第14章 勾股定理 章末檢測卷（解析版）

第14章勾股定理章末檢測卷（華東師大版）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，考試時間90分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2021·山西八年級期末）根據(jù)勾股定理，任意直角三角形的兩條直角邊長，，和斜邊長都是含三個未知數(shù)的方程的一組解，而每一組勾股數(shù)（例如3，4，5；5，12，13；等）都是這個方程的正整數(shù)解．高于二次的方程，，，…是否也有正整數(shù)解呢？法國數(shù)學(xué)家費馬經(jīng)過研究得出結(jié)論：當自然數(shù)時，方程沒有正整數(shù)解．這個命題的證明引起了世界各國數(shù)學(xué)家的關(guān)注，最終由英國數(shù)學(xué)家懷爾斯于1995年完成了證明．困擾了數(shù)學(xué)家300多年歷史的數(shù)學(xué)難題終于得到解決，在解決這一數(shù)學(xué)難題的過程中，反映了一代代數(shù)學(xué)家艱苦探索、不屈不撓的科學(xué)精神和聰明慧．這個定理的證明被稱為“世紀性的成就”．這個定理指的是（）A．費馬大定理 B．懷爾斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理【答案】A【分析】根據(jù)“法國數(shù)學(xué)家費馬經(jīng)過研究得出結(jié)論：當自然數(shù)時，方程沒有正整數(shù)解，”即可得到答案．【詳解】法國數(shù)學(xué)家費馬經(jīng)過研究得出結(jié)論：當自然數(shù)時，方程沒有正整數(shù)解．∴這個定理指的是費馬大定理故選A【點睛】本題主要考查了學(xué)生對于數(shù)學(xué)課外閱讀的認知程度，解題的關(guān)鍵是要多了解有關(guān)數(shù)學(xué)的課外知識．2．（2020·成都市初二期中聯(lián)考）某航空公司經(jīng)營中有A、B、C、D這四個城市之間的客運業(yè)務(wù)．它的部分機票價格如下：A﹣B為2000元；A﹣C為1600元；A﹣D為2500元；B﹣C為1200元；C﹣D為900元．現(xiàn)在已知這家公司所規(guī)定的機票價格與往返城市間的直線距離成正比，則B﹣D的機票價格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元【答案】B【分析】這家公司所規(guī)定的機票價格與往返城市間的直線距離成正比，不妨把兩地價格看為是兩點間的距離，則由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一條直線上，利用勾股定理即可解出BD的長，即是B﹣D的機票價格．【解析】把兩地價格看為是兩點間的距離，則AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．∵16002+12002=20002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB是直角，∵2500＝1600+900，即AD=AC+CD，∴A，C，D在一條直線上，∴∠BCD是直角，∴BD=＝＝1500，即B﹣D的機票價格為1500元.故選B.【點睛】本題考查了兩點間的距離、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判斷出∠ACB為直角是解題的關(guān)鍵.3．（2021·陜西九年級）如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，于點D，則AD的長為（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理計算BC的長，再利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇九年級一模）如圖，等邊中，，點是邊上一點，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．【答案】D【分析】過A點作AH⊥BC于H，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到BH＝CH＝3，利用勾股定理計算出AH＝3，然后根據(jù)垂線段最短解決問題．【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，∴BH＝CHBC＝3，∴AH3，當P點與H點重合時，AP的值最小，∴AP的最小值是3．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．也考查了垂線段最短．5．（2021·河南八年級期末）如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，寫出部分的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“”（n≥3），依此規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：在圖中標上字母，如圖所示．∵正方形的邊長為2，為等腰直角三角形，∴，，∴．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，S，…，∴．當時，，故選：A．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是找出規(guī)律“”，解決該題目時，寫出部分的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．6．（2021·陜西八年級期中）如圖所示有一“工”字形的機器零件它是軸對稱圖形，圖中所有的角都是直角，圖中數(shù)據(jù)單位：，那么、兩點之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作于點，求出BC，AC，然后根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：作于點，如下圖所示由圖可得，由勾股定理得：即A、B兩點之間的距離為故選A．【點睛】本題考查了勾股定理，構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．7．（2021·河南八年級期末）如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相對方向有一小蟲P，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是（）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【答案】B【分析】把圓柱沿著點A所在母線展開，把圓柱上最短距離轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河型最短問題求解即可.