專題訓(xùn)練(三)-相似三角形的五種基本模型

專題訓(xùn)練(三)相似三角形的五種基本模型?模型一“X”字型1．如圖3－ZT－1，P是?ABCD的邊AB上的一點(diǎn)，射線CP交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中的相似三角形有()圖3－ZT－1A．0對(duì)B．1對(duì)C．2對(duì)D．3對(duì)2．2018·杭州西湖區(qū)一模如圖3－ZT－2，BE是△ABC的角平分線，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)D，使得CD＝BC.(1)求證：△AEB∽△CED；(2)若AB＝2，BC＝4，AE＝1，求CE的長(zhǎng)．圖3－ZT－23．如圖3－ZT－3，E是?ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥AD交AB于點(diǎn)G.(1)填空：圖中與△CEF相似的三角形是________(寫(xiě)出圖中與△CEF相似的所有三角形)；(2)從(1)中選出一個(gè)三角形，并證明它與△CEF相似．圖3－ZT－3?模型二“A”字型4．如圖3－ZT－4，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且∠AED＝∠B.若AB＝10，AC＝8，AD＝4，求AE的長(zhǎng)．圖3－ZT－45．如圖3－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線C－A－B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0＜t＜8)．(1)求AB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，求t的值．圖3－ZT－5?模型三子母型6．如圖3－ZT－6所示，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，AD＝2，BD＝4，AC＝2eq\r(3).求證：△ACD∽△ABC.圖3－ZT－67．如圖3－ZT－7，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，E是BC上任意一點(diǎn)，EF⊥AB于點(diǎn)F.求證：AC2＝AD·AF＋CD·EF.圖3－ZT－78．如圖3－ZT－8，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，且BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)△AEF與△ABE相似嗎？說(shuō)明你的理由．(2)BD2＝AD·FD嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．圖3－ZT－8?模型四旋轉(zhuǎn)型9．已知：如圖3－ZT－9，△ABD∽△ACE.求證：(1)∠DAE＝∠BAC；(2)△DAE∽△BAC.圖3－ZT－910．如圖3－ZT－10，已知：在△ABC和△EDC中，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，點(diǎn)A，D在直線CE的同側(cè)，直線AE，BD交于點(diǎn)F.(1)當(dāng)點(diǎn)B，C，E在同一直線上，且∠BAC＝60°時(shí)(如圖(a))，則∠AFB＝________°.(2)當(dāng)點(diǎn)B，C，E不在同一條直線上時(shí)(點(diǎn)F不與點(diǎn)A，B重合)，如圖(b)或圖(c)．①若∠BAC＝α，則在圖(b)中，求∠AFB的度數(shù)(用含α的式子表示)．②在圖(c)中，①中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，則∠AFB等于什么？寫(xiě)出推理過(guò)程．圖3－ZT－10?模型五一線三等角型11．如圖3－ZT－11，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，∠EDF＝60°.(1)求證：△BDE∽△CFD；(2)當(dāng)BD＝1，CF＝3時(shí)，求BE的長(zhǎng)．圖3－ZT－11

詳解詳析1．[解析]D∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，∴△EDC∽△CBP，故有3對(duì)相似三角形．故選D.2．解：(1)證明：∵BE是△ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBE.∵CD＝BC，∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE.又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED.(2)∵BC＝4，∴CD＝4.∵△AEB∽△CED，∴eq\f(CE,AE)＝eq\f(CD,AB)，即eq\f(CE,1)＝eq\f(4,2)，∴CE＝2.3．[解析](1)根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到圖中與△CEF相似的三角形；(2)根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到答案．解：(1)△DAF，△BEA，△GFA(2)答案不唯一，選證△DAF∽△CEF.證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BE∥AD，∴∠1＝∠E，∠2＝∠D，∴△DAF∽△CEF.4．[解析]利用兩角分別相等的三角形相似得到△AED與△ABC相似，由相似得比例式求出AE的長(zhǎng)即可．解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,AC).∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，∴eq\f(AE,10)＝eq\f(4,8)，∴AE＝5.5．解：(1)由勾股定理，得AB＝eq\r(62＋82)＝10(cm)．(2)當(dāng)點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DEB＝∠C＋∠CDE＞90°，∴△BDE不可能是直角三角形．若點(diǎn)D在AB上，如圖①，當(dāng)∠BED＝90°時(shí)，△BDE是直角三角形，則BE＝t，AC＋AD＝2t，∴BD＝6＋10－2t＝16－2t.