第04講 解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想（解析版）

第04講解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一三角形中，利用面積求斜邊上的高】 1【考點二結(jié)合乘法公式巧求面積或長度】 7【考點三巧妙割補(bǔ)求面積】 9【考點四“勾股樹”及其拓展類型求面積】 12【考點五幾何圖形中的方程思想—折疊問題（利用等邊建立方程）】 18【考點六幾何圖形中的方程思想—公邊問題（利用公邊建立方程）】 22【考點七實際問題中的方程思想】 25【考點一三角形中，利用面積求斜邊上的高】例題：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是________．【答案】##7.2##【解析】【分析】設(shè)點C到斜邊AB的距離是h，根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：，設(shè)點C到斜邊AB的距離是h，∵，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．一個直角三角形的兩條直角邊邊長分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊的長，再根據(jù)面積法求出斜邊的高．【詳解】解：設(shè)斜邊長為c，高為h．由勾股定理可得：c2=62+82，則c=10，直角三角形面積S=×6×8=×c×h，可得h=4.8，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的邊長和利用面積法求直角三角形的高是解決此類題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期中）在由邊長為1的小正方形構(gòu)成網(wǎng)格中的位置如圖所示，則邊上的高是（

）A．5 B． C．6 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形先求出的面積，然后過點B作AC邊的垂線BD，根據(jù)三角形的面積公式得出邊上的高即可．【詳解】如圖，過點B作AC邊的垂線，垂足為D，∵，∴，∵由勾股定理知：，∴，∴．故答案選：C．【點睛】本題主要考查網(wǎng)格圖中圖形的面積的計算，勾股定理和三角形面積公式，正確算出圖形的面積與底邊的長度是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC?BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，是的邊上的高，且，，，求的邊上的高．【答案】．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AE和BE，求出AB，再根據(jù)勾股定理的逆定理推出△ABC是直角三角形，并求出△ABC面積，進(jìn)一步得到△ABC的邊AB上的高即可．【詳解】解：∵DE是的AB邊上的高∴∵在Rt△ADE中，，∴由勾股定理得：同理：在Rt△BDE中，由勾股定理得：∴∴在△ABC中，由AB=10，AC=6，BC=8得：∴△ABC是直角三角形設(shè)△ABC的AB邊上的高為h∵∴∴∴的邊上的高為：．【點睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形是解題關(guān)鍵．求三邊已知的三角形一邊上的高的方法通常有勾股定理或者等面積法．5．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長．(2)求斜邊邊上的高．【答案】(1)(2)斜邊AB邊上的高是4.8【分析】（1）根據(jù)在中，是邊上的高，，，可以計算出的長，然后根據(jù)勾股定理即可得到的長；（2）根據(jù)等面積法，可以求得斜邊邊上的高．【詳解】（1）解：（1）∵在中，是邊上的高，，，∴，即，解得，∵在中，，，∴；（2）解：作于點F，∵，，∴，解得，即斜邊AB邊上的高是4.8．【點睛】本題考查勾股定理，三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6．我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形為勾股高三角形，這兩邊交點為勾股頂點．（1）特例感知如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中A為勾股頂點，AD是BC邊上的高．若BD＝3，CD＝1，試求線段AD的長度．（2）深入探究如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中A為勾股頂點且AC＞AB，AD是BC邊上的高．試探究線段CD與AB的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】（1）；（2）CD＝AB，證明見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得：AB2＝AD2+9，CA2＝AD2+1，于是AD2＝（AD2+9）﹣（AD2+1）＝8，即可解決問題；（2）由CA2﹣AB2＝AD2可得：CA2﹣AD2＝AB2，而CA2﹣AD2＝CD2，即可推出CD2＝AB2．【詳解】解：（1）如圖1，根據(jù)勾股定理可得：AB2＝AD2+9，AC2＝AD2+1，∵△ABC為勾股高三角形，A為勾股頂點，∴AB2﹣CA2＝AD2，∴AD2＝（AD2+9）﹣（AD2﹣1）＝8，∴AD＝2；（2）CD＝AB，如圖2，∵△ABC為勾股高三角形，A為勾股頂點，且AC＞AB，∴AC2﹣AB2＝AD2，即AC2﹣AD2＝AB2，∵AC2﹣AD2＝CD2，∴CD2＝AB2，即CD＝AB．