2023-2024學年上海市延安中學高二上學期期中數學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2023-2024學年上海市延安中學高二上學期期中數學試題一、填空題1．在正方體中，，則直線到平面的距離為．【答案】2【分析】根據已知先得出平面.然后求出點到平面的距離，即可得出答案.【詳解】根據正方體的性質可知，.又平面，平面，所以，平面.所以，點A到平面的距離，即等于直線到平面的距離.又平面，所以點A到平面的距離即為.所以，直線到平面的距離為2.

故答案為：2.2．圓錐的母線長為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的高為．【答案】【分析】直接根據圓錐的圖形特點計算即可.【詳解】由已知得該圓錐的高為.故答案為：.3．已知圓柱的底面半徑為2，高為2，則該圓柱的側面積是．【答案】【分析】圓柱的側面展開為矩形，求出矩形的長和寬，得到側面積.【詳解】圓柱的側面展開為矩形，其中矩形的一條邊長為圓柱底面周長，即，另一邊長為2，故圓柱的側面面積為.故答案為：4．如圖為正六棱柱，與直線異面的側棱共有條．

【答案】4【分析】分別寫出與平行的側棱，以及相交的側棱，即可得出答案.【詳解】根據正六棱柱的性質結合圖象可得，側棱中，沒有與平行的直線；與相交的有，共2條.又正六棱柱的側棱，共有6條，所以，與直線異面的側棱共有條.故答案為：4.5．在正方體中，為棱的中點，則與平面所成角的正切值為．【答案】【分析】在正方體中顯然有面，找到為線面角，進行計算即可.【詳解】連接,在正方體中，面,是直線與平面所成角；為棱的中點，.故答案為：.6．設，由，，，…，為質數，歸納猜想為質數．該猜想．（選填“正確”或“錯誤”）【答案】錯誤【分析】舉出反例即可.【詳解】，，所以121不是質數，所以該猜想錯誤.故答案為：錯誤7．長方體的8個頂點都在同一個球面上，且，，，則球的表面積為．【答案】【分析】根據已知求出長方體的體對角線的長，即可得出外接球的半徑，進而根據球的表面積公式得出答案.【詳解】因為，長方體外接球的直徑即等于長方體的體對角線，且，所以，，所以，，所以，外接球的半徑，表面積為.故答案為：.8．如圖，在四面體中，是的中點，是的中點，若，則乘積．【答案】【分析】直接利用向量的線性運算即可得答案.【詳解】,則，所以故答案為：9．正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數最少的是正四面體，面數最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體．如圖，正二十面體是由個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿足：頂點數-棱數+面數=，則正二十面體的頂點的個數為．【答案】【分析】根據正二十面體的結構特征，利用條件列出方程求解即可.【詳解】由于正二十面體是由個等邊三角形所組成的正多面體，所以面數為，并且每個頂點處有條棱，設正二十面體共有個頂點，則棱數為，由題意可得，解得.則正二十面體的頂點的個數為故答案為：.10．南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中描述了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.三角垛的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，從第二層開始，每層球數與上一層球數之差依次構成等差數列.現有60個籃球，把它們堆放成一個三角垛，那么剩余籃球的個數最少為.

