專題01 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計算（30題）（解析版）

專題第01講與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計算1．（2023春?秦都區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點E在AC邊上，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BD，連接DE、AD．（1）求證：AD＝CE；（2）若BC＝8cm，BE＝7cm，求△ADE的周長．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和判定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△CBE≌△ABD，即可得解；（2）由BC＝8cm，BE＝7cm，結(jié)合（1）的結(jié)論，等線段轉(zhuǎn)化，得到△ADE的周長．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝60°．∵BD是由BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，∴BD＝BE，∠EBD＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∴∠CBE＝∠ABD，∴△CBE≌△ABD（SAS），∴AD＝CE；（2）解：∵△ABC和△BED都是等邊三角形，∴AE+AD＝AE+CE＝AC＝BC＝8cm，DE＝BE＝7cm，∴△ADE的周長為AD+AE+DE＝8+7＝15cm．2．（2023春?北林區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上兩點，且∠EAF＝45°，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，連接EQ．（1）求證：EF＝EQ；（2）求證：EF2＝BE2+DF2．【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△AQE≌△AFE（SAS），進(jìn)而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再結(jié)合勾股定理得出答案．【解答】證明：（1）∵將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS）．∴EF＝EQ；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠ABQ＝∠ADF，∠ADF+∠ABD＝90°，則∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2．3．（2022秋?同心縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC邊上，將△BCD繞點C旋轉(zhuǎn)得到△ACE．（1）求證：△CDE是等邊三角形；（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周長．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，可得∠CDE＝60°＝∠ACB，可證DE∥BC；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝BD＝7，即可求△ADE的周長．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，∵將△BCD繞點C旋轉(zhuǎn)得到△ACE．∴CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴△CDE是等邊三角形；（2）解：∵將△BCD繞點C旋轉(zhuǎn)得到△ACE．∴AE＝BD＝7，∵△ADE的周長＝AE+DE+AD＝AE+DC+AD＝AE+AC，∴△ADE的周長＝7+8＝15．4．（2023春?清遠(yuǎn)期末）如圖，在△ABC中，點E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．（1）求證：BC＝EF；（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度數(shù)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AF，利用SAS證明△ABC≌△AEF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出EF＝BC；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠BAE＝180°﹣64°×2＝52°，那么∠FAG＝52°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝25°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠AGE＝∠FGC＝∠FAG+∠F＝77°．【解答】（1）證明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC與△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴BC＝EF；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝64°，∴∠BAE＝180°﹣64°×2＝52°，∴∠FAG＝∠BAE＝52°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝25°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝52°+25°＝77°，∴∠AGE＝77°．5．（2023春?白銀期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝120°，BC＝CD，AC⊥BD，點E在對角線BD上，將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段CF，連接DF．（1）求證：BE＝DF；（2）若EB＝EC，求證：AC⊥CF．【分析】（1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BCD＝∠ECF＝∠120°，CE＝CF，然后證明出△BEC≌△DFC（SAS），即可得到BE＝DF；（2）根據(jù)等邊對等角得到∠CBD＝∠CDB，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CDF＝∠CBD，進(jìn)而證明CF∥BD，最后利用平行線的性質(zhì)求解即可．【解答】證明：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：∠BCD＝∠ECF＝120°，CE＝CF，∴∠BCE＝∠DCF，又∵BC＝CD，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴BE＝DF；（2）∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，若EB＝EC，則∠CBD＝∠BCE＝∠CDB，∵△BEC≌△DFC（SAS），∴∠CDF＝∠CBD，∴∠DCF＝∠CDB，∴CF∥BD，∵AC⊥BD，∴AC⊥CF．6．（2023春?南城縣期中）如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將CO繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CD，連接OD，AO，BO，AD．