【詳解】把圓柱沿著點A所在母線展開，如圖所示，作點A的對稱點B，連接PB，則PB為所求，根據(jù)題意，得PC=8，BC=6，根據(jù)勾股定理，得PB=10，故選B.【點睛】本題考查了圓柱上的最短問題，利用圓柱展開，把問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河問題，靈活使用勾股定理是解題的關(guān)鍵.8．（2021·黑龍江省樺南實驗中學(xué)初二期中）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為A．42 B．32 C．42或32 D．37或33【答案】C【分析】存在2種情況，△ABC是銳角三角形和鈍角三角形時，高AD分別在△ABC的內(nèi)部和外部【解析】情況一：如下圖，△ABC是銳角三角形∵AD是高，∴AD⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∴在Rt△ACD中，DC=5∴△ABC的周長為：15+12+9+5=42情況二：如下圖，△ABC是鈍角三角形在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC的周長為：15+13+4=32故選：C【點睛】本題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是多解，注意當幾何題型題干未提供圖形時，往往存在多解情況.9．（2021·山西八年級期末）如圖，圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，將四個直角三角形中的邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風車”，則這個風車的外圍周長是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意∠ACB為直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的長，進一步求得風車的外圍周長．【詳解】解：依題意∠ACB為直角，AD=6，∴CD=6+6=12，由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，所以“數(shù)學(xué)風車”的周長是：(13+6)×4=76．故選：D．【點睛】本題是勾股定理在實際情況中應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．10．（2021·江蘇西附初中八年級月考）如圖，中，，，，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則線段的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根據(jù)勾股定理求得AB=5，再根據(jù)三角形的面積可求得B′F的長．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，∴AC?BC＝AB?CE，∴CE＝，∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝∴B′F＝．選：A．【點睛】此題主要考查了翻折變換，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是本題的關(guān)鍵．11．（2021·湖南八年級期末）如圖，在中，，，點D，E為BC上兩點．，F(xiàn)為外一點，且，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③【答案】A【分析】①利用全等三角形的判定得≌，再利用全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)得，再利用勾股定理得結(jié)論；③利用等腰三角形的性質(zhì)得，再利用三角形的面積計算結(jié)論；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)計算得結(jié)論．【詳解】解：如圖：

對于①，因為，所以，，因此．又因為，所以．又因為，所以．因此≌，所以．故①正確．對于②，由①知≌，所以．又因為，所以，連接FD，因此≌．所以．在中，因為，所以．故②正確．對于③，設(shè)EF與AD交于G．因為，所以．因此．故③正確．對于④，因為，又在中，又是以EF為斜邊的等腰直角三角形，所以因此，故④正確．故選A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積．12．（2021·全國初二課時練習(xí)）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB2．試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB＝（）A．6

B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可．過A作直線a的垂線，并在此垂線上取點A′，使得AA′＝MN，連接A'B，則A'B與直線b的交點即為N，過N作MN⊥a于點M．則A'B為所求，利用勾股定理可求得其值．【解析】過A作直線a的垂線，并在此垂線上取點A′，使得AA′＝4，連接A′B，與直線b交于點N，過N作直線a的垂線，交直線a于點M，連接AM，過點B作BE⊥AA′，交射線AA′于點E，如圖，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′＝MN＝4，∴四邊形AA′NM是平行四邊形，∴AM＝A′N．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定為4，所以AM+NB最?。蓛牲c之間線段最短，可知AM+NB的最小值為A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，∴BE2．∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．所以AM+NB的最小值為8．故選B．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、平行線之間的距離，解答本題的關(guān)鍵是找到點M、點N的位置，難度較大，注意掌握兩點之間線段最短．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）13．