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吉林省長(zhǎng)春汽車(chē)經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)第六中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)1.設(shè),,則下面關(guān)系中正確的是()A B.C. D.2.若函數(shù)()在有最大值無(wú)最小值,則的取值范圍是()A. B.C. D.3.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()①與;②與;③與;④與A.①② B.①③C.③④ D.①④4.命題“任意,都有”的否定為()A.存在,使得B.不存在,使得C.存在,使得D.對(duì)任意,都有5.若,則為()A. B.C. D.6.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減,則m的值為()A.0 B.1C.0或1 D.7.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明,后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”,它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,如圖所示.在“趙爽弦圖”中,若,則()A. B.C. D.8.下列說(shuō)法正確的是()A.向量與共線(xiàn),與共線(xiàn),則與也共線(xiàn)B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C.向量與不共線(xiàn),則與都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行9.已知函數(shù)若則的值為().A. B.或4C. D.或410.平行于直線(xiàn)且與圓相切的直線(xiàn)的方程是A.或 B.或C.或 D.或11.下列說(shuō)法正確的是A.截距相等的直線(xiàn)都可以用方程表示B.方程不能表示平行軸的直線(xiàn)C.經(jīng)過(guò)點(diǎn),傾斜角為直線(xiàn)方程為D.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),的直線(xiàn)方程為12.已知函數(shù),若對(duì)任意,總存在,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫(xiě)在答題卡上.)13.已知函數(shù),若函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象的下方,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.14.寫(xiě)出一個(gè)值域?yàn)?,在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)______15.定義:關(guān)于的兩個(gè)不等式和的解集分別為和,則稱(chēng)這兩個(gè)不等式為相連不等式.如果不等式與不等式為相連不等式,且,則_________16.已知,則的值為_(kāi)_____三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)17.已知集合,(1)求集合,;(2)若關(guān)于的不等式的解集為,求的值18.如圖,是平面四邊形的對(duì)角線(xiàn),,,且.現(xiàn)在沿所在的直線(xiàn)把折起來(lái),使平面平面,如圖.(1)求證:平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.19.已知函數(shù),.(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)是否存在整數(shù),使得的解集恰好是,若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.20.某商人計(jì)劃經(jīng)銷(xiāo)A,B兩種商品,據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì),當(dāng)投資額為萬(wàn)元時(shí),在經(jīng)銷(xiāo)A,B商品中所獲得的收益分別是,,已知投資額為0時(shí),收益為0.(1)求a,b值;(2)若該商人投入萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品,試建立該商人所獲收益的函數(shù)模型;(3)如果該商人準(zhǔn)備投入5萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品,請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案,使他能獲得最大收益,并求出其收益的最大值.21.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,0),B(7,7),圓心在直線(xiàn)上(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線(xiàn)l與圓C相切且與x,y軸截距相等,求直線(xiàn)l的方程22.已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx(3)判斷函數(shù)fx在區(qū)間0,1上的單調(diào)性,并用定義證明
參考答案一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)1、D【解析】根據(jù)元素與集合關(guān)系,集合與集合的關(guān)系判斷即可得解.【詳解】解:因?yàn)?,,所以?故選:D.2、B【解析】求出,根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得答案.【詳解】∵,∴,根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得,解得.故選:B.3、C【解析】定義域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系一致的函數(shù)是同一函數(shù),由此逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】①中的定義域?yàn)?,的定義域也是,但與對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致,所以①不是同一函數(shù);②中與定義域都是R,但與對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致,所以②不是同一函數(shù);③中與定義域都是,且,對(duì)應(yīng)關(guān)系一致,所以③是同一函數(shù);④中與定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都一致,所以④是同一函數(shù).故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查同一函數(shù)的概念,只需定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都一致即可,屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為特稱(chēng)量詞命題,改量詞,否結(jié)論,即得答案.【詳解】命題“任意,都有”的否定為“存在,使得”,故選:A5、A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式,結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接判斷.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,即,且,,且,又,即,所以,又根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,所以,故選:A.6、A【解析】根據(jù)冪函數(shù)得的定義,求得或,結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】由題意,冪函數(shù),可得,解得或,當(dāng)時(shí),可得,可得在上單調(diào)遞減,符合題意;當(dāng)時(shí),可得,可得在上無(wú)單調(diào)性,不符合題意,綜上可得,實(shí)數(shù)的值為.故選:A.7、B【解析】由題,根據(jù)向量加減數(shù)乘運(yùn)算得,進(jìn)而得.【詳解】解:因?yàn)樵凇摆w爽弦圖”中,若,所以,所以,所以,所以.故選:B8、C【解析】根據(jù)共線(xiàn)向量(即平行向量)定義即可求解.【詳解】解:對(duì)于A:可能是零向量,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于B:兩個(gè)向量可能在同一條直線(xiàn)上,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于C:因?yàn)榕c任何向量都是共線(xiàn)向量,所以選項(xiàng)C正確;對(duì)于D:平行向量可能在同一條直線(xiàn)上,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選:C.9、B【解析】利用分段討論進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,(舍);當(dāng)時(shí),,或(舍);當(dāng)時(shí),,;綜上可得或.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的求值問(wèn)題,側(cè)重考查分類(lèi)討論的意識(shí).10、A【解析】設(shè)所求直線(xiàn)為,由直線(xiàn)與圓相切得,,解得.所以直線(xiàn)方程為或.