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【考點二結(jié)合乘法公式巧求面積或長度】例題：已知在中，所對的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知，的面積為，結(jié)合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可【詳解】解：中，所對的邊分別為a，b，c，∵∴故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是完全平方公式的變形．【變式訓(xùn)練】1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或30【答案】D【解析】【分析】由勾股定理分別求出BD和CD，分AD在三角形的內(nèi)部和AD在三角形的外部兩種情況，由三角形面積公式計算即可．【詳解】解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD==12，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD==，分兩種情況：①如圖1，當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時，BC=12+3=15，則△ABC的面積=BC×AD=×15×4=30；②如圖2，當(dāng)AD在△ABC的外部時，BC=12-3=9，則△ABC的面積=BC×AD=×9×4=18；綜上所述，△ABC的面積為30或18，故選：D．【點睛】本題考查的是勾股定理、三角形面積以及分類討論等知識，熟練掌握勾股定理，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．3．直角三邊長分別是x，和5，則的面積為__________．【答案】6或30【解析】【分析】根據(jù)是直角三角形，則在中分類討論，運(yùn)用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：是直角三角形，則在中即可運(yùn)用勾股定理，不確定與哪一個大，所以討論：（1）若，則存在，解得，；（2）若，則，解得．的面積為6或30．故答案為：6或30．【點睛】本題主要考查直角三角形中勾股定理的應(yīng)用，本題中討論與的大小是解題的關(guān)鍵．【考點三巧妙割補(bǔ)求面積】例題：如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．【答案】216平方米【解析】【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理計算AC，根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根據(jù)面積公式計算即可．【詳解】連接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，∴AC==15，∵AB＝39，BC＝36，AC=15∴，∴∠ACB=90°，∴這塊空地的面積為：==216（平方米），故這塊草坪的面積216平方米．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四邊形ABCD的面積．【答案】144【解析】【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，分別求出△ABD和△BCD的面積，即可得出答案．【詳解】解：連接BD，在△ABD中，∵∠A=90°，AB=6，AD=8，∴BD==10，S△ABD=AB?AD=×6×8=24，在△BCD中，∵CD=26，BC=24，BD=10，∴BD2+BC2=CD2，∴△BCD是直角三角形，∴S△BCD=BC?BD=×10×24=120．∴四邊形ABCD的面積=S△ABD+S△BCD=24+120=144．【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出△ABD和△BCD的面積，注意：如果一個三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．2．如圖，在5×5的方格紙中，每一個小正方形的邊長都為1（1）線段BC＝，線段CD＝；（2）求四邊形ABCD的面積．（可以根據(jù)需要添加字母）【答案】（1），；（2）14.5【解析】【分析】（1）在網(wǎng)格中利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）如圖所示，由此求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：，，故答案為：，；（2）如圖所示，．【點睛】本題主要考查了勾股定理，以及四邊形的面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．3．）如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形格點上，（1）邊AC、AB、BC的長；（2）求△ABC的面積；（3）點C到AB邊的距離【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理計算，求出邊AC、AB、BC的長；（2）根據(jù)三角形的面積公式，正方形的面積公式，結(jié)合圖形計算；（3）根據(jù)三角形的面積公式計算．【詳解】解：（1），，；（2）△ABC的面積；（3）點C到AB邊的距離為h，則，即，解得，．【點睛】本題考查的是勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．【考點四“勾股樹”及其拓展類型求面積】例題：（2023秋·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是（

