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湖師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知扇形的周長是6,圓心角為,則扇形的面積是()A.1 B.2C.3 D.42.已知是第二象限角,且,則點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)全集,集合,則()A. B.C. D.4.下列函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間(–∞,0)上為減函數(shù)的是()A.y=2x B.y=C.y=x D.5.下列各角中,與角1560°終邊相同的角是()A.180° B.-240°C.-120° D.60°6.已知a>0,那么2+3a+4A.23 B.C.2+23 D.7.設(shè)m,n為兩條不同的直線,,為兩個(gè)不同的平面,則下列結(jié)論正確的是()A.若,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則8.已知函數(shù),則的值為A. B.C. D.9.已知角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,點(diǎn)在角的終邊上,則()A. B.C. D.10.若函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位,縱坐標(biāo)保持不變,得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小值為()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若“”是“”的必要條件,則的取值范圍是________12.已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求的值域;(2)若,且,求的值;13.已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________;(2)若的值域是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.14.奇函數(shù)的定義域?yàn)?,若在上單調(diào)遞減,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________.15.已知函數(shù)(,且)的圖象恒過定點(diǎn),且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上,則__________.16.已知,均為銳角,,,則的值為______三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.如圖,在底面是正方形的四棱錐面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)是PC中點(diǎn),G為AC上一點(diǎn).(1)求證:;(2)確定點(diǎn)G在線段AC上的位置,使FG//平面PBD,并說明理由;(3)當(dāng)二面角的大小為時(shí),求PC與底面ABCD所成角的正切值.18.已知函數(shù)在上的最小值為(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),求最大值以及此時(shí)x的取值集合19.(1)已知,求最大值(2)已知且,求的最小值20.已知函數(shù)(,為常數(shù),且)的圖象經(jīng)過點(diǎn),(1)求函數(shù)的解析式;(2)若關(guān)于不等式對(duì)都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍21.已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)(1)寫出、、值;(2)求的值
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,先由周長求出半徑和弧長,即可求出扇形的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,因?yàn)閳A心角為,所以.因?yàn)樯刃蔚闹荛L是6,所以,解得:.所以扇形的面積是.故選:B2、B【解析】根據(jù)所在象限可判斷出,,從而可得答案.【詳解】為第二象限角,,,則點(diǎn)位于第二象限.故選:B.3、A【解析】根據(jù)補(bǔ)集定義計(jì)算【詳解】因?yàn)榧?,又因?yàn)槿裕?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集運(yùn)算,屬于簡單題4、C【解析】根據(jù)解析式判斷各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得答案.【詳解】y=2x不是偶函數(shù);y=1y=x是偶函數(shù),且函數(shù)在-y=-x2是二次函數(shù),是偶函數(shù),且在故選:C.5、B【解析】終邊相同的角,相差360°的整數(shù)倍,據(jù)此即可求解.【詳解】與1560°終邊相同的角為,,當(dāng)時(shí),.故選:B.6、D【解析】利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)閍>0,所以2+3a+4當(dāng)且僅當(dāng)3a=4a,即故選:D7、D【解析】根據(jù)線面的位置關(guān)系可判斷A;舉反例判斷B、C;由面面垂直的判定定理可判斷D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).詳解】對(duì)于A:若,,則或,故選項(xiàng)A不正確;對(duì)于B:如圖平面為平面,平面為平面,直線為,直線為,滿足,,,但與相交,故選項(xiàng)B不正確;對(duì)于C:如圖在正方體中,平面為平面,平面為平面,直線為,直線為,滿足,,,則,故選項(xiàng)C不正確;對(duì)于D:若,,可得或,若,因?yàn)?,由面面垂直的判定定理可得;若,可過作平面與相交,則交線在平面內(nèi),且交線與平行,由可得交線與垂直,由面面垂直的判定定理可得,故選項(xiàng)D正確;故選:D.8、C【解析】由,故選C9、D【解析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出,然后采用弦化切,代入計(jì)算即可【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上,所以故選:D10、B【解析】由題設(shè)可得,根據(jù)已知對(duì)稱性及余弦函數(shù)的性質(zhì)可得,即可求的最小值.【詳解】由題設(shè),關(guān)于軸對(duì)稱,∴且,則,,又,∴的最小值為.故選:B.