2024屆廣東省東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中等六校高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat18頁(yè)2024屆廣東省東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中等六校高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】由，所以.故選：B.3．已知非零向量、滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出的值，結(jié)合平面向量夾角的取值范圍可得出與的夾角.【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄?、滿足，且，則，所以，，又因?yàn)?，?因此，與的夾角為.故選：A.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和的正切公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得的值.【詳解】因?yàn)?，整理可得，解得，所以?故選：C.5．已知函數(shù)和直線l：，那么“直線l與曲線相切”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)直線與曲線相切，求出，利用充分條件與必要條件的定義即可判斷出結(jié)論．【詳解】設(shè)函數(shù)和直線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，可得，所以時(shí)，直線與曲線相切；直線與曲線相切不能推出．因此“直線與曲線相切”是“”的必要不充分條件．故選：B．6．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：D7．已知三棱錐如圖所示，、、兩兩垂直，且，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則空間幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，證明出平面，計(jì)算出三棱錐、的體積，可得出，即可得解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，，、平面，所以，平面，因?yàn)椋瑒t平面，且，則，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，所以，，，因此，.故選：C.8．已知數(shù)列為有窮整數(shù)數(shù)列，具有性質(zhì)p：若對(duì)任意的，中存在，，，…，（，，i，），使得，則稱(chēng)為4-連續(xù)可表數(shù)列.下面數(shù)列為4-連續(xù)可表數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行驗(yàn)證即可得．【詳解】選項(xiàng)A中，，和不可能為4，A不是4-連續(xù)可表數(shù)列；選項(xiàng)B中，，B是4-連續(xù)可表數(shù)列；選項(xiàng)C中，沒(méi)有連續(xù)項(xiàng)的和為2，C不是4-連續(xù)可表數(shù)列；選項(xiàng)D中，沒(méi)有連續(xù)項(xiàng)的和為1，D不是4-連續(xù)可表數(shù)列．故選：B．二、多選題9．關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說(shuō)法正確的是（

）A．，，若，則B．若且，則C．若點(diǎn)G是的重心，則D．若向量，，則向量在向量上的投影向量為【答案】CD【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用向量垂直的表示可判斷B選項(xiàng)；利用三角形重心的向量性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，已知，，若，則，解得，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若且，則，所以，或，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若點(diǎn)G是的重心，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若向量，，則向量在向量上的投影向量為，D對(duì).故選：CD.10．已知函數(shù)的圖象為，以下說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)的最大值為B．圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為C．圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)D．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位【答案】BCD【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的最大值為，故A錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期，所以圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為，故B正確；因?yàn)?，所以圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故C正確；將的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變得到，再將向右平移個(gè)單位得到，故D正確；故選：BCD11．若函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，則稱(chēng)為“Ⅰ型函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)是“Ⅰ型函數(shù)”B．函數(shù)是“Ⅰ型函數(shù)”C．若函數(shù)是“Ⅰ型函數(shù)”，則函數(shù)也是“Ⅰ型函數(shù)”D．已知，若，是“Ⅰ型函數(shù)”，則【答案】ACD【分析】根據(jù)所給函數(shù)的定義求解C，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求解A，根據(jù)三角函數(shù)的周期性以及單調(diào)性求解BD.【詳解】對(duì)于A,由可得，所以，故A正確，對(duì)于B，取，則由以及可得,故這與存在唯一的矛盾，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于函數(shù)是“Ⅰ型函數(shù)”，則對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，故，因此對(duì)于對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，故是“Ⅰ型函數(shù)”，C正確，對(duì)于D，對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，所以，由于，所以，由于在單調(diào)遞增，所以且，故，D正確，故選：ACD12．已知棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，使得B．三棱錐的外接球半徑最小值為C．當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)P與平面平行的平面截正方體所得的截面面積為D．存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線的距離為【答案】BCD【分析】建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量共線求解A，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，結(jié)合外接球半徑的求解即可判定B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合六邊形的面積求解即可判定C，建立空間坐標(biāo)系，利用點(diǎn)線距離的向量求法，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.【詳解】由于為等邊三角形，且其外接圓的半徑為，由于平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面，故，同理可證,因此平面，故平面，因此三棱錐為正三棱錐，設(shè)外接球半徑為，球心到平面的距離為，則，故當(dāng)時(shí)，為最小值，故B正確，取的中點(diǎn)為,,連接,當(dāng)是的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，則該截面為與平面平行的平面截正方體所得的截面，進(jìn)而可得該截面為正六邊形，邊長(zhǎng)為,所以截面面積為，C正確，對(duì)于D,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，(),,所以點(diǎn)P到直線的距離為，由于，所以，由于,故D正確，由于，,則,,若與共線，則，，此時(shí)，此時(shí)與不共線，故不平行故A錯(cuò)誤，故選：BCD三、填空題13．關(guān)于的不等式的解集為，則.【答案】/【分析】分析可知，、是關(guān)于的方程的兩根，利用韋達(dá)定理可得出的值.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，則，且、是關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，，解得，所以，.故答案為：.14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，則.【答案】【分析】根據(jù)求出，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以，所以.故答案為：15．已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有六個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】方程變形為或，其中可解得兩個(gè)根，因此應(yīng)有4個(gè)根，作出函數(shù)的圖象與直線，由圖象得它們有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)的參數(shù)范圍．【詳解】，則或，，，即有兩個(gè)根，因此應(yīng)有4個(gè)根，作出函數(shù)的圖象與直線，由圖象可知，當(dāng)時(shí)滿足題意，故答案為：．16．如圖，已知函數(shù)（其中，，）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，，，，.則函數(shù)在上的值域?yàn)?【答案】【分析】由題意可得：，，可得，，，的坐標(biāo)，根據(jù)，可得方程，進(jìn)而解出，，，即可求出，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】由題意可得：，，，，，，，，，把代入上式可得：，.解得，，，，解得.，，解得，所以函數(shù)，時(shí)，，，故答案為：四、解答題17．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用與的關(guān)系可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】（1）解：對(duì)任意的，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公差為，所以，，故.（2）解：當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.所以，，故.18．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且.(1)求角的值；(2)已知點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合余弦定理、基本不等式可得出關(guān)于的不等式，由此可解得的最大值.【詳解】（1）解：因?yàn)?、，則，由正弦定理可得，所以，，故.（2）解：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，所以，，由余弦定理可得，所以，，，由基本不等式可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.19．若二次函數(shù)滿足(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，解關(guān)于的不等式：.【答案】(1)(2)【分析】（1），根據(jù)可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)未知數(shù)的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：設(shè)，則，所以，，解得，故.（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故對(duì)任意的，，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，由可得，解得或，因此，不等式的解集為.20．如圖（1）所示，在中，，過(guò)點(diǎn)作，垂足在線段上，且，，沿將折起（如圖（2）），點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若二面角所成角的正切值為，求二面角所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明出平面，可得出，利用中位線的性質(zhì)可得出，即證得結(jié)論成立；（2）分析可知，二面角的平面角為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角所成角的余弦值.【詳解】（1）證明：翻折前，，則，，翻折后，則有，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，在四棱錐中，因?yàn)辄c(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，則，因此，.（2）解：因?yàn)椋?，則二面角的平面角為，即，因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，則，又因?yàn)椋瑒t、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，所以，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.21．已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，.數(shù)列滿足：（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)證明：.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（3）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，又.（2）所以，所以，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為8，公比為的等比數(shù)列；（3）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問(wèn)考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o(wú)法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號(hào)，再由錯(cuò)位相減法即可得證.22．已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】(1)上單