2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中+期末高效復(fù)習(xí)課第二章直線(xiàn)和圓的方程新定義文化高觀點(diǎn)必刷必過(guò)題含解析

Page1第二章直線(xiàn)和圓的方程新（定義，文化）高觀點(diǎn)必刷必過(guò)題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線(xiàn)的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)，，圓，在圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因?yàn)樵趫A上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，整理可得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線(xiàn)有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點(diǎn)和點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，令，則，由題知圓是關(guān)于點(diǎn)A、C的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即，，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的位置時(shí)，的值最大，最大為.故選：B.4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【詳解】表示點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和，如圖所示：點(diǎn)是關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故最小值為此時(shí)，取故選：5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，其周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng)這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法是數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重大成就，現(xiàn)作出圓的一個(gè)內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則下列4條直線(xiàn)中不是該正八邊形的一條邊所在直線(xiàn)的為A． B．C． D．【答案】C詳解：如圖所示可知，所以直線(xiàn)AB，BC，CD的方程分別為：整理為一般式即：分別對(duì)應(yīng)題中的ABD選項(xiàng).本題選擇C選項(xiàng).6．（2022·江西·貴溪市第一中學(xué)高二期末（理））若函數(shù)是定義域和值域均為的單調(diào)遞增函數(shù)，我們稱(chēng)曲線(xiàn)為洛倫茲曲線(xiàn)，它在經(jīng)濟(jì)學(xué)上用來(lái)描述一個(gè)國(guó)家的家庭收入分布情況．如圖，設(shè)曲線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成的區(qū)域面積為A，曲線(xiàn)與直線(xiàn)，x軸圍成的區(qū)域面積為B，定義基尼系數(shù)，基尼系數(shù)可以衡量一個(gè)國(guó)家家庭收入分布不平均的程度．若某個(gè)國(guó)家的洛倫茲曲線(xiàn)為，則該國(guó)家的基尼系數(shù)為（

）．A． B．C． D．【答案】D【詳解】由，可得（），所以洛倫茲曲線(xiàn)是圓心為，半徑為1的圓周，所以，，所以，故選：D7．（2022·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）古希臘亞歷山大時(shí)期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線(xiàn)軌跡”問(wèn)題：即到兩條已知直線(xiàn)距離的乘積與到第三條直線(xiàn)距離的平方之比等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓錐曲線(xiàn).今有平面內(nèi)三條給定的直線(xiàn)，，，且，均與垂直.若動(dòng)點(diǎn)M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，則動(dòng)點(diǎn)M在直線(xiàn)之間的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線(xiàn) D．拋物線(xiàn)【答案】A【詳解】因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)三條給定的直線(xiàn)，，，且，均與垂直，所以，平行，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，記為，直線(xiàn)為，為，設(shè)，且動(dòng)點(diǎn)M在直線(xiàn)之間，所以M到的距離為，M到的距離為，M到的距離為，所以，若，則；若，則，所以，即，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓.故選：A.8．（2022·福建·漳州三中高一期中）魏晉時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”.割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到的近似值為（

）（取近似值3.14）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí),每個(gè)等腰三角形的頂角為,則其面積為,又因?yàn)榈妊切蔚拿娣e之和近似等于圓的面積,所以,故選：B9．（2022·四川省開(kāi)江中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））《九章算術(shù)》是人類(lèi)科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的最早巔峰，是一部問(wèn)題集，全書(shū)分為九章，共收有246個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題都有問(wèn)、答、術(shù)三部分組成，內(nèi)容涉及算術(shù)、代數(shù)、幾何等諸多領(lǐng)域，并與實(shí)際生活緊密相連，充分體現(xiàn)了中國(guó)人的數(shù)學(xué)觀和生活觀.書(shū)中第九卷勾股部分記錄了這么一個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)枺航裼袌A材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？術(shù)曰：半鋸道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材徑.如圖，術(shù)曰所給出的求解公式為：，則答曰（

