熱點(diǎn)06 方程組與不等式的7種題型（解析版）

熱點(diǎn)06方程組與不等式的7種題型方程組與不等式：掌握解二元一次方程組的兩種方法——代入消元法和加減消元法，掌握解一元一次不等式（組）的一般步驟；期末試卷中通常會考察3道小題和1道大題，大多數(shù)情況下，解答題第4題為解方程組與解不等式（組）的拼接題；（1）解二元一次方程組時(shí)，部分題可能會涉及整體思想，可以適當(dāng)化簡運(yùn)算；（2）解三元一次方程期末考得較少，但也必須自行復(fù)習(xí)，以防萬一；（3）對于不等式的性質(zhì)，要注意兩點(diǎn)：一是在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一定要改變不等號的方向，二是當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時(shí)，一定要對字母進(jìn)行分類討論，分三種情況——字母大于0、等于0、小于0；（4）解一元一次不等式時(shí)，在系數(shù)化為1這個(gè)步驟，一定要仔細(xì)確認(rèn)不等號的方向是否要改變，若涉及解集的數(shù)軸表示，則需要注意區(qū)分實(shí)心點(diǎn)與空心圈?！绢}型1二元一次方程的定義與解】1．（2022·連云港·期末）下列各方程中是二元一次方程的是A． B． C． D．【詳解】解：、本方程符合二元一次方程的定義，故本選項(xiàng)正確；、本方程是三元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、本方程是二元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、本方程不是整式方程，是分式方程．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故本題選：．2．（2022·淮安·期末）如果是二元一次方程，那么、的值分別是A．3、1 B．3、2 C．2、1 D．2、【詳解】解：由題意得：，解得：．故本題選：．3．（2022·如皋·期末）如果，是關(guān)于，的二元一次方程的一個(gè)解，則的值為A． B． C． D．【詳解】解：把代入方程得：，解得：，故本題選：．4．（2022·淮安·期末）寫出二元一次方程的一個(gè)非負(fù)整數(shù)解．【詳解】解：，，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；則方程的非負(fù)整數(shù)解為，，．故本題答案為：（答案不唯一）．5．（2022·連云港·期末）已知，，用含的代數(shù)式表示，可得．【詳解】解：，，代入得：，即．故本題答案為：．【題型2由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組】1．（2022·蘇州·期末）一輛汽車從地駛往地，前路段為普通公路，其余路段為高速公路．已知汽車在普通公路上行駛的速度為，在高速公路上行駛的速度為，汽車從地到地一共行駛了．設(shè)普通公路長、高速公路長分別為、，則可列方程組為A． B． C． D．【詳解】解：設(shè)普通公路長、高速公路長分別為、，依題意得：．故本題選：．2．（2022·常州·期末）《算法統(tǒng)宗》中有一道題為“隔溝計(jì)算”，其原文是：甲乙隔溝放牧，二人暗里參詳，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙說得甲九只羊，二家之?dāng)?shù)相當(dāng)，兩人閑坐惱心腸，畫地算了半晌．這個(gè)題目的意思是：甲、乙兩個(gè)牧人隔著山溝放羊，兩人都在暗思對方有多少只羊，甲對乙說：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙對甲說：“我若得你9只羊，我們兩家的羊數(shù)就一樣多．”設(shè)甲有只羊，乙有只羊，根據(jù)題意列出二元一次方程組為A． B． C． D．【詳解】解：設(shè)甲有只羊，乙有只羊，根號題意得：．故本題選：．3．（2022·海門&海安·期末）《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木、不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸，屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”譯文：“用一根繩子量一根長木，繩子還剩余4.5尺，將繩子對折再量長木，結(jié)果比長木短1尺，問木長多少尺？”設(shè)繩長尺，木長尺，可列方程組為．