（1）求證：BO＝AD；（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度數(shù)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以證明△BCO≌△ACD；（2）先證出△OCD是等邊三角形，又根據(jù)△BCO≌△ACD，得出AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ADO＝90°，等量代換得出∠BOC＝150°．【解答】（1）證明：∵CO繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CD，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴CA＝CB，∠BCA＝∠OCD＝60°，∴∠BCA＝∠OCD，∠BCO＝∠ACD，在△BCO和△ACD中，CA＝CB，∠BCO＝∠ACD，CO＝CD，∴△BCO≌△ACD（SAS），∴BO＝AD．（2）解：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴OD＝OC＝6，∠ODC＝60°，∵△BCO≌△ACD，∴AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC，∵OA＝10，∴OA2＝AD2+OD2，∴∠ADO＝90°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝90°+60°＝150°，∴∠BOC＝∠ADC＝150°．7．（2023春?羅源縣校級期中）如圖，先將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，再將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DG，連接BE、BG、AD，且AC＝4．（1）若∠ABC＝135°．B、E、D三點在同一條直線上，求BG的長；（2）若∠ABC＝90°，AC＝2CE，點P在邊AB上，求線段PD的最小值．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACD＝90°＝∠BCE，AB＝DE，BC＝CE，AC＝CD，∠ABC＝∠DEC＝135°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BEC＝45°＝∠CBE，可證∠BEC+∠CED＝180°，通過證明四邊形ABDG是矩形，可得AD＝BG，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）由垂線段最短可得當(dāng)PD⊥AB時，PD的長度有最小值，先證點P，點E，點D三點共線，由勾股定理可求DE的長，由正方形的性質(zhì)可得BC＝PE＝2，即可求解．【解答】解：（1）如圖，連接AG，∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，∠ACD＝90°＝∠BCE，∴AB＝DE，BC＝CE，AC＝CD，∠ABC＝∠DEC＝135°，∴∠BEC＝45°＝∠CBE，∴∠BEC+∠CED＝180°，∴B、E、D三點共線；∵將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DG，∴DE＝DG，∠EDG＝90°∴AB＝DE＝DG，∵∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠EDG＝180°，∴AB∥DG，∴四邊形ABDG是平行四邊形，又∵∠BDG＝90°∴四邊形ABDG是矩形，∴AD＝BG，∵AC＝CD＝4，∠ACD＝90°，∴AD＝AC＝4，BG＝4；（2）∵點P在邊AB上，∴當(dāng)PD⊥AB時，PD的長度有最小值，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ABC＝∠CED＝∠BCE＝90°，∴BC∥DE，∵∠ABC+∠BPD＝180°，∴DP∥BC，∴點P，點E，點D三點共線，∵AC＝2CE，∴BC＝CE＝2，又∵∠ABC＝∠BPE＝∠BCE＝90°，∴四邊形BPEC是正方形，∴BC＝PE＝2，∵CD＝AC＝4，CE＝2，∠CED＝90°，∴DE＝，∴DP＝2+2，∴線段PD的最小值為2+2．8．（2023春?成武縣期中）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．（1）如圖（1），CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；（2）如圖（2），將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝DC，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCB＝∠ACB，證明四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠DEC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明即可．【解答】（1）證明：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴∠DCB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD，∴四邊形ABDC為平行四邊形，∵AB＝AC，∴平行四邊形ABDC為菱形；（2）解：∠ACE+∠EFC＝180°，理由如下：∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ACB+∠ACF＝∠DEC+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝∠ACF，∵∠CEF+∠ECF+∠EFC＝180°，∴∠ACF+∠ECF+∠EFC＝180°，∴∠ACE+∠EFC＝180°．9．（2023春?九江期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADE處，分別延長BC與ED交于點F，連接AF、CE．（1）求證：FA平分∠CFE；（2）若S四邊形ABFD＝12，AC＝4，求CE的長．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，再利用角平分線的判定可得結(jié)論；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后三角形全等可得S四邊形ACFE＝12，再說明S△ACF＝S△AEF＝6，則CF＝3，最后利用面積法求出CE的長即可．【解答】（1）證明：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADE處，分別延長BC與ED交于點F，∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AF平分∠CFE；（2）解：∵S四邊形ABFD＝12，∴S四邊形ABFD＝S四邊形ACFD+S△ABC＝12，∴S四邊形ACFE＝12，∵FA平分∠CFE，∠ACF＝∠AEF＝90°，∴∠CAF＝∠EAF，∵AC＝AE，∴AF垂直平分CE，∴CF＝EF，∴S△ACF＝S△AEF＝6，∴CF＝3，在Rt△ACF中，由勾股定理得，AF＝5，∴CE＝．10．（2023春?盱眙縣期末）如圖，將矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG，點E在AD上，延長ED交FG于點H．連接BE、CH．（1）四邊形BEHC是怎樣的特殊四邊形？證明你的結(jié)論；（2）若BC長為2，則AB的長為時，四邊形BEHC為菱形．【分析】（1）依據(jù)題意可得到FE＝AB＝DC，∠F＝∠EDC＝90°，F(xiàn)H∥EC，利用平行線的性質(zhì)可證明∠FHE＝∠CED，然后依據(jù)AAS證明△EDC≌△HFE，由全等三角形的性質(zhì)可知EH＝EC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到BC＝EC，從而可證明EH＝BC，最后依據(jù)平行四邊形的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）連接BE．可證明△EBC為等邊三角形，則∠ABE＝30°，利用特殊銳角三角函數(shù)值可得到答案．【解答】解：（1）四邊形BEHC是平行四邊形．