）A．二尺六寸 B．二尺五寸 C．一尺三寸 D．一尺二寸【答案】A【詳解】由題意可知?，“深一寸”是指為一寸，“鋸道長(zhǎng)一尺”是指為一尺，一尺為十寸，所以為十寸，故為26（寸），即二尺六寸；故選：A.10．（多選）（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，.點(diǎn)P滿(mǎn)足，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線(xiàn)為C，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的方程為 B．在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)（1，1）的距離為10C．在C上存在點(diǎn)M，使得 D．C上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為9【答案】AD【詳解】解：由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，化簡(jiǎn)得，即，故A正確；點(diǎn)（1，1）到圓上的點(diǎn)的最大距離，故不存在點(diǎn)D符合題意，故B錯(cuò)誤.設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，解得無(wú)解，故C錯(cuò)誤；C的圓心（-4，0）到直線(xiàn)的距離為，且曲線(xiàn)C的半徑為4，則C上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離，故D正確；故選：AD.11．（多選）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“出租車(chē)幾何”或“曼哈頓距離”（ManhattanDistance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種被使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ)．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對(duì)于任意兩點(diǎn)、，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)為線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，則為定值B．對(duì)于平面上任意一點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．對(duì)于平面上任意三點(diǎn)、、，都有D．若、為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則最大值為【答案】AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)為線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)，時(shí)，則.作出點(diǎn)的軌跡如下圖所示：由圖可知，點(diǎn)的軌跡是邊長(zhǎng)為的正方形，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、、，由絕對(duì)值三角不等式可得，同理可得，所以，，即，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，不妨設(shè)，，則，其中為銳角，且，取，，等號(hào)成立，D錯(cuò).故選：AC.12．（2022·福建福州·高二期末）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為_(kāi)__________．【答案】##【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，,故解得，由知軍營(yíng)所在區(qū)域中心為，要使從點(diǎn)到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)到軍營(yíng)最短的距離為，“將軍飲馬”的最短總路程為，故答案為：13．（2022·山東臨沂·三模）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)后人稱(chēng)之為三角形的歐拉線(xiàn)．已知的頂點(diǎn)，則其歐拉線(xiàn)方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)的重心為，垂心為由重心坐標(biāo)公式得，所以由題，的邊上的高線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)，，所以的邊上的高線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為所以所以歐拉線(xiàn)的方程為，即.故答案為：14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線(xiàn)上，后人稱(chēng)這條直線(xiàn)為歐拉線(xiàn)．已知的頂點(diǎn)，，，則歐拉線(xiàn)的方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】因的頂點(diǎn)，，，則的重心，顯然的外心在線(xiàn)段AC中垂線(xiàn)上，設(shè)，由得：，解得：，即點(diǎn)，直線(xiàn)，化簡(jiǎn)整理得：，所以歐拉線(xiàn)的方程為.故答案為：15．（2022·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決.例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題．結(jié)合上述觀點(diǎn)，函數(shù)，的值域?yàn)開(kāi)_____.【答案】【詳解】如圖所示：設(shè)單位圓上的一點(diǎn)為，點(diǎn)，，則表示直線(xiàn)的斜率，因?yàn)楣十?dāng)與重合時(shí)，的斜率為當(dāng)與重合時(shí)，的斜率最大值為所以的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，這一問(wèn)題一般的描述是：已知點(diǎn)A，B是∠MON的ON邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是OM邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？問(wèn)題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與OM邊相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大．人們稱(chēng)這一命題為米勒定理，已知點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別是（0，1），（0，3），F(xiàn)是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠DFE最大時(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D，E是y軸正半軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)F是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)米勒定理可知，當(dāng)?shù)耐饨訄A與x軸相切時(shí)，∠DFE最大，易知，弦DE的垂直平分線(xiàn)必過(guò)的外接圓圓心，所以弦DE中點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，即為外接圓半徑的大小，即r＝2．設(shè)的外接圓的圓心為（a，2），其中a＞0，則，即，解得，所以△DEF的外接圓的方程為，令y＝0，可得，即點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為．故答案為：.17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）斐波那契螺旋線(xiàn)被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋線(xiàn)”，它的畫(huà)法是：以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫(huà)一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來(lái)的弧線(xiàn)就是斐波那契螺旋線(xiàn)．如圖為該螺旋線(xiàn)在邊長(zhǎng)為1，1，2，3，5，8的正方形的中的部分，建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1），則接下來(lái)的一段圓弧所在圓的方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】根據(jù)題意，接下來(lái)的一段圓弧所在圓的半徑，其圓心為，（根據(jù)題中圖象規(guī)律發(fā)現(xiàn)），則其標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：.18．（2022·云南·高三階段練習(xí)）大約在2000多年前，我國(guó)的墨子給出了圓的概念“一中同長(zhǎng)也”，意思是說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等．這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早100多年．已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)將動(dòng)點(diǎn)的軌跡分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線(xiàn)的斜率__________．【答案】【詳解】依題意可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即.因?yàn)?，故點(diǎn)在內(nèi).當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，.因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率，所以所求直線(xiàn)的斜率.故答案為：.19．（2022·河北廊坊·高三開(kāi)學(xué)考試）“康威圓定理”是英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·威廉引以為豪的研究成果之一，定理的內(nèi)容如下：如圖，的三條邊長(zhǎng)分別為，，．延長(zhǎng)線(xiàn)段至點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)線(xiàn)段至點(diǎn)，使得，以此類(lèi)推得到點(diǎn)，，，，那么這六個(gè)點(diǎn)共圓，這個(gè)圓稱(chēng)為康威圓．已知，，，則由生成的康威圓的半徑為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，，所以康威圓的圓心在的平分線(xiàn)上，同理可知康威圓的圓心在的平分線(xiàn)上，即康威圓的圓心為的內(nèi)心．因?yàn)椋?，，滿(mǎn)足，所以，所以的內(nèi)切圓的半徑，所以，康威圓的半徑．故答案為：20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）規(guī)定：在桌面上，用母球擊打目標(biāo)球，使目標(biāo)球運(yùn)動(dòng)，球的位置是指球心的位置，球是指該球的球心點(diǎn)．兩球碰撞后，目標(biāo)球在兩球的球心所確定的直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)球的運(yùn)動(dòng)方向是指目標(biāo)球被母球擊打時(shí)，母球球心所指向目標(biāo)球球心的方向．所有的球都簡(jiǎn)化為平面上半徑為1的圓，且母球與目標(biāo)球有公共點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)球就開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在桌面上建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)母球的位置為（0，0），目標(biāo)球的位置為，要使目標(biāo)球向處運(yùn)動(dòng)，則母球的球心運(yùn)動(dòng)的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】點(diǎn)，所在直線(xiàn)的方程為，如圖所示可知，兩球碰撞時(shí)，球的球心在直線(xiàn)上，且在第一象限，設(shè)，兩球碰撞時(shí)，球的球心坐標(biāo)為，此時(shí)，則，解得，即，B兩球碰撞時(shí)，球的球心坐標(biāo)所以母球的球心運(yùn)動(dòng)的直線(xiàn)方程為，即．故答案為：21．（2022·湖北·高二期末）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的“將軍飲馬”問(wèn)題，這是一個(gè)