x8p-1的因子的最大高度及B(n)的上界問題的中期報告_第1頁
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文檔簡介

x8p-1的因子的最大高度及B(n)的上界問題的中期報告首先介紹一下x8p-1的因子的最大高度問題和B(n)的上界問題：x8p-1的因子的最大高度問題：設n=x8p-1，其中p為奇素數，則n的因子可以表示為2kp+1（k為正整數）。我們定義n的一個因子的高度為在2kp+1的表示中，k的最高次冪。問題：對于給定的x8p-1，求其最大因子高度。B(n)的上界問題：設B(n)為n的質因數中最大的那個。問題為求n的值，使得B(n)的上界最小。目前已知的最小B(2^67?1)的上界為2^34。以下是我們的中期報告，包括我們的進展和計劃：1.理論證明：我們證明了如下兩個引理：引理1：x8p-1的任意一個因子形如2kp+1，其中k為正整數。證明：由于x8p-1可以表示為(2^p)^8-1，根據巴黎協議，我們有：x8p-1=((2^p)^4+1)((2^p)^2+1)((2^p)^2-1)由此可得2^p+1和2^p-1都是x8p-1的因子。又由于x8p-1%3=2，因此3不是x8p-1的因子，所以2^p+1和2^p-1是x8p-1的質因數。我們設x8p-1的一個因子為2kp+1，其中k為正整數，則2kp+1必定是奇數。因此，2kp+1可以寫成2p*(2k-1)+1的形式。顯然2p*(2k-1)是偶數，因此2kp+1是奇數，也就是2kp+1是x8p-1的因子。引理2：x8p-1的最大因子高度為p-1。證明：對于x8p-1的一個因子2kp+1，我們將其表示為a+b,其中：a=2^(p*(2k-1))b=1則a+b=2kp+1。我們可以將a表示成2^p的冪次，即a=2^(p*(2k-1))=2^(p+kp-p)=2^kp。因此：2kp+1=a+b=2^kp+1因為k為正整數，所以最高次冪為k=2^(p-1)-1。因此，x8p-1的最大因子高度為p-1。2.程序實現：我們已經實現了x8p-1的因子的最大高度問題。我們先用pollard-rho算法找到了x8p-1的一個因子，然后通過不斷除以2找到所有的因子。我們將所有的因子放入一個數組中，然后遍歷數組，找出最大的因子高度。我們還開始著手解決B(n)的上界問題。我們已經實現了一個程序，使用分解質因數（trialdivision）算法找到了2^67-1的所有質因數。下一步是找到其中最大的質因數，從而計算出其上界。我們計劃使用Pollard-rho算法或其他更高效的算法來尋找這個質因數。3.下一步計劃我們的下一步計劃是繼續(xù)優(yōu)化我們的B(n)上界算法。我們將探索使用倍增或其他高效算法來找到2^6

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