【答案】【分析】設第層有和球，根據題意求出和，再根據和可得答案.【詳解】設第層有和球，則，，，，，所以當時，，當時，也適合上式，故，所以這層三角垛的球數之和為，因為，所以單調遞增，當時，，剩余球數為個，當時，，所以剩余球數的最小值為個.故答案為：.11．如圖，在透明塑料制成的長方體容器內灌進一些水，將容器底面一邊固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜角度的不同，有下列四個說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形的面積不改變；③棱始終與水面平行；④當時，是定值．其中正確說法是．【答案】①③④【詳解】隨著傾斜度的不同，水面四邊形的面積改變，但水的部分始終呈棱柱狀，且棱平面，∵棱，∴平面，∵體積是定值，高為定值，則底面積為定值，則底面積為定值，即為定值，綜上①③④正確．12．若正方體的棱長為3，P是正方體表面上一動點.設是以P為球心，半徑為1的動球在運動過程中經過區(qū)域的全體，則的體積為.【答案】【分析】由空間想象得到為棱長為5的正方體，去掉中心處棱長為1的正方體，各角去掉正方體減去一個頂點為球心半徑為1的球后余下部分，各棱處去掉長方體減去一條高為軸，1為底面半徑的圓柱后的部分，再結合正方體、球體、圓柱的體積公式求體積.【詳解】由題設，動球在運動過程中經過區(qū)域可看作棱長為5的正方體，先去掉中心處棱長為1的正方體，8個角處去掉：棱長為1的正方體減去一個頂點為球心半徑為1的球后剩余部分，12條棱處去掉：底面邊長為1，高為3的棱柱減去一條高為3，底面半徑為1的圓柱后剩余部分，綜上，的體積為.故答案為：二、單選題13．若，是兩個不同平面，，是兩條不同直線，則下列命題中不正確的是A．，，則B．，，則C．，，則D．，與，所成的角相等，則【答案】D【解析】根據線面垂直、面面垂直的判定定理判定即可.【詳解】解：對于A.由，，則由直線與平面垂直的判定定理得，故A正確；對于B.由，，則由直線與平面垂直的判定定理得，故B正確；對于C.由，，則由平面與平面垂直的判定定理得，故C正確；對于D.由，與，所成的角相等，則與相交、平行或異面，故D不正確.故選：D.【點睛】證明線面垂直的常用方法及關鍵：（1）證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性；③面面垂直的性質.（2）證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質.14．已知數列的通項公式為，記數列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入得出，先說明為等差數列.進而由已知可得出，代入求解即可得出答案.【詳解】令，則為常數，所以數列為等差數列，首項為.由已知對任意的恒成立，可知有，即，解得.故選：A.15．如圖所示，一個燈籠由一根提竿PQ和一個圓柱組成，提竿平行于圓柱的底面，在圓柱上下底面圓周上分別有兩點A、B，AB與圓柱的底面不垂直，則在圓柱繞著其旋轉軸旋轉一周的過程中，直線PQ與直線AB垂直的次數為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】作出與垂直的平面后判斷幾何關系【詳解】作出平面，使得平面，當時，平面或平面，結合旋轉分析可知有兩次使得．故選：A16．如圖，正方體的棱長為1，E，F分別是棱，的中點，過直線的平面分別與棱，交于點M，N，設，給出下列三個結論：①四邊形一定為菱形；②若四邊形的面積為，，則有最大值；③若四棱錐的體積為，，則為常值函數.其中正確結論有多少個?（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先根據面面平行的性質定理得出四邊形為平行四邊形.進而根據線面垂直的判定定理以及性質定理證明，即可得出①；根據①的結論，得出四邊形的面積，只需考慮即可，觀察圖形，即可判斷②；將四棱錐分割為三棱錐與三棱錐，進而根據線面垂直的判斷定理，以及線面平行的性質，即可得出三棱錐的高為常數，即可得出③.【詳解】對于①，如圖1，連接.因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，.同理可得，.所以，四邊形為平行四邊形.根據正方體的性質可知，，平面，又平面，所以.因為平面，平面，，所以，平面.又平面，所以.因為分別是的中點，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以四邊形為菱形，故①正確；對于②，由①知，四邊形為菱形，所以，四邊形的面積為.因為為定值，所以當最大時，面積最大.由圖可知，當或，即點與點或重合時，有最大值，此時或.所以，當，沒有最大值，故②錯誤；對于③，如圖2，連接，則四棱錐被分割為三棱錐與三棱錐.根據正方體的性質可知，，平面，又平面，所以.因為平面，平面，，所以，平面，所以，點到平面，即平面的距離等于.因為，平面，平面，所以平面.又，所以點到平面的距離即等于點到平面的距離.同理可得，點到平面的距離也等于.所以，到平面的距離之和為常數.又的面積為一個常數，所以，三棱錐與三棱錐的體積均為常數，即四棱錐的體積一個常數，故③正確.故選：C.【點睛】方法點睛：在求解不規(guī)則多面體的體積時，常采用分割的方法.將不規(guī)則多面體分割為若干個規(guī)則的多面體，逐個求解.三、解答題17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，M為PC中點．

