新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布學(xué)案新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

7.5正態(tài)分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量．2．通過具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征．3．了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義．4．會(huì)根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求隨機(jī)變量在某一區(qū)間的概率．核心素養(yǎng)1．通過學(xué)習(xí)正態(tài)分布，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)．2．借助“3σ”原則解題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)1正態(tài)分布(1)正態(tài)密度函數(shù)，刻畫隨機(jī)誤差的函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f((x－μ)2,2σ2)，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)．對(duì)任意的x∈R，f(x)＞0，它的圖象在x軸的上方，x軸和曲線之間的區(qū)域?yàn)槊娣e_1__，我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)．(2)正態(tài)密度曲線：正態(tài)密度函數(shù)的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．(3)正態(tài)分布：①定義：若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布；②記作：X～N(μ，σ2)；③特例：當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從_標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)__分布．想一想：若X～N(μ，σ2)，怎樣表示上圖中陰影A，B的面積？提示：陰影A的面積P(X≤x)；陰影B的面積P(a≤X≤b)．練一練：(多選)以下關(guān)于正態(tài)密度曲線的說法中正確的有(BCD)A．曲線都在x軸的上方，左右兩側(cè)與x軸無限接近，最終可與x軸相交B．曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱C．曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的鐘形形狀D．曲線與x軸之間的面積為1[解析]正態(tài)密度曲線與x軸永遠(yuǎn)不相交，A錯(cuò)，其余均正確．知識(shí)點(diǎn)2正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線_x＝μ__對(duì)稱．(2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近于_x軸__.想一想：μ，σ取值不同對(duì)正態(tài)曲線有何影響？提示：當(dāng)參數(shù)σ取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移；當(dāng)μ取定值時(shí)，當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦小”，表示隨機(jī)變量x的分布比較集中，當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量x分布比較分散．練一練：正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3\r(2π))e－eq\f((x－1)2,18)，x∈R的圖象是圖中的(D)[解析]因?yàn)檎龖B(tài)曲線函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故選D.知識(shí)點(diǎn)3X～N(μ，σ2)在區(qū)間[μ－kσ，μ＋kσ](k∈N*)上的概率(1)概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_0.997_3__.(2)3σ原則：通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值．練一練：關(guān)于正態(tài)分布N(μ，σ2)，下列說法正確的是(D)A．隨機(jī)變量落在區(qū)間長度為3σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件B．隨機(jī)變量落在區(qū)間長度為6σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件C．隨機(jī)變量落在(－3σ，3σ)之外是一個(gè)小概率事件D．隨機(jī)變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個(gè)小概率事件[解析]因?yàn)镻(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，所以P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.9973＝0.0027.所以隨機(jī)變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個(gè)小概率事件．題|型|探|究題型一正態(tài)分布和正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1(1)已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)φi(x)＝eq\f(1,σi\r(2π))e－eq\f((x－μi)2,2σ2i)(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(D)A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3C．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3(2)如圖是一條正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫出相應(yīng)正態(tài)密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差．[解析](2)從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對(duì)稱，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,σ\r(2π))＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是正態(tài)密度函數(shù)解析式是f(x)＝eq\f(1,2\r(π))e－eq\f((x－20)2,4)，x∈R.總體隨機(jī)變量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.[規(guī)律方法]由正態(tài)曲線確定均值與方差的方法正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)是μ與σ2，μ刻畫了隨機(jī)變量取值的平均水平，σ2是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，因此我們由正態(tài)曲線的形狀與位置可比較參數(shù)的大小，反之利用參數(shù)之間的大小關(guān)系，也可以確定正態(tài)曲線的形狀與位置．①對(duì)稱軸是直線x＝μ，②σ的值由x＝μ時(shí)的函數(shù)值計(jì)算，即用f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))求得σ的值．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(1)設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是(C)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)(2)(多選)已知X～N(μ，σ2)，f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f((x－μ)2,2σ2)，x∈R，則(BCD)A．曲線y＝f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積小于1B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱C．P(X>μ－σ)＝2P(μ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)D．函數(shù)F(x)＝P(X>x)在R上單調(diào)遞減[解析](1)由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，且σ越小，曲線越“瘦高”，σ越大，曲線越“矮胖”，知μ1<μ2，σ1<σ2，故A、B均不正確；由P(X≤a)為x軸、直線x＝a及x≤a時(shí)的曲線所圍成的面積知C正確，D錯(cuò)誤．