證明：∵四邊形FECG是矩形，∴FG∥EC，∴∠CED＝∠EHF，∵四邊形FECG是矩形，∴∠EDC＝∠F＝90°，DC＝FE，在△EDC和△HFE中，，∴△EDC≌△HFE（AAS），∴EH＝EC，∵矩形FECG由矩形ABCD旋轉(zhuǎn)得到，∴EH＝EC＝BC，EH∥BC，∴四邊形BEHC為平行四邊形；（2）當(dāng)AB＝時，四邊形BEHC是菱形，連接BE．∵四邊形BEHC為菱形，∴BE＝BC．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BC＝EC．∴BE＝EC＝BC．∴△EBC為等邊三角形．∴∠EBC＝60°．∴∠ABE＝30°．∴AB：BE＝：2．又∵BE＝CB＝2，∴AB＝．故答案為：．11．（2023春?平山縣期末）如圖，PQ∥MN，A、B分別為直線MN、PQ上兩點，且∠BAN＝45°，若射線AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點A、點B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：鐘表指針走動的方向為順時針方向）（1）a＝，b＝；（2）若射線AM、射線BQ同時旋轉(zhuǎn)，問至少旋轉(zhuǎn)多少秒時，射線AM、射線BQ互相垂直．（3）若射線AM繞點A順時針先轉(zhuǎn)動18秒，射線BQ才開始繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動多少秒時，射線AM、射線BQ互相平行？【分析】（1）依據(jù)|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，即可得到a，b的值；（2）依據(jù)∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABQ+∠BAM＝180°，即可得到射線AM、射線BQ第一次互相垂直的時間；（3）分兩種情況討論，依據(jù)∠ABQ'＝∠BAM″時，BQ'∥AM″，列出方程即可得到射線AM、射線BQ互相平行時的時間．【解答】解：（1）|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣1＝0，∴a＝5，b＝1，故答案為：5，1；（2）設(shè)至少旋轉(zhuǎn)t秒時，射線AM、射線BQ互相垂直．如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的射線AM、射線BQ交于點O，則BO⊥AO，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∵PQ∥MN，∴∠ABQ+∠BAM＝180°，∴∠OBQ+∠OAM＝90°，又∵∠OBQ＝t°，∠OAM＝5t°，∴t°+5t°＝90°，∴t＝15（s）；（3）設(shè)射線AM再轉(zhuǎn)動t秒時，射線AM、射線BQ互相平行．如圖，射線AM繞點A順時針先轉(zhuǎn)動18秒后，AM轉(zhuǎn)動至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，分兩種情況：①當(dāng)9＜t＜18時，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°，當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM″時，BQ'∥AM″，此時，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得t＝15；②當(dāng)18＜t＜27時，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM″時，BQ'∥AM″，此時，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得t＝22.5；綜上所述，射線AM再轉(zhuǎn)動15秒或22.5秒時，射線AM、射線BQ互相平行．12．（2023春?振興區(qū)校級期中）如圖（1），在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，射線BM⊥BC于點C，動點D從點B出發(fā)沿射線BM方向運動；以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒；（1）以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將AD逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段AE，連接BE，BE是否存在最小值，不存在，則說明理由，存在則求出BE最小時的t值及BE的最小值；（2）若射線BN為∠ABM的平分線，當(dāng)點D從B點出發(fā)時，點F從點A向B點與點D同時同速運動（0≤t≤2），連接FD交BN于點G，當(dāng)△BGF為等腰三角形時，直接寫出所有可能的t值．?【分析】（1）根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)BE⊥AB時，BE為最小．過點A作AH⊥BM于點H，先證∠DAH＝∠E，進(jìn)而可依據(jù)“AAS”判定△AHD和△EBA全等，從而得AH＝BE，DH＝AB＝2，然后再求出BH＝1，AH＝√3，進(jìn)而可得出答案；（2）先求出MBN＝∠ABN＝30°，BD＝AF＝t，根據(jù)△BGF為等腰三角形，有以下三種情況：①當(dāng)GF＝BF時，則∠FBG＝∠FGB＝∠DBG＝30°，故此種情況不存在；②當(dāng)BF＝BG時，則∠GBF＝∠GFB＝30°，則∠BDF＝90°，據(jù)此得BF＝2BD＝2t，則AB＝AF+BF＝t+2t＝2，由此即可求出t的值；③當(dāng)BG＝BF時，則∠BGF＝∠BFG＝（180°﹣30°）＝75°，過點G作GT⊥BD于點T，先證△GDT為等腰直角三角形，設(shè)DT＝GT＝x，則BG＝2x，BT＝x，BD＝BT+DT＝（+1）x＝t，由此得，則BF＝BG＝2x＝（﹣1）t，再由AB＝BF+AF＝2得，由此即可求出t的值，綜上所述即可得出答案．【解答】解：（1）BE存在最小值．根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)BE⊥AB時，BE為最小．∵BE⊥AB，∴∠E+∠BAE＝90°，過點A作AH⊥BM于點H，如圖：∵M(jìn)B⊥BC，∴AH∥BC，∴∠HAB＝∠ABC＝30°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠DAH+∠HAB+∠BAE＝120°，∴∠DAH+∠BAE＝120°﹣∠HAB＝120°﹣30°＝90°，∴∠DAH＝∠E，∵AH⊥BM，BE⊥AB，∴∠AHD＝∠EBA＝90°，在△AHD和△EBA中，，∴△AHD≌△EBA（AAS），∴AH＝BE，DH＝AB＝2，∵BM⊥BC，∠ABC＝30°，∴∠ABD＝60°，在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，AB＝2，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝×2＝1，由勾股定理得：，∴，BD＝DH+BH＝2+1＝3，∴運動的時間t＝3÷1＝3秒，BE的最小值為；（2）由（1）可知：∠ABM＝60°，∵BN為∠ABM的平分線，∴MBN＝∠ABN＝30°，∵當(dāng)點D從B點出發(fā)時，點F從點A向B點與點D同時同速運動，速度每秒1個單位長度，時間為t秒，∴BD＝AF＝t，當(dāng)△BGF為等腰三角形時，有以下三種情況：①當(dāng)GF＝BF時，則∠FBG＝∠FGB＝30°，如圖：∵∠DBG＝30°，∴∠FGB＝∠DBG＝30°，這與三角形的任意一個外角都大于和它不相鄰的一個內(nèi)角相矛盾，此種情況不存在；②當(dāng)BF＝BG時，則∠GBF＝∠GFB＝30°，如圖：∵∠DBF＝60°，∴∠BDF＝90°，在Rt△BDF中，∠BFD＝30°，∴BF＝2BD＝2t，∴AB＝AF+BF＝t+2t＝2，解得：，③當(dāng)BG＝BF時，則∠BGF＝∠BFG＝（180°﹣30°）＝75°，過點G作GT⊥BD于點T，如圖：∵∠BGF＝∠DBG+∠GDT，∴∠GDT＝∠BGF﹣∠DBG＝75°﹣30°＝45°，∴△GDT為等腰直角三角形，設(shè)DT＝GT＝x，在Rt△BTG中，∠TBG＝30°，TG＝x，則BG＝2x，由勾股定理得：，∴，∴，∴BF＝BG＝2x＝（﹣1）t，∴AB＝BF+AF＝2，即：，解得：．