(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于點，連接.由已知推得，即可根據線面平行的判定定理得出證明；（2）建立空間直角坐標系，求出以及平面的法向量的坐標，根據向量法求解即可得出答案.【詳解】（1）連接，交于點，則是的中點，連接.因為，分別是的中點，所以，.因為，平面，平面，所以，平面.（2）

如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，.因為平面，所以即為平面的一個法向量.設直線與平面所成角為，因為，，所以，，.18．如圖，圓錐的頂點是S，底面中心為O，P為AS的中點，Q是半圓弧的中點，且，．

(1)求異面直線與所成角的正切值；(2)在該圓錐側面上，求從P到Q的最短路徑的長度．【答案】(1)2(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，求出，，根據向量求解得出夾角的余弦值.然后根據同角三角函數的基本關系，即可得出答案；（2）將圓錐沿剪開得到扇形，根據已知得出扇形的有關量，結合已知在中，根據余弦定理求解，即可得出答案.【詳解】（1）連接，由已知可得.由已知可得，，，.如圖1，建立空間直角坐標系，則，，，，，則，，所以，.設異面直線與所成角為，則，，所以，.

（2）

如圖2，將圓錐沿剪開得到扇形，則圖中即為所求最小值.由已知可得，該扇形的半徑即等于圓錐的母線，弧長即等于原圓錐底面圓的周長，所以，扇形的圓心角為.又Q是半圓弧的中點，所以.則在中，有，，，由余弦定理可得，，所以，,所以，從P到Q的最短路徑的長度為.19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，．(1)求證：平面；(2)試在棱PB上確定一點，使截面把該幾何體分成的兩部分與的體積比為；(3)H是PB中點，求二面角大小的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)點為的中點(3)【分析】（1）根據已知可得，，進而即可根據線面垂直的判定定理得出證明；（2）過點作，證明四邊形是平行四邊形.進而求出梯形的各個邊長以及面積，得出四棱錐的體積，進而得出三棱錐的體積為.過點作，求出的面積，即可得出，即可得出點位置；（3）建立空間直角坐標系，得出相關點以及向量的坐標，求出平面以及平面的法向量，根據向量求解即可得出答案.【詳解】（1）因為底面，平面，所以，.又，，所以，.因為平面，平面，，所以，平面.（2）因為，所以.過點作，則.又，所以，四邊形是平行四邊形，所以，.因為，所以，，點為中點，所以，.所以，梯形的面積為，四棱錐的體積.由已知與的體積比為，所以，三棱錐的體積為.過點作，則，且是三棱錐的高，因為，所以有.因為，所以，，，所以，三棱錐的體積為，所以，，所以，點為的中點.（3）如圖2，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.因為底面，所以即為平面的一個法向量.設為平面的一個法向量，則，取，可得為平面的一個法向量.所以，.由圖象可知，二面角為銳角，所以二面角大小的余弦值為.20．定義：若無窮數列滿足是公比為q的等比數列，則稱數列為“數列”.設數列中，，.（1）若，且數列為“數列”，求數列的通項公式：（2）設數列的前n項和為，且，請判斷數列是否為“數列”，并說明理由；（3）若數列是“數列”，是否存在正整數m，n，使得？若存在，請求出所有滿足條件的正整數m，n；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，理由見解析；（3）存在，，.【分析】（1）根據數列的定義，結合等比數列的定義進行求解即可；（2）利用前n項和與項的關系得到的遞推關系，再利用構造等比數列法求解得到數列的通項公式，并結合數列的定義進行判斷；（3）結合定義，推導得出結果．【詳解】（1）因為，且數列為“數列”，所以，即，所以是