故選C.(2)曲線y＝f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積等于1，所以A不正確；f(x＋μ)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x2,2σ2)，f(μ－x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x2,2σ2)，所以f(x＋μ)＝f(μ－x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)镻(μ－σ<X<μ)＝P(μ<X<μ＋σ)，所以P(X>μ－σ)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝2P(μ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)，所以選項(xiàng)C正確；由正態(tài)曲線可知，函數(shù)F(x)＝P(X>x)隨x的增大而減小，是減函數(shù)，所以選項(xiàng)D正確．題型二利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率典例2設(shè)X～N(10,1)．(1)求證：P(1<X<2)＝P(18<X<19)；(2)若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．[解析](1)證明：∵X～N(10,1)，∴正態(tài)曲線φμ，σ(x)關(guān)于直線x＝10對(duì)稱，而區(qū)間(1,2)和(18,19)關(guān)于直線x＝10對(duì)稱，即P(1<X<2)＝P(18<X<19)．(2)∵P(X≤2)＋P(2<X≤10)＋P(10<X<18)＋P(X≥18)＝1，μ＝10，∴P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，P(2<X≤10)＝P(10<X<18)，∴2a＋2P(10<X<18)＝1，即P(10<X<18)＝eq\f(1－2a,2)＝eq\f(1,2)－a.[規(guī)律方法]正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.(2)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b<μ，則P(X<b)＝eq\f(1－P(μ－b<X<μ＋b),2).特別提醒：正態(tài)曲線，并非都關(guān)于y軸對(duì)稱，只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線才關(guān)于y軸對(duì)稱．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(1)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2<ξ<2)＝(C)A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977(2)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，則P(ξ>4－c)等于(B)A．a(chǎn) B．1－aC．2a D．1－2a[解析](1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.(2)對(duì)稱軸x＝2，∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a.題型三實(shí)際問題中的正態(tài)分布典例3(1)數(shù)學(xué)考試試卷滿分是150分，設(shè)在一次考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布，且均值為110，標(biāo)準(zhǔn)差為20.求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中分?jǐn)?shù)在90分以上的概率；(2)某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外徑尺寸X～N(4,0.25)．質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查一件，測得它的外徑為5.7cm，試問該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？[分析](3)判斷某批產(chǎn)品是否合格，主要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想．欲判定這批零件是否合格，關(guān)鍵是看隨機(jī)抽查的一件產(chǎn)品的外徑尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)還是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．[解析](1)由題意可知，分?jǐn)?shù)X～N(110,202)，μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)，因?yàn)镻(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1，所以P(X≤μ－σ)＝0.1585，所以P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.1585＝0.8415.(2)由于圓柱形零件的外徑尺寸X～N(4，0.25)，由正態(tài)分布的特征可知，X在區(qū)間(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率約為0.0027.而5.7?(2.5,5.5)，這說明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，根據(jù)統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，認(rèn)為該廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品是不合格的．[規(guī)律方法]解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)注點(diǎn)(1)方法：轉(zhuǎn)化法，把普通的區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ區(qū)間，由特殊區(qū)間的概率值求出．(2)理論基礎(chǔ)：①正態(tài)曲線的對(duì)稱性；②曲線與x軸之間的面積為1；③P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(1)已知某批零件的長度(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(100,32)，從中隨機(jī)抽取一件，其長度落在區(qū)間(103,106)內(nèi)的概率為(B)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%(2)現(xiàn)有1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，測試成績X(滿分150分)服從正態(tài)分布N(100，σ2)，已知120分及以上的人數(shù)為160人，那么通過以上信息推測這次數(shù)學(xué)成績140分以上者人數(shù)約為(B)A．20 B．25C．30 D．40[解析](1)P(103<X<106)＝P(μ＋σ<ξ<μ＋2σ)≈eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359＝13.59%.(2)因?yàn)槌煽僗(滿分150分)服從正態(tài)分布N(100，σ2)，又因?yàn)?20分及以上的人數(shù)為160人，所以80分及以下的人數(shù)也為160人，所以P(80<X<120)＝eq\f(1000－160－160,1000)＝0.68.由此可知，σ＝20，即X～N(100,202)，所以P(60<X<140)≈0.95，故140分及以上的人數(shù)約為eq\f(1000－1000×0.95,2)＝25(人)．1．正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f((x－μ)2,2σ2)，x∈R，其中μ>0的圖象是下圖中的(D)[解析]正態(tài)曲線函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝μ>0對(duì)稱，故選D.2．若X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，則X落在(－3.5，－0.5]內(nèi)的概率是(B)A．95.45% B．99.73%C．4.55% D．0.27%[解析]由X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，知μ＝－2，σ＝eq\f(1,2)，∴P(－3.5<X≤－0.5)＝P(－2－3×0.5<X≤－2＋3×0.5)＝0.9973.3．某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，則下列結(jié)論中不正確的是(D)A．σ越小，該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大B．σ越小，該物理量一次測量結(jié)果大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D