第7講、1.4.2充要條件+ 講義 高一上學(xué)期初高中數(shù)學(xué)銜接

1.4充要條件第7講、1.4.2充要條件知識點(diǎn)一、原命題和逆命題問題1、初中我們學(xué)過兩直線的判定定理——兩直線平行內(nèi)錯角相等和兩直線平等的性質(zhì)定理——內(nèi)錯角相等，兩直線平行，請講他們改寫成“若p，則q”的形式，并說明他們的條件和結(jié)論之間的位置關(guān)系．問題2、初中我們知道，上述定理是正確的，那么p：兩直線平行和q：內(nèi)錯角相等存在什么樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？知識梳理知識梳理逆命題：將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個新的命題“若q，則p”稱這個命題為原命題的逆命題．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作：p?q．注：原命題和逆命題是相互依存，同時(shí)存在的，不能說單獨(dú)的一個命題是逆命題．知識點(diǎn)二、充要條件問題3、請寫出下列“若p，則q”形式的命題的逆命題，并指出哪些命題與它的逆命題都是真命題？(1)若兩個三角形的三條邊相等，則這兩個三角形全等；(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則ac<0；(4)若c<0，則c=2．問題4、根據(jù)問題3中命題(1)和其逆命題的真假，你能判斷p，q的關(guān)系嗎？（充要條件）問題5、根據(jù)問題3中命題(2)和其逆命題的真假，你能判斷p，q的關(guān)系嗎？（）問題6、根據(jù)問題3中命題(2)和其逆命題的真假，你能判斷p，q的關(guān)系嗎？（）問題7、根據(jù)問題3中命題(2)和其逆命題的真假，你能判斷p，q的關(guān)系嗎？（）知識梳理知識梳理四種充分、必要條件(1)若p?q，則p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．(2)條件關(guān)系判定的常用結(jié)論：條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論(p是q的)p?q，且q?p充分不必要條件q?p，且p?q必要不充分條件p?q，且q?p充要條件p?q，且q?p既不充分也不必要條件注意點(diǎn)：(1)充要條件的判斷方法：①確定哪個是條件，哪個是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論；③再嘗試用結(jié)論推條件；④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件．(2)充要條件的等價(jià)說法：p是q的充要條件又常說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立，或p與q等價(jià)．例1、指出下列各組命題中，p是q的什么條件(請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答)．(1)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(4)p：a是自然數(shù)；q：a是正數(shù)．反思感悟判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．反思感悟判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷．(3)等價(jià)法：即利用p?q與q?p的等價(jià)關(guān)系，一般地，對于條件和結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．(1)p：三角形為等腰三角形，q：三角形存在兩角相等；(2)p：⊙O內(nèi)兩條弦相等，q：⊙O內(nèi)兩條弦所對的圓周角相等；(3)p：A∩B＝?，q：A與B之一為空集；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；知識點(diǎn)三、充要條件的證明例2求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常數(shù)且a≠0)有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根的充要條件是ac<0.反思感悟反思感悟充要條件證明的兩個思路(1)直接法：首先要明確p是條件，q是結(jié)論；其次推證p?q是證明充分性，推證q?p是證明必要性．(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件．跟蹤訓(xùn)練2證明：如圖，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件為AC＝BD．三、充分不必要、必要不充分、充要條件的應(yīng)用例3已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

延伸探究1．若本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．2．本例中p，q不變，是否存在實(shí)數(shù)m使p是q的充要條件？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．反思感悟反思感悟應(yīng)用充分不必要、必要不充分及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系．(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解．【跟蹤訓(xùn)練】集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，則B是A的真子集的一個充分不必要條件是()A．m∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))B．m∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,3)))C．m∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,3)，1))D．m∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)，1))【隨堂檢測】1．“x>0”是“x≠0”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．明—羅貫中《三國演義》第49回“欲破曹公，宜用火攻；萬事倶備，只欠東風(fēng)”，比喻一切都準(zhǔn)備好了，只差最后一個重要的條件．你認(rèn)為“東風(fēng)”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)y＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是________．

【課后訓(xùn)練】1．“1<x<2”是“x≤2”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．已知x∈R，則“x2＝x＋6”是“x＝eq\r(x＋6)”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．設(shè)p是q的充分不必要條件，r是q的必要不充分條件，s是r的充要條件，則s是p的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．(多選)下列選項(xiàng)中正確的是()A．點(diǎn)P到圓心O的距離大于圓的半徑是點(diǎn)P在⊙O外的充要條件B．兩個三角形的面積相等是這兩個三角形全等的充分不必要條件C．A∪B＝A是B?A的必要不充分條件D．x或y為有理數(shù)是xy為有理數(shù)的既不充分也不必要條件6．(多選)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一個充分不必要條件是()A．x≥0B．x<0或x>2C．x∈{－1,3,5}D．x≤0或x>27．已知△ABC，△A1B1C1，兩三角形對應(yīng)角相等是△ABC≌△A1B1C1的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)8．對于集合A，B及元素x，若A?B，則x∈B是x∈A∪B的________條件．9．求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.

10．設(shè)集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|1－m<x<m＋1，m>0}，命題p：x∈A，命題q：x∈B.(1)若p是q的充要條件，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍．11．設(shè)計(jì)如圖所示的四個電路圖，則能表示“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件的一個電路圖是()12．下列選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是()A．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0B．p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|C．p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有實(shí)數(shù)根D．p：x>2或x<－1，q：x<－113.集合A，B之間的關(guān)系如圖所示，p：a∈?UB，q：a∈A，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．已知“p：x>m＋3或x<m”是“