∵∠BED＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，∴eq\f(BE,BC)＝eq\f(BD,AB)，∴eq\f(t,8)＝eq\f(16－2t,10)，解得t＝eq\f(64,13)；如圖②，當(dāng)∠EDB＝90°時(shí)，△BDE是直角三角形，則BE＝t，BD＝16－2t.在△BDE和△BCA中，∵∠BDE＝∠C，∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(BD,BC)，∴eq\f(t,10)＝eq\f(16－2t,8)，解得t＝eq\f(40,7).∴當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，t的值為eq\f(64,13)或eq\f(40,7).6．[解析]首先利用已知得出eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，進(jìn)而利用相似三角形的判定方法得出即可．證明：∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，eq\f(AC,AB)＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB).又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.7．[解析]根據(jù)垂直的定義得到∠ACB＝∠ADC＝90°，推出△ACD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AC)，即AC2＝AD·AB，由于AB＝AF＋FB，等量代換得AC2＝AD·(AF＋FB)＝AD·AF＋AD·FB.通過(guò)△ACD∽△EBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到eq\f(AD,EF)＝eq\f(CD,FB)，于是得到AD·FB＝CD·EF，即可得到結(jié)論．證明：∵CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AC)，∴AC2＝AD·AB.∵AB＝AF＋FB，∴AC2＝AD·(AF＋BF)＝AD·AF＋AD·BF.∵EF⊥AB于點(diǎn)F，∴∠ADC＝∠EFB＝∠ACB＝90°.∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△EBF，∴eq\f(AD,EF)＝eq\f(CD,BF)，∴AD·BF＝CD·EF，∴AC2＝AD·AF＋AD·BF＝AD·AF＋CD·EF.8．[解析](1)△AEF與△ABE相似，首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，即可證明△ABD≌△BCE，即可以求得∠AFE＝∠BAD＋∠ABE＝60°＝∠BAE，再根據(jù)∠AEF＝∠BEA，即可證明△AEF∽△BEA；(2)易證△ABD∽△BFD，即可得BD2＝AD·DF.解：(1)△AEF與△ABE相似．理由如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°.在△ABD和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABD＝∠C，,BD＝CE，))∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD＝∠CBE.又∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝60°，∴∠AFE＝∠BAC.在△AEF和△BEA中，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE，∴△AEF∽△BEA.(2)BD2＝AD·DF.理由如下：在△ABD和△BFD中，∵∠BDF＝∠ADB，∠FBD＝∠BAD，∴△ABD∽△BFD，∴eq\f(BD,FD)＝eq\f(AD,BD)，∴BD2＝AD·FD.9．[解析](1)先利用相似三角形的性質(zhì)得∠BAD＝∠CAE，則∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，從而得到結(jié)論；(2)先利用△ABD∽△ACE得到eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)，再利用比例的性質(zhì)得eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，而∠DAE＝∠BAC，根據(jù)相似三角形的判定方法可得到結(jié)論．證明：(1)∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC.(2)∵△ABD∽△ACE，∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC.10．解：(1)60(2)①∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB＝∠ECD，eq\f(BC,DC)＝eq\f(AC,EC)，∴∠BCD＝∠ACE，eq\f(BC,AC)＝eq\f(DC,EC)，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∴∠AFB＝180°－∠CAE－∠BAC－∠ABD＝180°－∠BAC－∠ABC＝∠ACB.∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴∠ACB＝90°－eq\f(1,2)α，∴∠AFB＝90°－eq\f(1,2)α.②不成立，∠AFB＝90°＋eq\f(1,2)α.推理過(guò)程如下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB＝∠ECD，eq\f(BC,DC)＝eq\f(AC,EC)，∴∠BCD＝∠ACE，eq\f(BC,AC)＝eq\f(DC,EC)，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∴∠BDC＝∠AEC，∴∠AFB＝∠BDC＋∠CDE＋∠DEF＝∠CDE＋∠CED＝180°－∠DCE.∵EC＝ED，∠BAC＝∠CED＝α，∴∠DCE＝90°－eq\f(1,2)α，∴∠AFB＝180°－(90°－e