的函數(shù)都可導，證明：

P′(x)P(x)=f′1(x)f1(x)+f′2(x)f2(x)+…+f′n(x)fn(x).20求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=e3x；(2)y=arctanx2；(3)y=e2x+1；(4)y=(1+x2)·ln(x+1+x2)；(5)y=x2·sin1x2；(6)y=cos2ax3(a為常數(shù))；(7)y=arccos1x；(8)y=(arcsinx2)2；(9)y=1+ln2x；(10)y=sinnx·cosnx；(11)y=1+x1x1+x+1x；(12)y=arcsin1x1+x；(13)y=lncosarctan(sinhx)；(14)y=x2a2x2+a22arcsinxa(a＞0為常數(shù)).21y=arccosx3326xx，求y′x=3.22試求曲線y=ex·3x+1在點(0，1)及點(1，0)處的切線方程和法線方程.23設f(x)可導，求下列函數(shù)y的導數(shù)dydx：(1)y=f(x2)；(2)y=f(sin2x)+f(cos2x)24求下列隱函數(shù)的導數(shù)：(1)x3+y33axy=0；(2)x=yln(xy)；(3)xey+yex=10；(4)ln(x2+y2)=2arctanyx；(5)xy=ex+y.25用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=x+2·(3x)4(x+1)5；(2)y=(sinx)cosx；(3)y=e2x(x+3)(x+5)(x4).26求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)dydx：(1)x=acosbt+bsinat,y=asinbtbcosat,(a,b為常數(shù))；

(2)x=θ(1sinθ)，y=θcosθ27已知x=etsint，y=etcost，求當t=π3時dydx的值.28設f(x)=｜xa｜φ(x)，其中a為常數(shù)，φ(x)為連續(xù)函數(shù)，討論f(x)在x=a處的可導性.29已知f(x)=maxmax{x2,3},求f′(x).30若f(1x)=ex+1x，求f′(x).31若f′(π3)=1，y=f(arccos1x)，求dydxx=2.32求函數(shù)y=12ln1+x1x的反函數(shù)x=φ(y)的導數(shù).33已知y=f(x)的導數(shù)f′(x)=2x+1(1+x+x2)2，且f(1)=1，求y=f(x)的反函數(shù)x=φ(y)的導數(shù)φ′(1).34在括號內(nèi)填入適當?shù)暮瘮?shù)，使等式成立：(1)d()=costdt；(2)d()=sinωxdx；(3)d()=11+xdx；(4)d()=e2xdx；(5)d()=1xdx；(6)d()=sec23xdx；(7)d()=1xlnxdx；(8)d()=x1x2dx.35根據(jù)下面所給的值，求函數(shù)y=x2+1的Δy，dy及Δydy：(1)當x=1，Δx=0.1時；(2)當x=1，Δx=0.01時.36求下列函數(shù)的微分：(1)y=xex；(2)y=lnxx；(3)y=cosx；(4)y=5lntanx；(5)y=8xx6e2x；(6)y=arcsinx+(arctanx)2.37求由下列方程確定的隱函數(shù)y=y(x)的微分dy：(1)y=1+xey；(2)x2a2+y2b2=1；(3)y=x+12siny；(4)y2x=arccosy.38利用微分求下列各數(shù)的近似值：(1)381;(2)ln0.99;(3)arctan1.02.39設a＞0，且｜b｜與an相比是很小的量，證明：nan+b≈a+bnan1.40利用一階微分形式的不變性，求下列函數(shù)的微分，其中f和φ均為可微函數(shù)：(1)y=f(x3+φ(x4))；(2)y=f(12x)+3sinf(x).41求下列函數(shù)的高階微分：(1)y=1+x2，求d2y；(2)y=xx，求d2y；(3)y=x·cos2x，求d10y；(4)y=x3·lnx，求dny；(5)r2·cos3θa2sin3θ=0(a為常數(shù))，求d2r.42求自由落體運動s(t)=12gt2的加速度.:43求n次多項式y(tǒng)=a0xn+a1xn1+…+an1x+an的n階導數(shù).44設f(x)=ln(1+x)，求f(n)(x).45驗證函數(shù)y=exsinx滿足關系式y(tǒng)″2y′+2y=0.46求下列函數(shù)的高階導數(shù):(1)y=ex·sinx，求y(4)；(2)y=x2·e2x，求y(6)；(3)設y=x2·sinx，求y(80).47求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的二階導數(shù)d2ydx2:(1)b2x2+a2y2=a2b2；(2)y=1+xey；(3)y=tan(x+y)；(4)y2+2lny=x4.48已知f″(x)存在，求d2ydx2：(1)y=f(x2)；(2)y=lnf(x).49求由下列參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導數(shù)d2ydx2:(1)x=a(tsint)，y=a(1cost)，(a為常數(shù))；(2)x=f′(t)，

y=tf′(t)f(t)，設f″(t)存在且不為零.50求下列函數(shù)在指定點的高階導數(shù)：(1)f(x)=x1+x2，求f″(0);(2)f(x)=e2x1,求f″(0),f(0);(3)f(x)=(x+10)