人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《第二十一章 一元二次方程》訓(xùn)練題-附答案

第第頁人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《第二十一章一元二次方程》訓(xùn)練題-附答案知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義；會把一元二次方程化為一般形式；

2．會把一元二次方程化為一般形式；

3．會用整體思想及一元二次方程的解求代數(shù)式的值.

【要點梳理】要點一、一元二次方程的有關(guān)概念

1．一元二次方程的概念：

通過化簡后只含有一個未知數(shù)(一元)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程．

特別說明：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地任何一個關(guān)于x的一元二次方程都能化成形如這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項是二次項系數(shù)；bx是一次項b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．

特別說明：

(1)只有當(dāng)時方程才是一元二次方程；

(2)在求各項系數(shù)時應(yīng)把一元二次方程化成一般形式指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

4.中考熱點：通過方程的解和整體思想降次求代數(shù)式的解。【典型例題】類型一、一元二次方程的定義1．已知關(guān)于的方程是一元二次方程求的值．【答案】．【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足四個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)可得答案．解：由關(guān)于的方程是一元二次方程得．解得．【點撥】本題考查了一元二次方程的概念判斷一個方程是否是一元二次方程首先要看是否是整式方程然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．舉一反三：【變式1】若方程是關(guān)于的一元二次方程求m的值．【答案】．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出m2=2再求出答案即可．解：根據(jù)題意得解得所以當(dāng)方程是關(guān)于的一元二次方程時．【點撥】本題考查了一元二次方程的定義注意：只含有一個未知數(shù)并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2次的整式方程叫一元二次方程．【變式2】已知關(guān)于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．求：（1）當(dāng)k為何值時原方程是一元二次方程；（2）當(dāng)k為何值時原方程是一元一次方程并求出此時方程的解．【答案】（1）k≠1且k≠2；（2）k=2x=﹣5．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義得到（k-1）（k-2）≠0由此求得k的值；（2）根一元一次方程的定義得到k-2=0由此得到該方程為x+5=0解方程即可．解：（1）依題意得（k﹣1）（k﹣2）≠0解得k≠1且k≠2；（2）依題意得（k﹣1）（k﹣2）=0且k﹣1≠0解得k=2.此時該方程為x+5=0解得x=﹣5．【點撥】考查了一元一次方程、一元二次方程的定義．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．類型二、一元二次方程的一般形式2．將下列方程化成一元方程的一般形式并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．；