）A．20 B．26 C．30 D．52【答案】B【分析】根據(jù)正方形的面積公式并結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積即可．【詳解】解：如圖：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得：===26故選B．【點睛】本題考查勾股定理，熟悉勾股定理的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣西柳州·?？家荒＃┤鐖D，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出，再求半圓的面積即可．【詳解】解：∵正方形和正方形的面積分別是289和225，∴，∵，∴，∴以為直徑的半圓的面積為：；故選B．【點睛】本題考查勾股定理．熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·新疆阿克蘇·八年級?？计谥校┤鐖D，三個正方形中的兩個的面積，，則另一個的正方形的面積為_____________【答案】119【分析】根據(jù)直角三角形的勾股定理以及正方形的面積公式，不難發(fā)現(xiàn)：從而可得答案．【詳解】解：∵，，∴直角三角形中以直角邊的平方與斜邊的平方分別為25和144，根據(jù)勾股定理，另一條直角邊的平方為，∴．故答案為：119．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，正方形面積，掌握直角三角形中斜邊平方=兩直角邊的平方和是解題關(guān)鍵．3．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為___________．【答案】12；s1+s2=s3【分析】首先根據(jù)正方形面積公式得到三個正方形的面積與Rt△ABC的三邊關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理找到Rt△ABC的三邊之間的關(guān)系，并由此得到三個正方形的面積關(guān)系，最后算出S3的值；第二空同理根據(jù)正三角形面積公式與勾股定理，得到S1，S2，S3三者之間的關(guān)系，完成解答．【詳解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的邊長，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三邊向外作等邊三角形，其面積為S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【點睛】本題考查勾股定理和正方形、正三角形的計算，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用勾股定理．4．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知：在中，，、、所對的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作、、，則有，(1)如圖2，分別以的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分、、，請問與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2Sa，根據(jù)（2）中的探索，直接回答與有怎樣的數(shù)量關(guān)系；(3)若中，，，求出圖4中陰影部分的面積．【答案】(1)，證明見解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面積公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根據(jù)（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：①，根據(jù)勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根據(jù)根據(jù)勾股定理：，從而可得；（3）解：由（2）知．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對勾股定理的熟練掌握及靈活運(yùn)用．5．（2023春·江西南昌·八年級南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關(guān)系滿足的有________個．②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，也滿足嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出，，的數(shù)量關(guān)系．(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則__________．【答案】(1)①3；②滿足，證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)兩直角邊分別為，，斜邊為，用，，分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，根據(jù)，求解之間的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果；②根據(jù)，，，可得；（2）由題意知，，，，，，代入求解即可．【詳解】（1）①解：設(shè)兩直角邊分別為，，斜邊為，則圖2中，，∵，∴，故圖2符合題意；圖3中，，，，∵，∴，故圖3符合題意；圖4中，，，，∵，∴，故圖4符合題意；∴這3個圖形中面積關(guān)系滿足的有3個，故答案為：3；②解：滿足，證明如下：由題意知，，，∴；（2）解：由題意知，，，，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，勾股樹．解題的關(guān)鍵在于正確的表示各部分的面積．【考點五幾何圖形中的方程思想—折疊問題（利用等邊建立方程）】例題：如圖，將直角三角形紙片沿AD折疊，使點B落在AC延長線上的點E處．若AC＝3，BC=4，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由勾股定理求出AB，設(shè)CD=x，則BD=4-x，根據(jù)求出x得到CD的長，利用面積求出答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴，由折疊得AE=AB=5，DE=BD，設(shè)CD=x，則BD=4-x，在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，∵，∴，解得x=1.5，∴CD=1.5，∴圖中陰影部分的面積是，故選：B．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟記勾股定理的計算公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點C落在AB邊的C′點，那么△ADC′的面積是________cm2．【答案】6【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理得到AB＝10cm，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DC＝DC′，BC＝BC′＝6cm，則AC′＝4cm，在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2＝x2＋42，解得x＝3，然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：∵∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm，∵將△BCD沿BD折疊，使點C落在AB邊的C′點，∴△BCD≌△BC′D，∴∠C＝∠BC′D＝90°，DC＝DC′，BC＝BC′＝6cm，∴AC′＝AB﹣BC′＝4cm，設(shè)DC＝xcm，則AD＝（8﹣x）cm，在Rt△ADC′中，AD2＝AC′2＋C′D2，即（8﹣x）2＝x2＋42，解得x＝3，∵∠AC′D＝90°，∴△ADC′的面積＝×AC′×C′D＝×4×3＝6（cm2）．故答案為6．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點的連線段被折痕垂直平分．也考查了勾股定理．2．如圖，三角形紙片中，，，．是邊上一點，連接，把沿翻折，點恰好落在延長線上的點處，則的長為__________．【答案】##【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB=AB′=5，BD=B′D，求出B′C，設(shè)CD=x，在△B′CD中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，∴AC==4，由折疊可知：AB=AB′=5，BD=B′D，∴B′C=AB′-AC=1，設(shè)CD=x，則BD=B′D=3-x，在△B′CD中，，即，解得：x=，即CD=，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，利用折疊的性質(zhì)求出B′C的長是解題的關(guān)鍵．3．在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是邊AD上一點，將△ABP沿著直線BP翻折得到△A'BP．(1)如圖1，當(dāng)A'在BC上時，連接AA'，求AA'的長；(2)如圖2，當(dāng)AP＝6時，連接A'D，求A'D的長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，再利用勾股定理，即可求解；（2）過點作于點M，延長交BC于點N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，再設(shè)，則，，在和中，根據(jù)勾股定理可得，，從而得到，，進(jìn)而得到，再由勾股定理，即可求解．(1)解：根據(jù)題意得：，∴；(2)解：如圖，過點作于點M，延長交BC于點N，根據(jù)題意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，∴DP=4，∵，∴MN⊥BC，∴MN=AB=8，AM=BN，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，由①②聯(lián)立得：，把代入②得：或（舍去），∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握圖形折疊前后對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【考點六幾何圖形中的方程思想—公邊問題（利用公邊建立方程）】例題：如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．【答案】8【解析】【分析】作交的延長于點，在中，，在中,，根據(jù)列出方程即可求解．【詳解】如圖，作交的延長于點，則即為BC邊上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案為：8．【點睛】本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知：如圖，在中，是的角平分線，，則____．