綜上所述：當(dāng)△BGF為等腰三角形時，t的值為或．13．（2023春?遷安市期中）老師在黑板上出示題目：如圖1，在△ABC中，∠A＝32°，∠C＝55°，線段CB′與CB邊重合，CB′從現(xiàn)在的位置繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置是否有一位置使CB′∥AB？如果有這樣的位置，請畫出示意圖，并求出∠BCB′的度數(shù)，如果沒有說明理由（1）（如圖2）嘉嘉認(rèn)為：有這樣一個位置，使得CB′∥AB，如圖．請你按照嘉嘉的做法，求出∠BCB′的度數(shù)．（2）（如圖3）琪琪認(rèn)為：嘉嘉的想法不全面，還存在另外一種情況使得CB′∥AB你是否同意琪琪的說法？如果同意，請畫出圖形，并求出此時∠BCB′的度數(shù)；如果不同意，請說明理由．?【分析】（1）由CB′∥AB可得∠A+∠ACB′＝180°，再由∠A＝32°，得到∠ACB′＝148°，最后求出∠BCB′的度數(shù)即可；（2）由CB′∥AB可得∠B′CA＝∠A＝32°，再求出∠BCB′度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1當(dāng)CB′∥AB，所以∠A+∠ACB′＝180°，因為∠A＝32°，所以∠ACB′＝148°，因為∠ACB＝55°，所以∠BCB′＝148°﹣55°＝93°，（2）同意，如圖2當(dāng)CB′∥AB，所以∠B′CA＝∠A＝32°，所以∠BCB′＝∠B′CA+∠A＝87°，綜上∠BCB′＝87°或93°，14．（2022秋?青山湖區(qū)期末）閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB＝；（2）基本運用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如圖③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點O為Rt△ABC內(nèi)一點，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，從而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得證．（3）將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB＝2AC，即A′B的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO＝OO′，等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四點共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC＝A′C．【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易證△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案為：150°；（2）如圖2，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如圖所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四點共線，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．15．（2023春?清江浦區(qū)期末）如圖1，MN∥PQ，點A在直線MN上，點B在直線PQ上，射線AC繞點A順時針從射線AM旋轉(zhuǎn)至射線AN后便立即回轉(zhuǎn)；射線BD繞點B順時針從射線BP旋轉(zhuǎn)至射線BQ后便立即回轉(zhuǎn)：射線AC、射線BD不停地來回旋轉(zhuǎn)．若射線AC轉(zhuǎn)動的速度是a度/秒，射線BD轉(zhuǎn)動的速度是b度/秒，且a、b是方程a+3b＝6的正整數(shù)解．（1）a＝，b＝；（2）如圖2，若∠BAN＝45°，兩條射線同時轉(zhuǎn)動，在射線AC到達(dá)AN之前，若兩條射線交于點E，過E作EF⊥AC交PQ于F，若∠BEF＝20°，求∠BAC的度數(shù)；（3）若射線BD先轉(zhuǎn)動30秒，射線AC才開始轉(zhuǎn)動，在射線BD到達(dá)BQ之前，射線AC轉(zhuǎn)動幾秒，射線AC與射線BD互相平行？【分析】（1）根據(jù)二元一次方程的解，a，b為正整數(shù)，即可求解；（2）設(shè)運動時間為t，依題意，∠MAC＝3t，則∠EAN＝180°﹣∠MAE＝180°﹣3t°，∠PBE＝t°，過點E作EH∥PQ，則EH∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BEM＝180°﹣2t°，根據(jù)已知條件得出∠BEM＝70°，建立方程求得t，進(jìn)而得出∠EAN＝15°，根據(jù)∠BAN＝45°，進(jìn)而即可求解；（3）依題意，線BD先轉(zhuǎn)動30秒，射線AC才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)AC到達(dá)AN之前，當(dāng)AC從AN返回且到達(dá)AM前，根據(jù)平行線的性質(zhì)，列出方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵a+3b＝6，a，b為正整數(shù)，∴，∴a＝3，b＝1；（2）設(shè)運動時間為t，依題意，∠MAC＝3t，則∠EAN＝180°﹣∠MAE＝180°﹣3t°，∠PBE＝t°，過點E作EH∥PQ，則EH∥MN，∵EH∥PQ，∴∠PBE＝∠BEH，∵EH∥MN，∴∠HEM＝∠EAN，∴∠BEM＝∠BEH+∠MEH＝∠PBE+∠NAE＝180°﹣3t°+t°＝180°﹣2t°，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝90°，∵∠BEF＝20°，∴∠BEM＝70°，∴70°＝180°﹣2t°，解得：t＝55，∴∠EAN＝180°﹣3°×55＝15°，∴∠BAC＝∠BAN﹣∠EAN＝45°﹣15°＝30°；（3）依題意，線BD先轉(zhuǎn)動30秒，射線AC才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)AC到達(dá)AN之前，當(dāng)AC∥BD時，則∠MAC＝∠PBD，∴3t＝30+t，解得：t＝15；當(dāng)AC從AN返回且到達(dá)AM前，當(dāng)AC∥BD時，則∠CAN+∠PBD＝180°，∴3t﹣180+（30+t）＝180，解得：t＝82.5．16．（2023春?蒸湘區(qū)期末）如圖，有一副直角三角板如圖1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）在圖1中，∠DPC＝；（2）①如圖2，若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為10°/秒，轉(zhuǎn)動一周三角板PAC就停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為多少時，有PC∥DB成立；②如圖3，在圖1基礎(chǔ)上，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為3°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為2°/秒，當(dāng)PC轉(zhuǎn)到與PM位置重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠CPD＝∠BPM時，求旋轉(zhuǎn)的時間是多少？