第一章 矢量分析(lsf)

第一章矢量分析本章重點(diǎn)介紹與矢量場(chǎng)分析有關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容。

矢量代數(shù)常用正交坐標(biāo)系標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的旋度拉普拉斯運(yùn)算

亥姆霍茲定理本章內(nèi)容矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來(lái)表示

矢量的幾何表示矢量可表示為：其中為模值，表征矢量的大?。粸閱挝皇噶?，表征矢量的方向；

說(shuō)明：矢量書(shū)寫(xiě)時(shí)，印刷體為場(chǎng)量符號(hào)加粗，如。教材上的矢量符號(hào)即采用印刷體。1.1矢量代數(shù)1.1.1標(biāo)量和矢量標(biāo)量與矢量標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向的物理量(電壓U、電荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度）矢量的代數(shù)表示矢量用坐標(biāo)分量表示zxy1.1.2矢量的運(yùn)算矢量的加法和減法說(shuō)明：1、矢量的加法符合交換律和結(jié)合律：

2、矢量相加和相減可用平行四邊形法則求解：矢量的乘法矢量與標(biāo)量相乘標(biāo)量與矢量相乘改變矢量大小，方向由k的正負(fù)定。矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）說(shuō)明：1、矢量的點(diǎn)積符合交換律和分配律：

2、兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為標(biāo)量矢量的矢積（叉積）說(shuō)明：1、矢量的叉積不符合交換律，但符合分配律：

2、兩個(gè)矢量的叉積為矢量3、矢量運(yùn)算恒等式qsinABq

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交線的交點(diǎn)來(lái)確定。在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。三條正交線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交坐標(biāo)系；三條正交線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。1.2三種常用的正交坐標(biāo)系1.2.1直角坐標(biāo)系位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析在直角坐標(biāo)系中矢量的表示例如：12/15/2023《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析位置矢量與距離矢量場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)源點(diǎn)坐標(biāo)場(chǎng)點(diǎn)矢徑源點(diǎn)矢徑12/15/2023《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析位置矢量與距離矢量位置矢量——由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)引向空間某一點(diǎn)的有方向線段，稱為該點(diǎn)的位置矢量或矢徑。距離矢量——由源點(diǎn)出發(fā)引向場(chǎng)點(diǎn)的矢量稱為距離矢量。12/15/20231.2.2圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系說(shuō)明：圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法：加減：標(biāo)積：矢積：1.2.3球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量說(shuō)明：球面坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算：

加減：標(biāo)積：矢積：1.2.4坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oφxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系φoθrz單位圓

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系θθ《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析1-18廣義坐標(biāo)系——（方向單位矢量）廣義柱坐標(biāo)系——（方向單位矢量）不同坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元和體積元。線積分或、面積分或和體積分。不隨位置坐標(biāo)而改變。

隨著位置坐標(biāo)的改變而改變。三種常用的正交坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換（坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換和方向矢量的轉(zhuǎn)換）。幾點(diǎn)說(shuō)明：12/15/2023三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：1、直角坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈面對(duì)稱分布的問(wèn)題求解，如無(wú)限大面電荷分布產(chǎn)生電場(chǎng)分布。2、柱面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈軸對(duì)稱分布的問(wèn)題求解，如無(wú)限長(zhǎng)線電流產(chǎn)生磁場(chǎng)分布。3、球面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈點(diǎn)對(duì)稱分布的問(wèn)題求解，如點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)分布。《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析1-20物理量的分類標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)12/15/20231.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。

例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。

例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：12/15/20231.3.1標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)空間中，由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為，則等值面方程為：在空間中，每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)著也僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的函數(shù)值，因此它必屬于也僅屬于一個(gè)等值面。空間中所有的點(diǎn)均有等值面通過(guò)，所有的等值面均互不相交。1.3.2方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場(chǎng)空間中，某點(diǎn)處場(chǎng)值沿特定方向變化的規(guī)律。方向?qū)?shù)定義：方向?qū)?shù)與選取的考察方向有關(guān)。方向?qū)?shù)物理意義：，標(biāo)量場(chǎng)

在

處沿方向增加率；，標(biāo)量場(chǎng)

在

處沿方向減小率；，標(biāo)量場(chǎng)