【答案】6【分析】作，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，勾股定理求出，證明，推出，設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出．【詳解】解：作于點E，如圖，∵在中，是的角平分線，，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即；故答案為：6．

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，屬于常見題型，熟練掌握上述知識，利用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在和中，，，，延長，交于點．

(1)求證：點A在的平分線上；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）連接，證明，可得，根據(jù)角平分線的判定即可解決問題；（2）證明，設(shè)，所以，根據(jù)勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

在和中，∵，，，，，，，平分，點在的平分線上；（2）解：，，，，設(shè)，，在中，，，．．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到．【考點七實際問題中的方程思想】例題：（2022·全國·八年級）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于O點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC＝1尺）．將它往前推進(jìn)兩步（EB⊥OC于點E，且EB＝10尺），踏板升高到點B位置，此時踏板離地五尺（BD＝CE＝5尺），則秋千繩索（OA或OB）長______尺．【答案】【解析】【分析】設(shè)OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，∴x2=102+（x-4）2，∴x=，∴OA或OB的長度為（尺）．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【答案】C【解析】【分析】取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【詳解】解：取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河南·金明中小學(xué)八年級期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，有題譯文如下：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短．橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高短2尺；斜放，門對角線長恰好是竿長的倍．問門高、門寬各為多少？【答案】門高為7尺，門寬為1尺．【解析】【分析】設(shè)竿的長度為x尺，則門高為（x+2）尺，門寬為（x-4）尺，利用勾股定理，即可得出關(guān)于x的方程，解之即可得出x的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)竿的長度為x尺，則門高為（x+2）尺，門寬為（x-4）尺，依題意得：化簡得：4x=20，解得：．

答：門高為7尺，門寬為1尺．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022·重慶市求精中學(xué)校八年級期中）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一