（2021·江蘇中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（示意圖如圖，則水深為__尺．【答案】12【分析】依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB=AB'=x尺，則水深A(yù)C=（x﹣1）尺，因為B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【詳解】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB=AB'=x尺，則水深A(yù)C=（x﹣1）尺，因為B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2。解之得x=13，即水深12尺，蘆葦長13尺．故答案為：12．．【點睛】此題考查勾股定理的實際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．14．（2021·山東八年級期中）如圖，在中，，，，則內(nèi)部五個小直角三角形的周長的和為______．【答案】30cm【分析】由圖形可知，內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內(nèi)部五個小直角三角形的周長為大直角三角形的周長．【詳解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，由圖形可以看出：內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內(nèi)部五個小直角三角形的周長為AC+BC+AB=30(cm)．故答案為：30cm．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．需要注意的是：平移前后圖形的大小、形狀都不改變．15．（2020·浙江省開化縣第三初級中學(xué)八年級期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構(gòu)成的兩個月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．【答案】12【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式即可求得的值．【詳解】解：設(shè)Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，則，觀察圖形可得：，即，∵，∴=，∴=4+8=12，故答案為：12．【點睛】本題考查了勾股定理、圓的面積，熟記圓的面積公式，利用等面積法得出等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．16．（2020·遼寧大石橋）如圖，，，，一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著方向勻速滾向點，機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點C處截住了小球，如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，則機器人行走的路程BC為__________．【答案】5m【分析】由題意根據(jù)小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，得到BC=AC，設(shè)BC=AC=xm，根據(jù)勾股定理求出x的值即可．【解析】解：∵小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，∴BC=AC，設(shè)BC=AC=xm，則OC=（9-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，∴32+（9-x）2=x2，解得x=5．故答案為：5m．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖．17．（2021·貴州九年級）如圖，矩形中，，，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點，延長交于點，若，則的長為______．【答案】【分析】連接，過點作，設(shè)，分別解得的長，繼而證明，由全等三角形的性質(zhì)得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，據(jù)此解題．【詳解】如圖，連接，過點作，設(shè)，則矩形中在與中，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．18．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)九年級）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點E．若為直角三角形，則BD的長是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的長，由折疊可知對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，當為直角三角形時，可以分為兩種情況進行考慮，分別利用勾股定理可求出的長．【詳解】解：在中，，（1）當時，如圖1，過點作，交的延長線于點，由折疊得：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當時，如圖2，此時點與點重合，由折疊得：，則，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：17或．【點睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是：分類討論思想的應(yīng)用注意分類的原則是不遺漏、不重復(fù)．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2021·山東七年級期末）年是第六屆全國文明城市創(chuàng)建周期的第三年，是“強基固本、全力沖刺”的關(guān)鍵之年．“創(chuàng)城”，既能深入改變一座城市的現(xiàn)代化進程，也能深刻影響生活在此間的人們．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，已知，，，，技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過測量某兩點之間距離，便快速確定了．（1）請寫出技術(shù)人員測量的是哪兩點之間的距離以及確定的依據(jù)；（2）若平均每平方米空地的綠化費用為元，試計算綠化這片空地共需花費多少元？