【詳解】解：由題意可得：．故本題答案為：．4．（2022·南通&如皋&靖江·期末）《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文：“假設(shè)有甲乙二人，不知其錢包里有多少錢，若乙把自己一半的錢給甲，則甲的錢數(shù)為50；而甲把自己的錢給乙，則乙的錢數(shù)也能為50．問甲、乙各有多少錢？”設(shè)甲持錢數(shù)為，乙持錢數(shù)為，可列方程組為．【詳解】解：由題意可得：．故本題答案為：．【題型3解二元一次方程組】1．（2022·泰興·期末）解下列二元一次方程組：（1）；（2）．【詳解】解：（1）將代入另一方程得：，解得：，，方程組的解為；（2）方程組整理得：，①②得：，解得：，把代入①得：，解得：，方程組的解是．2．（2022·丹陽·期末）若是關(guān)于、的二元一次方程組的解，則．【詳解】解：是關(guān)于、的二元一次方程組的解，，①②得：，解得：，①②得：，解得：，．故本題答案為：．3．（2022·靖江·期末）關(guān)于，的方程組的解滿足，則．【詳解】解：，①②得：，，，解得：．故本題答案為：7．4．（2022·宿遷·期末）解方程組時(shí)，一學(xué)生把看錯(cuò)而得到，而正確的解是，那么，，的值是A．不能確定 B．，， C．、不能確定， D．，，【詳解】解：根據(jù)題意可得：，解得：，根據(jù)題意可得：，①②可得：，把代入①，解得：，，，．故本題選：．5．（2022·泰興·期末）已知中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則．【詳解】解：中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，②①得：，解得：，把代入①得：，解得：，．故本題答案為：24．6．（2022·蘇州·期末）已知關(guān)于，的方程組（1）請直接寫出方程的所有正整數(shù)解；（2）若方程組的解滿足，求的值；（3）無論實(shí)數(shù)取何值，方程總有一個(gè)固定的解，請直接寫出這個(gè)解？（4）若方程組的解中恰為整數(shù)，也為整數(shù)，求的值．【詳解】解：（1）方程，，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，方程的所有正整數(shù)解為：，；（2）由題意得：，解得：，把代入，解得：；（3），，當(dāng)時(shí)，，即固定的解為：；（4），①②得：，，，恰為整數(shù)，也為整數(shù)，是1的約數(shù)，或，或．7．（2022·鹽城·期末）若，則的值是A．5 B．0 C．15 D．【詳解】解：，，①②得：，．故本題選：．8．（2022·蘇州·期末）閱讀下列材料：解方程組：解：由①得：③，將③代入②得：，解這個(gè)一元一次方程得：，從而求得．這種思想被稱為“整體思想”．請用“整體思想”解決下面問題：（1）解方程組：；（2）在（1）的條件下，若，是兩條邊的長，且第三邊的長是奇數(shù)，求的周長．【詳解】解：（1）由①得：③，將③代入②得：，即，將代入③得：，則方程組的解為；（2）兩條邊長是7和4，第三邊長小于11并且大于3，第三邊的長是奇數(shù)，第三邊長是5或7或9，的周長是或或．9．（2022·泰州·期末）【情境呈現(xiàn)】：在解方程組時(shí)，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，也容易出錯(cuò)，如果把方程組中的、分別看作一個(gè)整體，通過換元：令、，可以將原方程組化為，解得，把代入、，得，解得，所以原方程組解為．【靈活運(yùn)用】：（1）若方程組的解為，則方程組的解為；（2）若方程組的解為，其中為常數(shù)．①求方程組的解：②是否存在負(fù)整數(shù)，使得①中方程組的解滿足，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：，解得：；故本題答案為：；（2）①由題意可得：，解得：，②由①得：，，，，又為負(fù)整數(shù)，不存在負(fù)整數(shù)使得①中方程組的解滿足．【題型4不等式的性質(zhì)】1．（2022·常州·期末）若，則（用“”或“”填空）．【詳解】解：，（不等式性質(zhì)，，（不等式性質(zhì)．故本題答案為：．2．（2022·如皋·期末）若，下列不等式不一定成立的是A． B． C． D．【詳解】解：、不等式的兩邊都加3，不等號的方向不變，故正確，不合題意；、不等式的兩邊都乘以，不等號的方向改變，故正確，不合題意；、不等式的兩邊都除以3，不等號的方向不變，故正確，不合題意；、如，，，，故錯(cuò)誤，符合題意．故本題選：．3．