；；

．【分析】（1）移項得根據(jù)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的定義求解即可；（2）移項得然后根據(jù)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的定義求解即可；（3）原方程整理為然后根據(jù)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的定義求解即可；（4）原方程整理為然后根據(jù)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的定義求解即可．解：由原方程得到：所以二次項系數(shù)為一次項系數(shù)為常數(shù)項為：；由原方程得到：所以二次項系數(shù)為一次項系數(shù)為常數(shù)項為：；由原方程得到：所以二次項系數(shù)為一次項系數(shù)為常數(shù)項為：；由原方程得到：所以二次項系數(shù)為一次項系數(shù)為常數(shù)項為：．【點撥】本題考查了一元二次方程一般式：ax2+bx+c=0（a≠0）a叫二次項系數(shù)b叫一次項系數(shù)c叫常數(shù)項．舉一反三：【變式1】已知關(guān)于的一元二次方程．求的取值范圍；已知是該方程的一個根求的值并將原方程化為一般形式寫出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．【答案】（1）；（2）二次項系數(shù)是一次項系數(shù)是常數(shù)項是．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義得出k+3≠0求出即可；（2）把x=-2代入方程即可求出k再把k的值代入即可．解：∵方程是一元二次方程∴即；把代入方程得：解得：代入方程得：即故二次項系數(shù)是一次項系數(shù)是常數(shù)項是．【點撥】考查一元二次方程的定義一元二次方程的解以及一元二次方程的一般形式一元二次方程（是常數(shù)且a≠0）的分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．【變式2】把關(guān)于的方程化成一元二次方程的一般形式并寫出方程中各項與各項的系數(shù).【答案】二次項二次項系數(shù)2；一次項一次項系數(shù)；常數(shù)項【分析】先化成一元二次方程的一般系數(shù)再找出系數(shù)即可.解：原方程整理得∴∴各項與各項的系數(shù)分別為：二次項二次項系數(shù)2；一次項一次項系數(shù)；常數(shù)項.【點撥】本題考查了一元二次方程的一般形式的應(yīng)用能把方程化成一般形式是解此題的關(guān)鍵注意：說系數(shù)帶著前面的符號．類型三、中考熱點（一元二次方程的解和整體思想應(yīng)用）3、若是方程的一個根求的值．【答案】．【分析】把代入原方程得到關(guān)于的一元二次方程2-5+1=0化簡得到+=5,代入直接求值即可．解：由題意得則．兩邊同除以得所以兩邊同時平方得所以所以．【點撥】代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知而是隱含在題設(shè)中首先應(yīng)從題設(shè)中獲取代數(shù)式的值然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．舉一反三：【變式1】已知關(guān)于的一元二次方程．若方程有一個根的平方等于9求的值．【答案】1或-5【分析】根據(jù)題意該方程的根可能是或分類討論把x的值代入原方程求出m的值．解：∵方程有一個根的平方等于9∴這個根可能是或當(dāng)則解得當(dāng)則解得綜上：m的值是1或-5．【點撥】本題考查一元二次方程的根解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根的定義．【變式2】先化簡再求值：其中a是方程x2－x=6的根．【答案】解：原式=．∵a是方程x2－x=6的根∴a2－a=6．∴原式=．先根據(jù)分式混合運算的順序把原式進(jìn)行化簡再根據(jù)a是方程x2－x=6的根求出a的值代入原式進(jìn)行計算即可（本題整體代入）．類型四、知識拓展5、已知m是方程x2?x?2=0的一個實數(shù)根求代數(shù)式的值．【答案】4解：∵m是方程x2?x?2=0的根∴m2?m?2=0即m2?m=2m2?2=m．∴．13．已知等腰直角中點為邊上動點連接過點作交于點拖動點．（1）若垂足為點求證：（2）若且求的長度【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)結(jié)合題意得到從而得；再結(jié)合等腰直角中得從而得到結(jié)合勾股定理即可完成證明；（2）過D作交AC于點G結(jié)合題意推導(dǎo)出等腰直角,得DG和AB的關(guān)系式；通過得通過外角性質(zhì)計算得從而得到根據(jù)直角三角形角所對直角邊是斜邊的一半得AD和AB的關(guān)系式通過中勾股定理計算即可得到答案．解：（1）∵∴∵∴∴∵等腰直角中∴∵∴∴∴∴；（2）如圖過D作交AC于點G設(shè)∵∴∵∴∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∴即∴∴∵∴∴或（舍去）∴的長度為．【點撥】本題考查了等腰三角形、勾股定理、一元二次方程、全等三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形、勾股定理、全等三角形、直角三角形的性質(zhì)從而完成求解．舉一反三：【變式1】如圖在中從點為圓心長為半徑畫弧交線段于點以點為圓心長為半徑畫弧交線段于點連結(jié)．(1)若求的度數(shù)：(2)設(shè)．①請用含的代數(shù)式表示與的長；②與的長能同時是方程的根嗎？說明理由．【答案】（1）；（2）①；②是理由見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)判斷出△DBC是等邊三角形即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；②根據(jù)方程的解得定義判斷AD是方程的解則當(dāng)AD=BE時同時是方程的解即可得到結(jié)論．解：（1）∵又是等邊三角形．．（2）①∵又．②∵∴線段的長是方程的一個根．若與的長同時是方程的根則即∴當(dāng)時與的長同時是方程的根．【點撥】本題考查了勾股定理一元二次方程的解；熟練掌握直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)求邊與角的方法掌