【答案】（1）測量的是點，之間的距離，依據(jù)是：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理），見解析；（2）綠化這片空地共需要元【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷；（2）由（1）中BD的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△BCD的形狀，再利用三角形的面積公式，最后計算費用即可．【詳解】（1）測量的是點，之間的距離；依據(jù)是：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理）．（2）如圖，連接，，，，，由勾股定理，得，又，，，是直角三角形，．．綠化費用為：（元）．答：綠化這片空地共需要元．【點睛】本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面積，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABD的形狀是解答此題的關(guān)鍵．20．（2021·湖南八年級期末）定義：如圖，點、把線段分割成、、，若以、、為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點、是線段的勾股分割點．（1）已知、把線段分割成、、，若，，，則點、是線段的勾股分割點嗎？請說明理由．（2）已知點、是線段的勾股分割點，且為直角邊，若，，求的長．【答案】（1）是，理由見解析；（2）或【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷．（2）設(shè)BN＝x，則MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分兩種情形①當MN為斜邊時，依題意MN2＝AM2+NB2；②當BN為斜邊時，依題意BN2＝AM2+MN2；分別列出方程即可解決問題．【詳解】解：（1）是．理由：，，，、、為邊的三角形是一個直角三角形．故點、是線段的勾股分割點．（2）設(shè)，則，①當為最大線段時，依題意，即，解得；②當為最大線段時，依題意．即，解得綜上所述的長為或．【點睛】本題考查了勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，分類討論，熟練運用勾股定理逆定理列出方程．21．（2020·江西八年級期中）如圖，地面上放著一個小凳子，點距離墻面，在圖①中，一根細長的木桿一端與墻角重合，木桿靠在點處，．在圖②中，木桿的一端與點重合，另一端靠在墻上點處．（1）求小凳子的高度；（2）若，木桿的長度比長，求木桿的長度和小凳子坐板的寬．【答案】（1）30cm；（2）木桿長100cm，AB=40cm．【分析】（1）如圖①，過作垂直于墻面，垂足于點，由，利用勾股定理在中，即可；（2）如圖②，延長交墻面于點，可得，利用勾股定理在中，構(gòu)造方程求解即可．【詳解】解：（1）如圖①，過作垂直于墻面，垂足于點，根據(jù)題意可得：，在中，，即凳子的高度為；（2）如圖②，延長交墻面于點，可得，設(shè)，則，，，在中，，，，．

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理應(yīng)用的條件與結(jié)論，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合條件的圖形是解題關(guān)鍵．22．（2021·山東八年級期末）如圖，筆直的公路上A、B兩點相距22km，C、D為公交公司兩停車場，CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B，已知CA=6km，DB=16km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個加油站M，使得C、D公交公司兩停車場到加油站M的距離CM=DM，則加油站M應(yīng)建在離B點多遠處？【答案】6km【分析】根據(jù)CM=DM，CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B，可得∠A=∠B=90°，由勾股定理得AC2+AM2=BM2+BD2，設(shè)BM=xkm，AM=(22-x)km，可得方程，解之即可．【詳解】解：∵使得C、D公交公司兩停車場到加油站M的距離相等，∴CM=DM，∵CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B，∴∠A=∠B=90°，∴AC2+AM2=CM2，BM2+BD2=MD2，∴AC2+AM2=BM2+BD2，設(shè)BM=xkm，AM=(22-x)km，CA=6km，DB=16km，∴，解得，加油站M應(yīng)建在離B點6km遠．【點睛】本題考查勾股定理應(yīng)用，拓展一元一次方程，掌握勾股定理使用條件，一元一次方程的解法是解題關(guān)鍵．23．（2020·山西八年級期末）閱讀材料，并解決問題．有趣的勾股數(shù)定義：勾股數(shù)又名畢氏三元數(shù)．凡是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊長的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù)．一般地，若三角形三邊長，，都是正整數(shù)，且滿足，那么數(shù)組稱為勾股數(shù)．公元263年魏朝劉徽著《九章算術(shù)注》，文中除提到勾股數(shù)以外，還提到，，，等勾股數(shù)．數(shù)學(xué)小組的同學(xué)研究勾股數(shù)時發(fā)現(xiàn)：設(shè)，是兩個正整數(shù)，且，三角形三邊長，，都是正整數(shù)．下表中的，，可以組成一些有規(guī)律的勾股數(shù)．213453251213411581743724255221202954940416135123765116061724528537433566576138485通過觀察這個表格中的數(shù)據(jù)，小明發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)可以寫成．解答下列問題：（1）表中可以用，的代數(shù)式表示為_____________．（2）若，，則勾股數(shù)為______________．（3）小明通過研究表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：若，則勾股數(shù)的形式可表述為（為正整數(shù)），請你通過計算求此時的．