（2022·南京·期末）下列不等式變形正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【詳解】解：，，選項(xiàng)符合題意；若，則選項(xiàng)不符合題意；若，則，選項(xiàng)不符合題意；，時(shí)，，選項(xiàng)不符合題意．故本題選：．4．（2022·連云港·期末）若，則下列不等式不一定成立的是A． B． C． D．【詳解】解：．，，原變形正確，故不合題意；．，，原變形正確，故不合題意；．，，原變形正確，故不合題意；．，不妨設(shè)，，，原變形錯(cuò)誤，故符合題意．故本題選：．【題型5由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式】1．（2022·淮安·期末）“的3倍與1的差為負(fù)數(shù)”用不等式表示為．【詳解】解：依題意得：．故本題答案為：．2．（2022·海門·期末）把一些書分給若干名同學(xué)，若每人分12本，則有剩余；若______．依題意，設(shè)有名同學(xué)，可列不等式．則橫線上的條件應(yīng)該是A．每人分8本，則剩余5本 B．每人分8本，則恰好可多分給5個(gè)人 C．每人分5本，則剩余8本 D．其中一個(gè)人分8本，則其他同學(xué)每人可分5本【詳解】解：由不等式可得：把一些書分給幾名同學(xué)，若每人分8本，則恰好可多分給5個(gè)人，若每人分12本，則有剩余．故本題選：．【題型6解一元一次不等式】1．（2022·揚(yáng)州·期末）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來，并寫寫出所有的非正整數(shù)解．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)得：，合并得：，解得：，表示在數(shù)軸上，如圖所示：，不等式的非正整數(shù)解為，0．2．（2022·揚(yáng)州·期末）規(guī)定，若、滿足，，則的取值范圍是．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：①，②，由①得：③，把③代入②得：，解得：．故本題答案為：．3．（2022·如皋·期末）若方程組中的，滿足，則的取值范圍A． B． C． D．【詳解】解：，兩式相加得：，則，，，解得：．故本題選：．4．（2022·淮安·期末）若的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為．【詳解】解：將看作整體，則，解得：．故本題答案為：．5．（2022··期末）不等式的解集是，則的取值范圍是．【詳解】解：不等式的解集是，，解得：．故本題答案為：．6．（2022·鹽城·期末）已知關(guān)于的不等式只有三個(gè)負(fù)整數(shù)解，求的取值范圍．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，化簡整理得，因?yàn)殛P(guān)于的不等式只有三個(gè)負(fù)整數(shù)解，所以，即．【題型7解一元一次不等式組】1．（2022·海安·期末）解不等式組：并在數(shù)軸上表示不等式組的解集，并寫出所有的整數(shù)解．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：，不等式組的整數(shù)解為，0，1，2．2．（2022·高郵·期末）解不等式組，請結(jié)合題意完成本題的解答．（1）解不等式①得：；解不等式②得：；解不等式③得：；（2）把不等式①、②和③的解集在下列數(shù)軸上表示出來：（3）從圖中可以找出三個(gè)不等式解集的公共部分，得到不等式組的解集為．【詳解】解：（1）解不等式①得：；解不等式②得：；解不等式③得：；（2）把不等式①、②和③的解集在下列數(shù)軸上表示出來：（3）從圖中可以找出三個(gè)不等式解集的公共部分，得到不等式組的解集為；故本題答案為：（1），，；（3）．3．（2022·淮安·期末）已知．（1）請用含的式子表示；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值．【詳解】解：（1），，；（2）當(dāng)時(shí)，得：，解不等式①得：，解不等式②得：，故不等式組的解集為：．4．（2022·南通·期末）已知關(guān)于，的方程組的解都為非負(fù)數(shù)，，，且，則的取值范圍是．【詳解】解：解方程組得：，方程組的解都為非負(fù)數(shù)，，解得：，，，，，，故，，，，，，，．故本題答案為：．5．（2022·蘇州·期末）若關(guān)于的不等式組的解集是，則的取值范圍是A． B． C． D．