【分析】（1）根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；（2）①如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPN＝∠DBP＝90°，求得∠APN＝30°，于是得到結(jié)論；如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPB＝∠DBP＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CPA＝60°，求得∠APM＝30°，于是得到結(jié)論；②設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，由題知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，根據(jù)周角的定義得到∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案為：75°；（2）①如圖1，此時，BD∥PC成立，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為3秒；如圖2，PC∥BD，∵PC∥BD，∠PBD＝90°，∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)D的角度為180°+30°＝210°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為21秒，綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為3或21秒時，PC∥DB成立；②設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，由題知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°，∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，當(dāng)∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°，解得：t＝25，∴當(dāng)∠CPD＝∠BPM，求旋轉(zhuǎn)的時間是25秒．17．（2023春?雄縣期中）教材中有這樣一道題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F．求證：AF﹣BF＝EF．小明通過證明△AED≌△BFA解決了問題，在此基礎(chǔ)上他進(jìn)一步提出了以下以下回題，請你解答．（1）若圖1中的點G為CB延長線上一點，其余條件不變，如圖2所示，猜想此時AF，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）將圖1中的△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點F的對應(yīng)點為點F'，如圖3所示，若正方形的邊長為3，求EF'的長度．【分析】由四邊形ABCD為正方形，可得出∠BAD為90°，AB＝AD，進(jìn)而得到∠BAG與∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD與∠ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得出三角形ABF與三角形ADE全等，得出BF＝AE，由AF﹣AE＝EF，等量代換可得證；（1）利用AAS證明△AED≌△BDA，推出BF＝AE，即可得到AF+BF＝EF；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及矩形的判定定理得到四邊形AEDF'是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求解．【解答】證明：如圖，△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點F的對應(yīng)點為點F'，連接EF′、DF′，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAG+∠EAD＝90°，∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠AED＝90在△AED和△BFA中，，∴△AED≌△BFA（AAS）；∴BF＝AE，∵AF﹣AE＝EF，∴AF﹣BF＝EF；解：（1）AF+BF＝EF．證明如下：∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAG+∠EAD＝90°．∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°．∴∠EAD+∠ADE＝90°．∴∠ADE＝∠BAF．又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠AED＝90°．在△AED和△BFA中，∵∠AFB＝∠AED，∠ADE＝∠BAF，AB＝AD．∴△AED≌△BDA（AAS）．∴BF＝AE．∵AF+AE＝EF，∴AF+BF＝EF．（2）如圖，由題設(shè)得△AED≌△BDA，∴AF＝DE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠FAF'＝90°，DE＝AF'＝AF，∴∠F'AE＝∠AED＝90°，∴AF'∥ED．∴四邊形AEDF'為平行四邊形．又∵∠AED＝90°，∴四邊形AEDF'是矩形．∴EF'＝AD＝3．18．（2023春?長垣市期末）綜合與實踐數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)以“兩條平行線AB，CD和一塊含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°）”為主題開展數(shù)學(xué)活動，已知點E，F(xiàn)不可能同時落在直線AB和CD之間．探究：（1）如圖1，把三角尺的45°角的頂點E，G分別放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，求∠FGC的度數(shù)；類比：（2）如圖2，把三角尺的銳角頂點G放在CD上，且保持不動，若點E恰好落在AB和CD之間，且AB與EF所夾銳角為25°，求∠FGC的度數(shù)；遷移：（3）把三角尺的銳角頂點G放在CD上，且保持不動，旋轉(zhuǎn)三角尺，若存在∠FGC＝5∠DGE（∠DGE＜45°），直接寫出射線GF與AB所夾銳角的度數(shù)．?【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BEG＝∠EGC，即可求解．（2）先求出∠EGC的度數(shù)即可求解．（3）根據(jù)題意分兩種情況進(jìn)行討論，點E在CD上方和在CD下方兩種情況求解即可．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGC＝150°，∵∠FGE＝45°，∴∠FGC＝150°﹣45°＝105°；（2）過點E作EH∥AB，如圖，∴EH∥AB∥CD，∴∠BME＝∠FEH＝25°，∠DGE＝∠HEG．∴∠FEG＝∠FEH+∠GEH＝∠BME+∠DGE＝45°，∴∠DGE＝45°﹣25°＝20°，∴∠FGC＝180°﹣45°﹣20°＝115°；（3）存在，有兩種情況；①②當(dāng)點E在CD上方時，如圖；∵∠FGC＝5∠DGE，∴∠DGE+5∠DGE+45°＝180°，∴∠DGE＝22.5°，∴射線GF與AB所夾銳角的度數(shù)為45°+22.5°＝67.5°；②當(dāng)點E在CD上方時，如圖；∵∠FGC＝5∠DGE，∴∠FGC+∠FGD＝180°，即5∠DGE+45°﹣∠DGE＝180°，∴∠DGE＝43.75°，∴射線GF與AB所夾銳角＝∠FGD＝45°﹣43.75°＝11.25°，綜上所述射線GF與AB所夾銳角的度數(shù)為67.5°或11.25°．19．（2023春?