在

處沿方向?yàn)榈戎得娣较颍o(wú)改變）方向?qū)?shù)的計(jì)算——的方向余弦。

式中：

分別為與x,y,z坐標(biāo)軸的夾角。

梯度的定義式中：為場(chǎng)量最大變化率的方向上的單位矢量。

梯度的性質(zhì)

標(biāo)量場(chǎng)的梯度為矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)

標(biāo)量場(chǎng)梯度的幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大增加率標(biāo)量場(chǎng)梯度的方向垂直于等值面，為標(biāo)量場(chǎng)增加最快的方向標(biāo)量場(chǎng)在給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向投影1.3.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度

梯度的運(yùn)算直角坐標(biāo)系：哈密頓算符矢量和微分性球面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系：

梯度運(yùn)算相關(guān)公式式中：

為常數(shù)；為坐標(biāo)變量函數(shù)；例1.2.1試證明：①；②。式中，和分別表示對(duì)場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)和源點(diǎn)座標(biāo)的哈密頓算符?！峨姶艌?chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析1-28證明：①《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析②依梯度的基本公式1.4矢量場(chǎng)的通量與散度1.4.1矢量線（力線）矢量場(chǎng)的通量

矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向

若矢量場(chǎng)分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則定義：為矢量沿有向曲面S的通量。1.4.2矢量場(chǎng)的通量矢量線OM

問(wèn)題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大小？

引入通量的概念。

1)面元矢量定義：面積很小的有向曲面。：面元面積，為微分量，無(wú)限小：面元法線方向，垂直于面元平面。說(shuō)明：2)面元法向的確定方法：對(duì)非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋法則確定；對(duì)閉合曲面：閉合面外法線方向若S為閉合曲面

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的通量的代數(shù)和。

若，通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)出矢量線的正通量源；

若，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的負(fù)通量源；

若，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi)無(wú)通量源。

通過(guò)閉合面S的通量的物理意義：1.4.3、矢量場(chǎng)的散度

散度的定義在場(chǎng)空間中任意點(diǎn)M處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為，則定義場(chǎng)矢量在M點(diǎn)處的散度為：即流出單位體積元封閉面的通量。（通量源密度）

散度的物理意義矢量場(chǎng)的散度表征了矢量場(chǎng)的通量源的分布特性(體密度)；矢量場(chǎng)的散度是標(biāo)量；矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；矢量場(chǎng)的散度值表征空間中某點(diǎn)處通量源的密度。(正源)

負(fù)源)(無(wú)源）

若處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為無(wú)散場(chǎng)

若，則該矢量場(chǎng)稱為有散場(chǎng)，為源密度討論：在矢量場(chǎng)中，《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析1-35直角坐標(biāo)系中的散度表示式12/15/2023

在直角坐標(biāo)系下：

在圓柱坐標(biāo)系下：

在球面坐標(biāo)系下：

散度的計(jì)算1.4.4散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）該公式表明了矢量場(chǎng)的散度在體積V內(nèi)的積分等于矢量場(chǎng)穿過(guò)包圍該體積的邊界面S的通量。

散度運(yùn)算相關(guān)公式矢量的散度代表的是其通量的體密度,矢量場(chǎng)散度的體積分等于該矢量穿過(guò)包圍該體積的封閉面的總通量.散度定理的證明：從散度定義，可以得到：則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：體積的剖分VS1S2en2en1S例1.1

點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為求任意點(diǎn)處電通量密度的散度▽·D，并求穿出r為半徑的球面的電通量[解]12/15/202312/15/2023可見(jiàn)，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)的電通量密度散度均為零。它是球形場(chǎng)。這證明在此球面上所穿過(guò)的電通量的源正是點(diǎn)電荷q。12/15/2023例1.2

球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算［解］12/15/20231.5矢量場(chǎng)的環(huán)流旋度磁感應(yīng)線要么穿過(guò)曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁場(chǎng)的環(huán)流：1.5.1矢量的環(huán)流在場(chǎng)矢量空間中，取一有向閉合路徑

，則稱沿

積分的結(jié)果稱為矢量沿

的環(huán)流。即：

線元矢量：長(zhǎng)度趨近于0，方向沿路徑切線方向。

環(huán)流意義：若矢量場(chǎng)環(huán)流不為零，則矢量場(chǎng)中存在產(chǎn)生矢量場(chǎng)的漩渦源。反映矢量場(chǎng)漩渦源分布情況討論：1.5.2矢量的旋度