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，關(guān)于的不等式組的解集是，，的取值范圍是．故本題選：．6．（2022·宿遷·期末）已知關(guān)于的不等式組無實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組無實(shí)數(shù)解，，解得：．故本題答案為：．7．（2022·連云港·期末）若關(guān)于的不等式組有解，且關(guān)于的方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組有解，，，，解得：，方程有非負(fù)整數(shù)解，且為整數(shù)，且為整數(shù)，且為整數(shù)，且為整數(shù)，，或，符合條件的所有整數(shù)的和為．故本題答案為：．8．（2022·高郵·期末）已知關(guān)于的不等式組的解集恰好只有一個(gè)整數(shù)解，若，均為整數(shù)，則的最大值是．【詳解】解：解不等式組得：，由題意得：，，解得：，，．故本題答案為：．1．（2022·南通·期末）若是方程的一個(gè)解，則的值是A． B． C．1 D．5【詳解】解：把代入得：，解得：．故本題選：．2．（2022·靖江·期末）已知關(guān)于，的方程，若將方程化為的形式，則．【詳解】解：，，，所以．故本題答案為：．3．（2022·宿遷）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果一間客房住9人，那么就空出一間客房，若設(shè)該店有客房間，房客人，則列出關(guān)于、的二元一次方程組正確的是A． B． C． D．【詳解】解：設(shè)該店有客房間，房客人，根據(jù)題意得：．故本題選：．4．（2022·揚(yáng)州·期末）解方程組：（1）；（2）．【詳解】解：，把①代入②得：，解得：，把代入①得：，原方程組的解為：；（2）原方程組可化簡為：，①得：③，②③得：，解得：，把代入①中得：，解得：，原方程組的解為：．5．（2022·南京·期末）已知、是二元一次方程組的解，則代數(shù)式．【詳解】解：原方程組變形為，，的值為10．故本題答案為：10．6．（2022·宿遷·期末）已知是二元一次方程組的解，則代數(shù)式的值為．【詳解】解：把代入二元一次方程組得：，②①得：．故本題答案為：2．7．（2022·揚(yáng)州·期末）已知關(guān)于、的方程組的解是請你運(yùn)用學(xué)過的方法求方程組中、的值．【詳解】解：設(shè)，，則方程組變形為，方程組的解是，，①②得：，，把代入①得：，，的值是2，的值是．8．（2022·揚(yáng)州·期末）如果，下列各式中正確的是A． B． C． D．【詳解】解：、當(dāng)時(shí)，不成立，故錯(cuò)誤；、若、異號，則，不等式兩邊都除以得：，所以，，故錯(cuò)誤；、不等式兩邊都乘以得：，故正確；、不等式兩邊都除以4得：，故錯(cuò)誤．故本題選：．9．（2022·儀征·期末）如圖1，一個(gè)容量為的杯子中裝有的水，將四顆相同的玻璃球放入這個(gè)杯子中，結(jié)果水沒有滿，如圖2，設(shè)每顆玻璃球的體積為，根據(jù)題意可列不等式為．【詳解】解：水的體積為，四顆相同的玻璃球的體積為，根據(jù)題意得：．故本題答案為：．10．（2022·連云港）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來，并寫出它的最小整數(shù)解．【詳解】解：去分母得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，將不等式解集表示在數(shù)軸上如下：，不等式的最小整數(shù)解是2．11．（2022·如皋·期末）已知、滿足．若，則的取值范圍為．【詳解】解：，，，，解得：．故本題答案為：．12．（2022·南京·期末）若關(guān)于、的方程組的解滿足，則的取值范圍是A． B． C． D．【詳解】解：，①②得：，解得：，把代入②得：，解得：，原方程組的解為，，，解得：．故本題選：．13．（2022·泰州·期末）已知，不等式解集為．【詳解】解：，，不等式的解集為．故本題答案為：．14．（2022·揚(yáng)州·期末）已知關(guān)于的不等式的正整數(shù)解是1，2，3，則的取值范圍是．【詳解】解：，，，，不等式正整數(shù)解為1、2、3，，解得：．故本題答案為：．15．（2022·宿遷·期末）解不等式組，把它的解集在數(shù)軸上表示出來，并寫出所有的整數(shù)解．【詳解】解：由得：，由，得：，則不等式組的解集為，，不等式組的整數(shù)解為：3，4