陽城縣期末）如圖1，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）觀察猜想：將圖1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至圖2的位置，使得點O與點N重合，CD與MN相交于點E，則∠CEN＝；（2）操作探究：將圖1中的三角尺OCD繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使一邊OD在∠MON的內(nèi)部，如圖3，且OD恰好平分∠MON，CD與NM相交于點E，求∠CEN的度數(shù)；（3）深化拓展：將圖1中的三角尺OCD繞點O按沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)邊OC旋轉(zhuǎn)多少度時，邊CD恰好與邊MN平行？【分析】（1）在△CEN中，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠DON＝45°，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行求出CD∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求解即可；（3）當(dāng)CD在AB上方時，CD∥MN，設(shè)OM與CD相交于F，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠MOD，即可得解；當(dāng)CD在AB的下方時，CD∥MN，設(shè)直線OM與CD相交于F，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DFO＝∠M＝60°，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠DOF，再求出旋轉(zhuǎn)角即可．【解答】解：（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，∴∠CEN＝105°．故答案為：105°．（2）∵OD平分∠MON，∴∠DON＝∠MON＝×90°＝45°，∴∠DON＝∠D＝45°，∴CD∥AB，∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；（3）如圖1，CD在AB上方時，設(shè)OM與CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠OFD＝∠M＝60°，在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，＝180°﹣45°﹣60°，＝75°，當(dāng)CD在AB的下方時，設(shè)直線OM與CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠DFO＝∠M＝60°，在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋轉(zhuǎn)角為75°+180°＝255°，綜上所述，當(dāng)邊OC旋轉(zhuǎn)75°或255°時，邊CD恰好與邊MN平行．20．（2023春?岱岳區(qū)期末）知識探究：如圖1，點E是正方形ABCD對角線AC上任意一點，以點E為直角頂點的直角△EFG兩邊EF，EG分別角與AD，AB相交于M點，N點．當(dāng)EF⊥AD時，請?zhí)骄縀M與EN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；拓展探究：當(dāng)△EFG繞點E順時針旋轉(zhuǎn)到點M與點D重合時，如圖2，請?zhí)骄縀M與EN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；遷移運用：在圖2的基礎(chǔ)上，過點E作EH⊥AB于點H，如圖3，證明H是線段BN的中點．【分析】知識探究：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，再根據(jù)垂直定義可得∠AME＝90°，從而可得四邊形ANEM是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)可得∠ANE＝90°，從而利用角平分線的性質(zhì)即可解答．拓展探究：過點E作EP⊥AD，垂足為P，過點E作EQ⊥AB，垂足為Q，根據(jù)垂直定義可得∠APE＝∠AQE＝90°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，從而可得四邊形AQEP是矩形，進(jìn)而可得∠QEP＝∠GEF＝90°，然后利用等式的性質(zhì)可得∠NEQ＝∠DEP，再利用角平分線的性質(zhì)可得EQ＝EP，從而利用AAS可證△NEQ≌△DEP，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；遷移運用：連接EB，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝AD，AC平分∠BAD，從而可得∠BAE＝∠DAE，然后利用SAS可證△ABE≌△ADE，從而可得BE＝DE，進(jìn)而可得BE＝NE，最后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答．【解答】解：知識探究：EM＝EN，理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∵EF⊥AD，∴∠AME＝90°，∵∠FEN＝90°，∴四邊形ANEM是矩形，∴∠ANE＝90°，∴EM＝EN；拓展探究：EM＝EN，理由：過點E作EP⊥AD，垂足為P，過點E作EQ⊥AB，垂足為Q，∴∠APE＝∠AQE＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴四邊形AQEP是矩形，∴∠QEP＝90°，∵∠QEP＝∠GEF＝90°，∴∠QEP﹣∠NEP＝∠GEF﹣∠NEP，∴∠NEQ＝∠DEP，∵AC平分∠BAD，EP⊥AD，EQ⊥AB，∴EQ＝EP，∴△NEQ≌△DEP（AAS），∴EM＝EN；遷移運用：連接EB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∵NE＝DE，∴BE＝NE，∵EH⊥AB，∴H是線段BN的中點．21．（2023春?順平縣期末）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形EFGO的一個頂點，且這兩個正方形邊長相等．OE與BC相交于點M，OG與CD相交于點N．（1）求證：△OBM≌△OCN；（2）嘉琪說：當(dāng)正方形EFGO繞點O轉(zhuǎn)動，且OE與BC垂直時，四邊形OMCN的面積最?。阃饧午鞯恼f法嗎？請說明理由；（3）若正方形ABCD的邊長為a，用含a的代數(shù)式表示兩個正方形重疊部分的面積為．【分析】（1）由四邊形ABCD與EFGO均為正方形，得∠OBM＝∠OCN＝45°，OB＝OC，OB⊥OC，∠EOG＝90°，進(jìn)而有∠BOM＝∠CON，于是即可證明結(jié)論成立；（2）證明四邊形OMCN的面積總等于正方形面積的即可；（3）由（2）即可得解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD與EFGO均為正方形，∴∠OBM＝∠OCN＝45°，OB＝OC，OB⊥OC，∠EOG＝90°，∴∠BOC＝∠EOG＝90°N，∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，即∠BOM＝∠CON，∴△OBM≌△OCN（ASA）．（2）解：不同意，理由：由（1）可知：△OBM?△OCN，∴S△OBM＝S△OCN，∴S四邊形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝S正方形ABCD，即當(dāng)正方形EFGO繞點O轉(zhuǎn)動時，四邊形OMCN的面積總等于正方形面積的．（3）解：∵S四邊形OMCN＝S正方形ABCD，正方形ABCD的邊長為a，∴S四邊形OMCN＝a2，故答案為：．22．（2023春?