環(huán)流面密度稱為矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處沿方向的漩渦源密度。定義：空間某點(diǎn)M處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)流：1)環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向有關(guān)。2)任意取向面元的環(huán)流面密度與最大環(huán)流面密度的關(guān)系：

矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)在M點(diǎn)的旋度為該點(diǎn)處環(huán)流面密度最大時(shí)對(duì)應(yīng)的矢量，模值等于M點(diǎn)處最大環(huán)流面密度，方向?yàn)榄h(huán)流密度最大的方向，表示為，即：式中：

表示矢量場(chǎng)旋度的方向；

旋度的物理意義

矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)

矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析1-47直角坐標(biāo)系中的旋度的推導(dǎo)12/15/2023《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析1-48直角坐標(biāo)系中的旋度表示式12/15/2023

旋度的計(jì)算

直角坐標(biāo)系：

柱面坐標(biāo)系：

球面坐標(biāo)系：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零

旋度計(jì)算相關(guān)公式：證明證明討論：散度和旋度比較

1.5.3斯托克斯定理由旋度的定義對(duì)于有限大面積s，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有斯托克斯定理的證明：＝得證！意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于該矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲線上的環(huán)流。曲面的剖分方向相反大小相等抵消例1.3

自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為求任意點(diǎn)處(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度▽×E。12/15/2023[解]12/15/2023可見(jiàn),向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。

故這說(shuō)明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。因12/15/2023《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析梯度、散度、旋度的比較一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個(gè)矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)標(biāo)量位的最大變化率及其方向；一個(gè)矢量函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)場(chǎng)矢量與通量源之間的關(guān)系；一個(gè)矢量函數(shù)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)場(chǎng)矢量與旋渦源之間的關(guān)系。只有當(dāng)場(chǎng)函數(shù)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，梯度、散度、旋度的定義才是有意義的。在某些場(chǎng)量不連續(xù)的交界面上，就不可能定義梯度、散度和旋度。12/15/2023《電磁場(chǎng)與電磁波理論》第1章矢量分析矢量場(chǎng)的“源”有兩種，建立散度的通量源和建立旋度的旋渦源。若要使一個(gè)矢量場(chǎng)是非零場(chǎng)，則必須存在產(chǎn)生這種場(chǎng)的一種源。一個(gè)非零的矢量場(chǎng)不可能既是無(wú)源場(chǎng)又是無(wú)旋場(chǎng)。若一個(gè)矢量場(chǎng)的散度處處為零，就不存在通量源，則該矢量場(chǎng)稱為無(wú)源場(chǎng)（恒定磁場(chǎng)）。若一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度處處為零，就不存在旋渦源，則該矢量場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng)（靜電場(chǎng)）。存在通量源的矢量場(chǎng)稱有源場(chǎng)。在源區(qū)，該矢量場(chǎng)的散度不為零；而在非源區(qū)，該矢量場(chǎng)的散度仍然可以為零。存在旋渦源的矢量場(chǎng)稱為有旋場(chǎng)，但這個(gè)場(chǎng)的旋度僅在存在旋渦源的空間點(diǎn)上不為零，在其它的點(diǎn)上仍然可以為零。12/15/2023

若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)。1.6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)1.6.1無(wú)旋場(chǎng)結(jié)論：無(wú)旋場(chǎng)場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零(無(wú)漩渦源)。重要性質(zhì)：無(wú)旋場(chǎng)的旋度始終為0，可引入標(biāo)量輔助函數(shù)表征矢量場(chǎng)，即例如：靜電場(chǎng)1.6.2無(wú)散場(chǎng)

若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)為無(wú)源有旋場(chǎng)。結(jié)論：無(wú)散場(chǎng)通過(guò)任意閉合曲面的通量等于零（無(wú)散度源）。重要性質(zhì)：無(wú)散場(chǎng)的散度始終為0，可引入矢量函數(shù)的旋度表示無(wú)散場(chǎng)例如，恒定磁場(chǎng)（3）無(wú)旋、無(wú)散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分無(wú)旋場(chǎng)部分無(wú)散場(chǎng)部分1.7拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算對(duì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度求散度的運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算。記作：式中：稱為拉普拉斯算符。在直角坐標(biāo)系中：在圓柱坐標(biāo)系中：在球面坐標(biāo)系中：(1.7.3)矢量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中：1.7.2格林定理