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】根據(jù)題意解得:,得出,由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意解得:,由于“”是“”必要條件,則,.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故答案為:.12、(1)(2)【解析】(1)化簡函數(shù)解析式為,再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域即可;(2)由已知得,利用同角之間的關(guān)系求得,再利用湊角公式及兩角差的余弦公式即可得解.【小問1詳解】,,利用余弦函數(shù)的性質(zhì)知,則【小問2詳解】,又,,則則13、①.②.【解析】(1)分析可知內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù),且對(duì)任意的,恒成立,由此可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組,由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)分析可知為二次函數(shù)值域的子集,分、兩種情況討論,可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組,綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)令,.當(dāng)時(shí),,該函數(shù)為常值函數(shù),不合乎題意.所以,,內(nèi)層函數(shù)的對(duì)稱軸為直線,由于函數(shù)在上單調(diào)遞減,且外層函數(shù)為增函數(shù),故內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù),且對(duì)任意的,恒成立,所以,,解得;(2)因?yàn)楹瘮?shù)的值域是,則為二次函數(shù)值域的子集.當(dāng)時(shí),內(nèi)層函數(shù)為,不合乎題意;當(dāng)時(shí),則有,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:(1);(2).14、【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域?yàn)?,若在上單調(diào)遞減,所以在定義域上遞減,且,所以解得,故填.點(diǎn)睛:利用奇函數(shù)及其增減性解不等式時(shí),一方面要確定函數(shù)的增減性,注意奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致,同時(shí)還要注意函數(shù)的定義域?qū)栴}的限制,以免遺漏造成錯(cuò)誤.15、【解析】先求出定點(diǎn)的坐標(biāo),再代入冪函數(shù),即可求出解析式.【詳解】令可得,此時(shí),所以函數(shù)(,且)的圖象恒過定點(diǎn),設(shè)冪函數(shù),則,解得,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象的特點(diǎn)得出,設(shè)冪函數(shù),代入即可求得,.16、【解析】直接利用兩角的和的正切關(guān)系式,即可求出結(jié)果【詳解】已知,均銳角,,,則,所以:,故故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,以及兩角和的正切關(guān)系式的應(yīng)用,其中解答中熟記兩角和的正切的公式,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)GEC中點(diǎn)(3)【解析】試題分析:(1)要證:BD⊥FG,先證BD⊥平面PAC即可;(2)確定點(diǎn)G在線段AC上的位置,使FG∥平面PBD,F(xiàn)G∥平面PBD內(nèi)的一條直線即可;(3)利用向量數(shù)量積求解法向量,然后轉(zhuǎn)化求出PC與底面ABCD所成角的正切值解析:(1)(2)當(dāng)GEC中點(diǎn),即時(shí),FG//平面PBD理由如下:連接PE,F(xiàn)為PC中點(diǎn),G為EC中點(diǎn),F(xiàn)G//PEFG//平面PBD(3)作作于H,連接DH,,四邊形ABCD是正方形,又是二面角的平面角,即是PC與底面ABCD所成角連接EH,則又,PC與與底面ABCD所成角的正切值是.點(diǎn)睛:這個(gè)題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系.證明線線垂直,可以從線面垂直入手,也可以平移到同一平面中利用平面幾何知識(shí)證明;求線面角,一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離,除以線段長度就是線面角的正弦值;在高二的課本上講到還可以建系,用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量,再求線面角即可18、(1);(2)最大值為,此時(shí)x的取值集合為.【解析】(1)利用二倍角公式化簡函數(shù),再利用余弦函數(shù)性質(zhì)列式計(jì)算作答.(2)利用余弦函數(shù)性質(zhì)直接計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意,,令,,解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由(1)知,當(dāng)時(shí),,,解得,因此,,當(dāng),,即,時(shí),取得最大值1,則取得最大值,所以的最大值為,此時(shí)x的取值集合為.19、(1)1;(2)2【解析】(1)由基本不等式求出最小值后可得所求最大值(2)湊出積為定值后由基本不等式求得最小值【詳解】(1),則,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值為1(2)因?yàn)榍?,所以,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.所以所求最小值為220、(1)(2)【解析】(1)將,,代入函數(shù),利用待定系數(shù)法即可得出答案;(2)對(duì)都成立,即,,令,,令,求出函數(shù)的最小值即可得解.【小問1詳解】解:∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),,∴,即,又∵,∴,,∴,即;【小問2詳解】解:由(1)知,,∴對(duì)都成立,即對(duì)都成立,∴,,令,,則,令,即,,∴的圖象是開口向下且關(guān)于直線對(duì)稱的拋物線,∴,∴,∴的取值區(qū)間為21、(1)=;=;=(2)【解析】
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