沈丘縣期末）如圖，點O在直線AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°，先將△ODE一邊OE與OC重合，然后繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OE與OB重合時停止旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)OD在OA與OC之間，且∠COD＝20°時，則∠AOE＝；（2）試探索：在△ODE旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOD與∠COE大小的差是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請說明理由；（3）在△ODE的旋轉(zhuǎn)過程中，若∠AOE＝7∠COD，試求∠AOE的大?。痉治觥浚?）求出∠COE的度數(shù)，即可求出答案；（2）分為兩種情況，根據(jù)∠AOC＝90°和∠DOE＝60°求出即可；（3）根據(jù)∠AOE＝7∠COD、∠DOE＝60°、∠AOC＝90°求出即可．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵OD在OA和OC之間，∠COD＝20°，∠EOD＝60°，∴∠COE＝60°﹣20°＝40°，∴∠AOE＝90°+40°＝130°，故答案為：130°；（2）在△ODE旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOD與∠COE的差不發(fā)生變化，有兩種情況：①如圖1、∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠COE＝60°，∴∠AOD﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°，②如圖2、∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°+∠COD，∠COE＝∠DOE+∠DOC＝60°+∠DOC，∴∠AOD﹣∠COE＝（90°+∠COD）﹣（60°+∠COD）＝30°，即△ODE在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOD與∠COE的差不發(fā)生變化，為30°；（3）如圖1、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，∴90°+60°﹣∠COD＝7∠COD，解得：∠COD＝18.75°，∴∠AOE＝7×18.75°＝131.25°；如圖2、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，∴90°+60°+∠COD＝7∠COD，∴∠COD＝25°，∴∠AOE＝7×25°＝175°；即∠AOE＝131.25°或175°．23．（2023春?東昌府區(qū)期末）在等邊三角形ABC的內(nèi)部有一點D，連接BD，CD，以點B為中心，把BD逆時針旋轉(zhuǎn)630°得到HD′，連接AD′，DD′．以點C為中心，把CD順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CD″，連接AD″，DD″．（1）判斷∠D′BA和∠DBC的大小關(guān)系，并說明理由；（2）求證：D′A＝DC；（3）求證：四邊形AD'DD″是平行四邊形．【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DBD′＝60°，BD＝BD′，則可判斷△BDD′為等邊三角形，所以∠DBD′＝60°，BD＝BD′，再2利用△ABC為等邊三角形得到∠ABC＝60°，BA＝BC，則可得到∠D′BA＝∠DBC；（2）通過證明△ABD′≌△CBD得到D′A＝DC；（3）先判斷△DCD″為等邊三角形得到DD″＝DC，∠DCD″＝60°，再與（2）的證明方法一樣證明△ACD″≌Rt△BCD得到AD″＝BD，所以DD′＝AD″，加上DD″＝DC＝AD′，從而可判斷四邊形AD'DD″是平行四邊形．【解答】（1）解：∠D′BA＝∠DBC．理由如下：∵BD逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BD′，∴∠DBD′＝60°，BD＝BD′，∴△BDD′為等邊三角形，∴DD′＝BD，∠DBD′＝60°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵∠D′BA+∠ABD＝60°，∠ABD+∠DBC＝60°，∴∠D′BA＝∠DBC；（2）證明：在△ABD′和△CBD中，，∴△ABD′≌△CBD（SAS），∴D′A＝DC；（3）證明：∵CD順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CD″，∴∠DCD″＝60°，CD＝CD″，∴△DCD″為等邊三角形，∴DD″＝DC，∠DCD″＝60°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，CA＝CB，∵∠D″CA+∠ACD＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∴∠D″CA＝∠DCB；在△ACD″和△BCD中，，∴△ACD″≌Rt△BCD（SAS），∴AD″＝BD，∴DD′＝AD″，∵DD″＝DC＝AD′，∴四邊形AD'DD″是平行四邊形．24．（2022秋?河口區(qū)期末）感知：如圖①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點B在線段AD上，點C在線段AE上，我們很容易得到BD＝CE，不需證明．探究：如圖②，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜90°），連結(jié)BD和CE，此時BD＝CE是否依然成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由．應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點D落在BC的延長線上，連結(jié)CE．求：①∠ACE的度數(shù)；②若AB＝AC＝2，CD＝2，則線段DE的長是多少？【分析】探究：利用SAS證明△ABD≌△ACE，得BD＝CE；應(yīng)用：①同理可得△ABD≌△ACE（SAS），得∠ABD＝∠ACE＝45；②由△ACE≌△ABD得，∠ACE＝∠ABD＝45°，則∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：探究：成立，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∵將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；應(yīng)用：①∵AB＝AC，∠BAD＝CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°；②∵AB＝AC＝2，∴BC＝＝4，∵△ACE≌△ABD，∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BC+CD＝BD＝CE＝4＝2＝6；∴DE＝＝＝2．25．（2023春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）將一副直角三角板如圖1，擺放在直線MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不動，將三角板ABC繞點C以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)AC與射線CN重合時停止旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)AC為∠DCE的角平分線時，求此時t的值；（2）當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)至∠DCE的內(nèi)部時，求∠DCA與∠ECB的數(shù)量關(guān)系；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板ABC的其中一邊平行于三角板EDC的某一邊時，求此時t等于（直接寫出答案即可）．