(用含的代數(shù)式表示)【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)可得答案；（2）把，代入即可求解；（3）根據(jù)勾股定理求解即可；【詳解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，∴，故答案為：；（2）當，時，a=m2-n2=42-22=12，=2×4×2=16，c=m2+n2=42+22=20，∴勾股數(shù)為，故答案為：；（3）根據(jù)題意，得，∴，解得．【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．也就是說，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．24．（2021·山東濱州市·八年級期末）勾股定理是人類重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一．我國古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》記載，約公元前11世紀，我國古代勞動人民就知道“若勾三，股四，則弦五”，比西方早500多年．請你運用學(xué)到的知識、方法和思想探究以下問題．（探究一）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，通過圖形切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．古往今來，人們對勾股定理的證明一直保持著極大的熱情．意大利著名畫家達·芬奇用兩張一樣的紙片，拼出不一樣的空洞，利用空洞面積相等也成功地證明了勾股定理（如圖）．請你寫出這一證明過程（圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形）．（探究二）在學(xué)習(xí)勾股定理的過程中，我們獲得了以下數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗：分別以直角三角形的三邊為邊向外側(cè)作正方形（如圖2），它們的面積，，之間滿足的等量關(guān)系是：__________．遷移應(yīng)用：如圖3，圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的邊長分別是，，，，則正方形的面積是________．（探究三）如圖4，分別以直角三角形的三邊為直徑向外側(cè)作半圓，則它們的面積，，之間滿足的等量關(guān)系是________．遷移應(yīng)用：如圖5，直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，分別以三邊為直徑作半圓．若，，則圖中陰影部分的面積等于________．（探究四）《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索尺．問索長幾何．譯文：今有一豎立著的木柱，在木樁的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牽著繩索（繩索與地面接觸）退行，在距木柱根部尺處時繩索用盡．問繩索長多少？【答案】【探究一】：見解析；【探究二】：S1+S2=S3；遷移應(yīng)用：47；【探究三】S1+S2=S3；遷移應(yīng)用：30；【探究四】繩索長為尺．【分析】【探究一】根據(jù)直角三角形以及正方形的面積公式計算即可解決問題．【探究二】由正方形面積公式以及勾股定理得S1+S2=S3；遷移應(yīng)用：根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為正方形E的面積；【探究三】利用直角△ABC的邊長就可以表示出半圓S1、S2、S3的大??；遷移應(yīng)用：求出陰影部分的面積等于直角三角形的面積，然后列式計算即可得解；【探究四】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：【探究一】：由題意得：②的面積為a2+b2+2ab=a2+b2+ab；圖③的面積為c2+2ab=c2+ab，∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2；【探究二】S1+S2=S3．證明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案為：S1+S2=S3；遷移應(yīng)用：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案為：47；【探究三】S1+S2=S3．證明如下：∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2，∴S1+S2=πa2+πb2=πc2=S3；故答案為：S1+S2=S3；遷移應(yīng)用：陰影部分面積和=S1+S2+ab-S3=ab，∵a=5，c=13，∴12，∴陰影部分面積和=×5×12=30，故答案為：30；【探究四】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=，答：繩索長為尺．【點睛】本題考查了勾股定理的證明及應(yīng)用，讀懂題目材料的信息并用兩種方法準確表示出同一個圖形的面積是解題的關(guān)鍵．25．（2020·河北大名）如圖，中，，，，若點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設(shè)運動時間為秒.（1）若點在上，且滿足時，求出此時的值；（2）若點恰好在的角平分線上，求的值；（3）在運動過程中，直接寫出當為何值時，為等腰三角形.【答案】（1）；（2）；（3），，或.【分析】（1）設(shè)存在點P，使得PA=PB，此時PA=PB=2t，PC=4-2t，根據(jù)勾股定理列方程即可求出答案；（2）過P作PE⊥AB，此時，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理列方程進行解答即可（3）分類討論：當CP=CB時；當PC=PB時，當BP=BC時，列方程進行解答即可得出答案【解析】解：（1）在中，設(shè)存在點，使得，此時，，在中，，即：，解得：當時，；（2）當點在的平分線上時，如圖1，過點作于點，圖1圖2圖3此時，，，在中，，即：，解得：，當時，在的角平分線上；（3）根據(jù)題意得：，①當在上時，為等腰三角形，，即，，②當在上時，為等腰三角形，（i）若，點在的垂直平分線上，如圖2，過作于，，，即，解得：，（ii）若，即，解得：，（iii），如圖3，過作于，，當，，或時，為等腰三角形.【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理和分類討論的思想.26．（2021·河北八年級月考）已知△ABC