選A.11、D【解析】A錯(cuò)誤,比如過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn),橫縱截距均為0,這時(shí)就不能有選項(xiàng)中的式子表示;B當(dāng)m=0時(shí),表示的就是和y軸平行的直線(xiàn),故選項(xiàng)不對(duì)C不正確,當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為90度時(shí),正切值無(wú)意義,因此不能表示.故不正確D根據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式得到斜率為,再代入一個(gè)點(diǎn)得到方程為:故答案為D12、C【解析】先將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題:,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值,最后解不等式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意,總存在,使得,所以,因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,因?yàn)?所以.故選:C.【點(diǎn)睛】對(duì)于不等式任意或存在性問(wèn)題,一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值大小關(guān)系,即;,二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫(xiě)在答題卡上.)13、【解析】作出和時(shí),兩個(gè)函數(shù)圖象,結(jié)合圖象分析可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí),,,兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖:當(dāng)時(shí),,,兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖:要使函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的下方,由圖可知,,故答案為:.14、【解析】綜合考慮值域與單調(diào)性即可寫(xiě)出滿(mǎn)足題意的函數(shù)解析式.【詳解】,理由如下:為上的減函數(shù),且,為上的增函數(shù),且,,故答案為:15、##【解析】二次不等式解的邊界值即為與之對(duì)應(yīng)的二次方程的根,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得,整理得,結(jié)合范圍判定求值【詳解】設(shè)的解集為,則的解集為由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得∴,即∴,即又∵,則∴,即故答案為:16、2【解析】根據(jù)給定條件把正余弦的齊次式化成正切,再代入計(jì)算作答.【詳解】因,則,所以的值為2.故答案為:2三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)17、(1),(2)【解析】(1)根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集概念即可求解;(2)根據(jù)交集的概念和一元二次不等式的解法即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,所以因?yàn)?,所以,【小?wèn)2詳解】因?yàn)樗缘慕饧癁樗越鉃樗越獾茫?8、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】(1)由平面平面,平面平面,且平面,且,根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面;(2)取的中點(diǎn),連.由,可得,又平面,所以,又,所以平面,因此就是點(diǎn)到平面的距離,在中,,,所以.試題解析:(1)證明:因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫嫫矫?,平?且,所以平面(2)取的中點(diǎn),連.因?yàn)?,所以,又平面,所以,又,所以平面,所以就是點(diǎn)到平面的距離,在中,,,所以.所以是點(diǎn)到平面的距離是.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查、線(xiàn)面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理,屬于中檔題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí),一般要根據(jù)已知條件把空間中的線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理,找出足夠的條件進(jìn)行推理;證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推論;(3)利用面面平行的性質(zhì);(4)利用面面垂直的性質(zhì),當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí),在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面.19、(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】(1)討論和時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍,再結(jié)合的范圍與函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸討論使得在上是減函數(shù)的范圍即可;(2)假設(shè)存在整數(shù),使得的解集恰好是.則,由,解出整數(shù),再代入不等式檢驗(yàn)即可小問(wèn)1詳解】解:令,則.當(dāng),即時(shí),恒成立,所以.因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),所以,解得,所以.由,解得或.當(dāng)時(shí),的圖象對(duì)稱(chēng)軸,且方程的兩根均為正,此時(shí)在為減函數(shù),所以符合條件.當(dāng)時(shí),的圖象對(duì)稱(chēng)軸,且方程的根為一正一負(fù),要使在單調(diào)遞減,則,解得.綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍為【小問(wèn)2詳解】解:假設(shè)存在整數(shù),使的解集恰好是,則①若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,且,即作差得到,代回得到:,即,由于均為整數(shù),故,,或,,,經(jīng)檢驗(yàn)均不滿(mǎn)足要求;②若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,且,即作差得到,代回得到:,即,由于均為整數(shù),故,,或,,,經(jīng)檢驗(yàn)均不滿(mǎn)足要求;③若函數(shù)在上不單調(diào),則,且,即作差得到,代回得到:,即,由于均為整數(shù),故,,或,,,經(jīng)檢驗(yàn)均滿(mǎn)足要求;綜上,符合要求的整數(shù)是或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第一問(wèn)解題的關(guān)鍵在于先根據(jù)判別式求出的取值范圍,再結(jié)合范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)討論求解;第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于分類(lèi)討論,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、不單調(diào)三種情況求解即可.20、(1);(2);(3)投入A商品4萬(wàn)元,B商品1萬(wàn)元,最大收益12萬(wàn)元.【解析】(1)根據(jù)直接計(jì)算即可.(2)依據(jù)題意直接列出式子(3)使用還原并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題可知:【小問(wèn)2詳解】由(1)可知:,設(shè)投入商品投入萬(wàn)元,投入商品萬(wàn)元?jiǎng)t收益為:【小問(wèn)3詳解】由題可知:令,則所以所以當(dāng),即時(shí),(萬(wàn)元)所以投入A商品4萬(wàn)元,B商品1萬(wàn)元,最大收益12萬(wàn)元21、(1)(x﹣3)2+(y﹣4)2=25(2)yx或x+y+57=0或x+y﹣57=0【解析】(1)設(shè)圓心C(a,b),半徑為r,然后根據(jù)條件建立方程組求解即可;(2)分直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)、直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)兩種情況求解即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意,設(shè)圓心C(a,b),半徑為r,標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,0),B(7,7),圓心在直線(xiàn)上,則有,解可得,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣3)2+(y﹣4)2=25,小問(wèn)2詳解】若直線(xiàn)l與圓C相切且與x,y軸截距相等,分2種情況討論:①直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)原點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx,則有5,解得k,此時(shí)直線(xiàn)l的方程為yx;②直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)l的方程為x+y﹣m=0,則有5,解得m=7+5或7﹣5,此時(shí)直線(xiàn)l方程為x+y+57=0或x+y﹣57=0;綜合可得:直線(xiàn)l的方程為yx或x+
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