【分析】（1）先計算∠DCE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義和旋轉(zhuǎn)的速度可得t的值；（2）分別表示∠DCA與∠ECB的度數(shù)，相減可得數(shù)量關(guān)系；（3）分四種情況討論：AB分別和△DCE三邊平行，還有AC∥DE，計算旋轉(zhuǎn)角并根據(jù)速度列方程可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖2，∵∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∴∠DCE＝30°，∵AC平分∠DCE，∴∠ACE＝＝15°，∴t＝＝3，答：此時t的值是3s；（2）當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)至∠DCE的內(nèi)部時，如圖3，∠DCA與∠ECB的數(shù)量關(guān)系是：∠ECB﹣∠DCA＝15°；理由是：由旋轉(zhuǎn)得：∠ACE＝5t，∴∠DCA＝30°﹣5t，∠ECB＝45°﹣5t，∴∠ECB﹣∠DCA＝（45°﹣5t）﹣（30°﹣5t）＝15°；（3）分四種情況：①當(dāng)AB∥DE時，如圖4，∠ACE＝45°+30°＝75°，t＝75÷5＝15；②當(dāng)AB∥CE時，如圖5，則∠BCE＝∠B＝90°，∴∠ACE＝90°+45°＝135°，t＝135÷5＝27；③當(dāng)AB∥CD時，如圖6，則∠DCB＝∠B＝90°，∠ACE＝30°+90°+45°＝165°，t＝165÷5＝33；④當(dāng)AC∥DE時，如圖7，∴∠ACD＝∠D＝90°，∴∠ACE＝90°+30°＝5t，t＝24；綜上，t的值是15s或24s或27s或33s．故答案為：15s或24s或27s或33s26．（2023春?衡山縣期末）一副三角板如圖1擺放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，點F在BC上，點A在DF上，且AF平分∠CAB，現(xiàn)將三角板DFE繞點F以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點D落在射線FB上時停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．（1）當(dāng)t＝秒時，DE∥AB；當(dāng)t＝秒時，DE⊥AB；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，DF與AB的交點記為P，如圖2，若△AFP有兩個內(nèi)角相等，求t的值；（3）當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點M、N時，如圖3，連接AE，設(shè)∠BAE＝x°，∠AED＝y(tǒng)°，∠DFB＝z°，試問x+y+z是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．【分析】（1）由平行和垂直求出旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時間；（2）畫出圖形，分類討論，①∠PAF＝∠PFA；②∠PAF＝∠APF；③∠PFA＝∠APF，求出旋轉(zhuǎn)角，再求出t值；（3）找出與∠BAE，∠AED，∠DFB，有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，再把無關(guān)的角消去，得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖（1），當(dāng)DE∥AB時，∠EDF＝∠BPF＝45°∵AF平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠BAF＝30°，又∵∠BPF為△APF的一個外角，∴∠PFA＝∠BPF﹣∠BAF＝45°﹣30°＝15°，∴t＝＝3；如圖（2），當(dāng)DE⊥AB時，∠DPB＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴∠APF＝∠DPB＝45°，∵∠BAF＝30°，∴∠AFP＝180°﹣∠APF﹣∠BAF＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∴t＝＝21．故答案為：3；21．（2）①如圖（3），當(dāng)∠PAF＝∠PFA時，∵∠PAF＝30°，∴∠PFA＝30°，∴t＝6；②如圖（4），當(dāng)∠PFA＝∠APF時，∵∠PAF＝30°，∠PAF+∠PFA+∠APF＝180°，∴∠AFP＝（180°﹣30°）＝75°，∴t＝15；③如圖（5），當(dāng)∠PAF＝∠APF時，∠AFP＝180°﹣∠PAF﹣∠APF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴t＝24，綜上所述：當(dāng)t為6或15或24時，△AFP有兩個內(nèi)角相等．（3）x+y+z是為定值105，理由如下：∵∠BMN是△AME的一個外角，∠MNB是△DFN的一個外角，∴∠BMN＝∠BAE+∠AED＝x°+y°，∠MNB＝∠DFB+∠D＝z°+45°，又∵∠BMN+∠MNB+∠B＝180°，∠B＝30°，∴x°+y°+z°+45°+30°＝180°，∴x°+y°+z°＝105°，∴x+y+z＝105．27．（2023春?太原期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點D是平面內(nèi)一點，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°得到線段AE．（1）當(dāng)點D在△ABC內(nèi)部時，連接BD，CE．請判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）請從A，B兩題中任選一題作答．A．當(dāng)點D在△ABC內(nèi)部時，若直線DE恰好經(jīng)過點B，直接寫出∠BEC的度數(shù)．B．當(dāng)點D在△ABC外部時，若直線DE恰好經(jīng)過點C，直接寫出∠BDC的度數(shù)．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得BD＝CE；（2）A、由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ADE＝∠AED＝40°，由全等三角形的性質(zhì)可求∠ADB＝∠AEC＝140°，即可求解；B、分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∵將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝100°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）A、如圖：∵AD＝AE，∠DAE＝100°，∴∠ADE＝∠AED＝40°，∴∠ADB＝140°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝140°，∴∠BEC＝100°；B、如圖，當(dāng)點D在線段CE上時，∵AD＝AE，∠DAE＝100°，∴∠ADE＝∠AED＝40°，∴∠ADC＝140°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AED＝40°，∴∠BDC＝100°；如圖，當(dāng)點E在線段CD上時，∵AD＝AE，∠DAE＝100°，∴∠ADE＝∠AED＝40°，∴∠AEC＝140°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝140°，∴∠BDC＝100°；綜上所述：∠BDC＝100°．28．（2023春?遂平縣期末）如圖1，將一副三角板的直角重合放置，其中∠A＝30°，∠CDE＝45°．（1）如圖1，求∠EFB的度數(shù)；（2）若三角板ACB的位置保持不動，將三角板CDE繞其直角頂點C順時針方向旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置時，恰好CD∥AB，則∠ECB的度數(shù)為°；②若將三角板CDE繼續(xù)繞點C旋轉(zhuǎn)，直至回到圖1位置．在這一過程中，是否還會存在△CDE其中一邊與AB平行？如果存在，請你畫出示意圖，并直接寫出相應(yīng)的∠ECB的大小